第24頁（共24頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之不等式與不等式組（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2025?浙江模擬）已知x＞y＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣y＜﹣x＜y＜x B．﹣y＜y＜﹣x＜x C．﹣x＜﹣y＜x＜y D．﹣x＜﹣y＜y＜x2．（2025?宿遷校級一模）定義運(yùn)算：a⊕b＝（a+1）b，若對任意的1≤x≤2，不等式2⊕mx＜4都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．m＜23 B．m≤23 C．m3．（2025春?蜀山區(qū)校級月考）若|3﹣3a|＝3a﹣3，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．4．（2025?碧江區(qū)校級模擬）關(guān)于x的不等式組4-2x＜0A．3≤a＜4 B．4≤a＜5 C．4≤a≤5 D．a(chǎn)＞55．（2025春?武侯區(qū)校級月考）下列式子：①x+2＝2，②x＞1，③x+3，④y3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2025春?萊蕪區(qū)校級月考）定義一種新運(yùn)算：當(dāng)a＞b時(shí)，a*b＝ab+b；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝ab﹣b．若3*（x+2）＞0，則x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2 C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞27．（2025?沈丘縣校級模擬）點(diǎn)A（a﹣2，a+3）在第三象限，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜﹣3 D．﹣3＜a＜28．（2025春?萬柏林區(qū)月考）若一個(gè)不等式的正整數(shù)解為1，2，3，則該不等式的解集在數(shù)軸上的表示可能是（）A． B． C． D．．9．（2025春?萬柏林區(qū)月考）研究表明，運(yùn)動(dòng)時(shí)將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi)，能起到燃燒脂肪并且保護(hù)心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值為（220﹣年齡）×0.8，最低值為（220﹣年齡）×0.6．所以30歲的人最佳燃脂心率的范圍可用不等式表示為（）A．114≤p≤160 B．120≤p≤180 C．114≤p≤152 D．120＜p＜16010．（2025?岳陽樓區(qū)校級一模）已知平面直角坐標(biāo)系上有一點(diǎn)P（m+2，5+m）位于第二象限，則m的值可能為（）A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．﹣6二．填空題（共5小題）11．（2025?衢州一模）不等式2x+34＞1的解是12．（2025?湖南模擬）閱讀理解：記[x]表示不超過x的最小整數(shù)，如[0.3]＝0，[1.3]＝1．應(yīng)用：已知0＜a＜1，且[a+12025]+[a+22025]+?+[13．（2025春?寶山區(qū)月考）若關(guān)于x的不等式組2x-a＜0x-12+2≤x14．（2025春?小店區(qū)校級月考）一次環(huán)保知識競賽共有25道題，規(guī)定答對一道題得4分，答錯(cuò)一題扣兩分，不答則不扣分．某同學(xué)有一道題未答，如果他要想得到80分以上的成績，則他至少需答對道題目．15．（2025春?禪城區(qū)校級月考）若不等式組2x＜3x-83x+24＞三．解答題（共5小題）16．（2025春?金鳳區(qū)校級月考）下面是小明同學(xué)解不等式的過程，請閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．x+5解：x+5﹣2≤3x+2??第一步x﹣3x≤2﹣5+2，??第二步﹣2x≤﹣1，??第三步x≤1（1）任務(wù)一：①以上解題過程中，第一步變形的依據(jù)是．②第步出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是．（2）任務(wù)二：請直接寫出該不等式的正確解集，并把解集表示在數(shù)軸上．17．（2025春?高新區(qū)校級月考）下面是小明解不等式x+5①去分母，得x+5﹣1＜3x+2，②移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得﹣2x＜﹣2，③兩邊都除以﹣2，得x＞1．先閱讀以上解題過程，然后解答下列問題．（1）小明的解題過程從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請寫出該步的代號；（2）錯(cuò)誤的原因是；（3）第③步的依據(jù)是；（4）寫出該不等式的正確解答過程．18．（2025春?小店區(qū)校級月考）2025年，某城市倡導(dǎo)“綠色出行”活動(dòng)，推出了共享電動(dòng)滑板車服務(wù)．小明每天早上7：30從家出發(fā)去上學(xué)，選擇先步行再使用共享電動(dòng)滑板車，他家到學(xué)校的距離為2400米，若小明步行上學(xué)的速度為每分鐘50米，使用共享電動(dòng)滑板車速度為每分鐘200米，學(xué)校規(guī)定8：00到校，為了不遲到，小明至少使用幾分鐘共享電動(dòng)滑板車？19．（2025春?禪城區(qū)校級月考）先閱讀下面的材料，再解答問題．分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式，如x-（1）若ab＞0，則a＞0b＞0，或；若ab＜0（2）根據(jù)上述信息，求不等式x-2x20．（2025春?迎澤區(qū)校級月考）地鐵開通后，小師同學(xué)上學(xué)有兩種交通方案可選：方案一：購買地鐵月卡，乘坐地鐵（卡費(fèi)60元/月，購買后當(dāng)月每次乘地鐵僅需2元，不限次數(shù)）．方案二：先乘公交車（單程1元），再換乘地鐵（無優(yōu)惠，單程3元）．本月共有31天，小師每天上學(xué)需往返乘坐，若設(shè)小師本月上學(xué)x天，請回答下列問題：（1）方案一的月花銷為元，方案二的月花銷為元；（用含x的代數(shù)式表示）（2）根據(jù)x的不同情況，說明小師選擇哪個(gè)方案更省錢．

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之不等式與不等式組（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DABBBCCBCA一．選擇題（共10小題）1．（2025?浙江模擬）已知x＞y＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣y＜﹣x＜y＜x B．﹣y＜y＜﹣x＜x C．﹣x＜﹣y＜x＜y D．﹣x＜﹣y＜y＜x【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì)．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由x＞y＞0，得﹣x＜﹣y＜0＜y＜x，選項(xiàng)D正確，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查不等式的基本性質(zhì)，不等式的兩邊都加或減同一個(gè)整式，不等號的方向不變，不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變，不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．2．（2025?宿遷校級一模）定義運(yùn)算：a⊕b＝（a+1）b，若對任意的1≤x≤2，不等式2⊕mx＜4都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．m＜23 B．m≤23 C．m【考點(diǎn)】解一元一次不等式；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)新定義列出不等式組，根據(jù)一元一次不等式組的解法解出不等式組，根據(jù)題意求出m的取值范圍．【解答】解：∵a⊕b＝（a+1）b，∴2⊕mx＝（2+1）mx＝3mx，∴3mx＜4，∴m＜4∵1≤x≤2，y=43x是反比例函數(shù)，y∴43x的最小值為x＝2時(shí)，∴m＜2故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是新定義和一元一次不等式的整數(shù)解，正確理解新定義、掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2025春?蜀山區(qū)校級月考）若|3﹣3a|＝3a﹣3，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式；絕對值．【專題】運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，當(dāng)|x|＝x時(shí)，x≥0．由此得到關(guān)于a的不等式，解出a的取值范圍后，再判斷在數(shù)軸上的正確表示．【解答】解：∵|3﹣3a|＝3a﹣3，∴|3﹣3a|＝﹣（3﹣3a），所以3﹣3a≤0，解得：a≥1，在數(shù)軸上表示a≥1時(shí)，應(yīng)在數(shù)軸上1這個(gè)點(diǎn)處用實(shí)心圓點(diǎn)（表示包含1這個(gè)值），然后向右畫一條線，所以選項(xiàng)B的表示是正確的．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的性質(zhì)以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求解a的取值范圍，并正確在數(shù)軸上表示出來．4．（2025?碧江區(qū)校級模擬）關(guān)于x的不等式組4-2x＜0A．3≤a＜4 B．4≤a＜5 C．4≤a≤5 D．a(chǎn)＞5【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】先求出不等式4﹣2x＜0的解集，再根據(jù)不等式組恰好有2個(gè)整數(shù)解即可得到答案．【解答】解：解不等式4﹣2x＜0得x＞2，∵關(guān)于x的不等式組恰好有2個(gè)整數(shù)解，∴4≤a＜5，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵．5．（2025春?武侯區(qū)校級月考）下列式子：①x+2＝2，②x＞1，③x+3，④y3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】一元一次不等式的定義．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義分析判斷即可．【解答】解：根據(jù)定義逐項(xiàng)分析判斷如下：①x+2＝2，是方程，不是一元一次不等式，不符合題意；②x＞1，是一元一次不等式，符合題意；③x+3，是代數(shù)式，不是不等式，不符合題意；④y3綜上，一元一次不等式的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元一次不等式的定義，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．6．（2025春?萊蕪區(qū)校級月考）定義一種新運(yùn)算：當(dāng)a＞b時(shí)，a*b＝ab+b；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝ab﹣b．若3*（x+2）＞0，則x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2 C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2【考點(diǎn)】解一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】分當(dāng)3＞x+2，即x＜1時(shí)，當(dāng)3＜x+2，即x＞1時(shí)，兩種情況根據(jù)題目所給的新定義建立關(guān)于x的不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)3＞x+2，即x＜1時(shí)，∵3*（x+2）＞0，∴3（x+2）+（x+2）＞0，∴3x+6+x+2＞0，∴x＞﹣2，∴﹣2＜x＜1；當(dāng)3＜x+2，即x＞1時(shí)，∵3*（x+2）＞0，∴3（x+2）﹣（x+2）＞0，∴2x+4＞0，∴x＞﹣2，∴x＞1；綜上所述，﹣2＜x＜1或x＞1，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元一次不等式，正確理解題意并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2025?沈丘縣校級模擬）點(diǎn)A（a﹣2，a+3）在第三象限，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜﹣3 D．﹣3＜a＜2【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)M在第三象限得出不等式組，再求出不等式組的解集即可．【解答】解：∵點(diǎn)M（a﹣2，a+3）在第三象限，∴a-解得：a＜﹣3，即a的取值范圍是a＜﹣3，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組和點(diǎn)的坐標(biāo)，能得出關(guān)于a的不等式組是解此題的關(guān)鍵．8．（2025春?萬柏林區(qū)月考）若一個(gè)不等式的正整數(shù)解為1，2，3，則該不等式的解集在數(shù)軸上的表示可能是（）A． B． C． D．．【考點(diǎn)】一元一次不等式的整數(shù)解；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的圖象逐一分析判斷即可．【解答】解：A：由圖可得A的正整數(shù)解為1，故不正確，不符合題意；B：由圖可得B的正整數(shù)解為1，2，3，故正確，符合題意；C：由圖可得C的正整數(shù)解為1，2，故不正確，不符合題意；D：由圖可得D的正整數(shù)解為1，2，故不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解集在數(shù)軸上的表示，合理掌握不等式的解集在數(shù)軸上的表示是解題的關(guān)鍵．9．（2025春?萬柏林區(qū)月考）研究表明，運(yùn)動(dòng)時(shí)將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi)，能起到燃燒脂肪并且保護(hù)心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值為（220﹣年齡）×0.8，最低值為（220﹣年齡）×0.6．所以30歲的人最佳燃脂心率的范圍可用不等式表示為（）A．114≤p≤160 B．120≤p≤180 C．114≤p≤152 D．120＜p＜160【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)心率的最高值和最低值列出不等式，再把年齡代入求解即可．【解答】解：有條件可知p≥∴把年齡＝30代入可得：p≥∴p≥∴不等式的解集為：114≤p≤152，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的應(yīng)用，熟悉掌握不等式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．（2025?岳陽樓區(qū)校級一模）已知平面直角坐標(biāo)系上有一點(diǎn)P（m+2，5+m）位于第二象限，則m的值可能為（）A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．﹣6【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)第二象限的點(diǎn)：橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，可得到關(guān)于m的不等式組，即可求解．【解答】解：由條件可知m+2解得：﹣5＜m＜﹣2，則m的值可能為﹣3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征．熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?衢州一模）不等式2x+34＞1的解是【考點(diǎn)】解一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x＞1【分析】先去分母再去括號移項(xiàng)合并，最后系數(shù)化為1，即可解不等式．【解答】解：由題意得，2x+3去分母得，2x+3＞4，移項(xiàng)得，2x＞4﹣3，合并同類項(xiàng)得，2x＞1，系數(shù)化為1，x＞故答案為：x＞1【點(diǎn)評】本題主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．12．（2025?湖南模擬）閱讀理解：記[x]表示不超過x的最小整數(shù)，如[0.3]＝0，[1.3]＝1．應(yīng)用：已知0＜a＜1，且[a+12025]+[a+22025]+?+[【考點(diǎn)】一元一次不等式組的應(yīng)用．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】2023．【分析】理解[x]表示不超過x的最小整數(shù)，由題意得到[a+12025]=0，[a+22025]=?=[a+20242025]=1【解答】解：由題意可得：0＜∴[a+1則0＜a+12025解得2023≤2025a＜2024，∴[2025a]＝2023，故答案為：2023．【點(diǎn)評】本題考查取整函數(shù)，理解取整函數(shù)定義是解決問題的關(guān)鍵．13．（2025春?寶山區(qū)月考）若關(guān)于x的不等式組2x-a＜0x-12+2≤x的解集只有3個(gè)整數(shù)解，則a【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解；解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】10＜a≤12．【分析】，先求出不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解集只有3個(gè)整數(shù)解，列出關(guān)于a的不等式組，進(jìn)行求解即可．【解答】解：解2x得：x＜由題意可得：3≤x＜a2，3個(gè)整數(shù)解為：3∴5＜∴10＜a≤12；故答案為：10＜a≤12．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)的范圍，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．14．（2025春?小店區(qū)校級月考）一次環(huán)保知識競賽共有25道題，規(guī)定答對一道題得4分，答錯(cuò)一題扣兩分，不答則不扣分．某同學(xué)有一道題未答，如果他要想得到80分以上的成績，則他至少需答對22道題目．【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】22．【分析】設(shè)他答對了x道題，則他答錯(cuò)的共有（25﹣1﹣x）道題，列出不等式即可．【解答】解：設(shè)他答對了x道題，則他答錯(cuò)的共有（25﹣1﹣x）道題，由題意列不等式得，4x﹣2（25﹣1﹣x）≥80，整理得，6x≥128，解得x≥因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的最小值為22，所以他至少答對了22道題．答：他至少答對了22道題．故答案為：22．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．15．（2025春?禪城區(qū)校級月考）若不等式組2x＜3x-83x+24【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解；解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】-11【分析】先解不等式組用a表示出解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，得到關(guān)于a的不等式組求解即可．【解答】解：2x解不等式①，得x＞8，解不等式②，得x＜2﹣4a，∴原不等式組的解集為8＜x＜2﹣4a，由條件可知整數(shù)解為：9，10，11，12，∴12＜2﹣4a≤13，解得：-11故答案為：-11【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025春?金鳳區(qū)校級月考）下面是小明同學(xué)解不等式的過程，請閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．x+5解：x+5﹣2≤3x+2??第一步x﹣3x≤2﹣5+2，??第二步﹣2x≤﹣1，??第三步x≤1（1）任務(wù)一：①以上解題過程中，第一步變形的依據(jù)是不等式性質(zhì)2．②第四步出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是不等式兩邊除以﹣2時(shí)，不等號的方向沒有改變．（2）任務(wù)二：請直接寫出該不等式的正確解集，并把解集表示在數(shù)軸上．【考點(diǎn)】解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】任務(wù)一：①不等式的基本性質(zhì)2；②四；不等式兩邊除以﹣2時(shí)，不等號的方向沒有改變；任務(wù)二：x≥【分析】任務(wù)一：①根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，即可解答；②根據(jù)解一元一次不等式的步驟，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答；任務(wù)二：按照解一元一次不等式的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：任務(wù)一：①以上解題過程中，第一步是進(jìn)行去分母，變形依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；②第四步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是不等式兩邊除以﹣2時(shí)，不等號的方向沒有改變；故答案為：①不等式的基本性質(zhì)2；②四；不等式兩邊除以﹣2時(shí)，不等號的方向沒有改變；任務(wù)二：x+52-去分母得，x+5﹣2≤3x+2，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，﹣2x≤﹣1，系數(shù)化為1得，x≥1把解集表示在數(shù)軸上如圖所示：【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．17．（2025春?高新區(qū)校級月考）下面是小明解不等式x+5①去分母，得x+5﹣1＜3x+2，②移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得﹣2x＜﹣2，③兩邊都除以﹣2，得x＞1．先閱讀以上解題過程，然后解答下列問題．（1）小明的解題過程從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請寫出該步的代號①；（2）錯(cuò)誤的原因是去分母時(shí)，不等式左邊第二項(xiàng)沒有乘2；（3）第③步的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；（4）寫出該不等式的正確解答過程．【考點(diǎn)】解一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）①；（2）去分母時(shí)不含分母的項(xiàng)漏乘2；（3）不等式的基本性質(zhì)3；（4）x＞1【分析】（1）觀察小明解題過程，找出錯(cuò)誤的步驟即可；（2）分析錯(cuò)誤的原因即可；（3）利用不等式的基本性質(zhì)2判斷即可；（4）寫出正確的解答即可．【解答】解：（1）小明的解題過程從第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤；故答案為：①；（2）錯(cuò)誤的原因是：去分母時(shí)，不等式左邊第二項(xiàng)沒有乘2；故答案為：去分母時(shí)，不等式左邊第二項(xiàng)沒有乘2；（3）第③步的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；故答案為：不等式的基本性質(zhì)2；（4）正確解答為：x+5去分母得：x+5﹣2＜3x+2，移項(xiàng)、合并得：﹣2x＜﹣1，系數(shù)化為1得：x＞1故答案為：x＞1【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．18．（2025春?小店區(qū)校級月考）2025年，某城市倡導(dǎo)“綠色出行”活動(dòng)，推出了共享電動(dòng)滑板車服務(wù)．小明每天早上7：30從家出發(fā)去上學(xué)，選擇先步行再使用共享電動(dòng)滑板車，他家到學(xué)校的距離為2400米，若小明步行上學(xué)的速度為每分鐘50米，使用共享電動(dòng)滑板車速度為每分鐘200米，學(xué)校規(guī)定8：00到校，為了不遲到，小明至少使用幾分鐘共享電動(dòng)滑板車？【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】小明至少使用6分鐘共享電動(dòng)滑板車．【分析】設(shè)小明使用x分鐘共享電動(dòng)滑板車，根據(jù)題意列出不等式解答即可．【解答】解：設(shè)小明使用x分鐘共享電動(dòng)滑板車，根據(jù)題意，得200x+50（30﹣x）≥2400，解得x≥6，所以x的最小值為6，即小明至少使用6分鐘共享電動(dòng)滑板車，答：小明至少使用6分鐘共享電動(dòng)滑板車．【點(diǎn)評】此題考查一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找出不等關(guān)系列出不等式．19．（2025春?禪城區(qū)校級月考）先閱讀下面的材料，再解答問題．分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式，如x-（1）若ab＞0，則a＞0b＞0，或a＜0b＜0（2）根據(jù)上述信息，求不等式x-2x【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；解一元一次不等式．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）a＜0b＜0（2）原不等式x-2x+1＞0的解集是x＞原不等式2x+3x【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合有理數(shù)除法法則：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，可得答案；（2）根據(jù)題意結(jié)合有理數(shù)除法法則可得x-2＞0x+1＞【解答】解：（1）根據(jù)有理數(shù)除法法則可得：若ab＞0，則a若ab＜0，則a故答案為：a＜0b＜0（2）由條件可知x-2＞解得x＞2或者x＜﹣1；由條件可知2x+3＞解得-3【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是有理數(shù)除法法則、解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是正確理解題意并列出不等式組．20．（2025春?迎澤區(qū)校級月考）地鐵開通后，小師同學(xué)上學(xué)有兩種交通方案可選：方案一：購買地鐵月卡，乘坐地鐵（卡費(fèi)60元/月，購買后當(dāng)月每次乘地鐵僅需2元，不限次數(shù)）．方案二：先乘公交車（單程1元），再換乘地鐵（無優(yōu)惠，單程3元）．本月共有31天，小師每天上學(xué)需往返乘坐，若設(shè)小師本月上學(xué)x天，請回答下列問題：（1）方案一的月花銷為（4x+60）元，方案二的月花銷為8x元；（用含x的代數(shù)式表示）（2）根據(jù)x的不同情況，說明小師選擇哪個(gè)方案更省錢．【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；列代數(shù)式；一元一次方程的應(yīng)用．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】（1）（4x+60），8x；（2）當(dāng)x＜15時(shí)，方案二更省錢；當(dāng)x＝15時(shí)，方案一和方案二一樣；當(dāng)x＞15時(shí)，方案一更省錢．【分析】（1）根據(jù)題意列出等式即可；（2）根據(jù)（1）中代數(shù)式，分三種情況進(jìn)行討論即可得到答案．【解答】解：（1）方案一的月花銷為（2×2×x+60）＝4x+60，方案二的月花銷為（1×2+3×2）x＝8x，故答案為：（4x+60），8x；（2）①當(dāng)4x+60＞8x，解得x＜15，∴當(dāng)x＜15時(shí)，方案二更省錢；②當(dāng)4x+60＝8x時(shí)，即x＝15，∴當(dāng)x＝15時(shí)，方案一和方案二一樣；③當(dāng)4x+60＜8x時(shí)，即x＞15，∴當(dāng)x＞15時(shí)，方案一更省錢．綜上所述，當(dāng)x＜15時(shí)，方案二更省錢；當(dāng)x＝15時(shí)，方案一和方案二一樣；當(dāng)x＞15時(shí)，方案一更省錢．【點(diǎn)評】本題主要考查列代數(shù)式，解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．3．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號，什么時(shí)要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題1．在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．4．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤率=利潤進(jìn)價(jià)×100%）；（4）工程問題（①工作（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．5．不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個(gè)數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項(xiàng)”，此時(shí)不等號方向不變，但移項(xiàng)要變號；②兩邊都乘、除同一個(gè)數(shù)，要注意只有乘、除負(fù)數(shù)時(shí)，不等號方向才改變．【規(guī)律方法】1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對字母是否大于0進(jìn)行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．6．在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規(guī)律方法】不等式解集的驗(yàn)證方法某不等式求得的解集為x＞a，其驗(yàn)證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個(gè)數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．7．一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個(gè)未知數(shù)且未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．8．解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜