微專題18等差數(shù)列與等比數(shù)列高考定位1.等差、等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)；2.數(shù)列的通項也是高考熱點，難度中檔以下.【真題體驗】1.(2023·新高考Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝()A.120 B.85C.－85 D.－1202.(2024·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S5＝S10，a5＝1，則a1＝()A.eq\f(7,2) B.eq\f(7,3)C.－eq\f(1,3) D.－eq\f(7,11)3.(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝________.4.(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【熱點突破】熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算1.等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d.2.等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.3.等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.4.等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))例1(1)(2024·北京海淀區(qū)模擬)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，則m的值為()A.4 B.5C.6 D.7(2)(2024·寧波調(diào)研)公元前5世紀，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.比賽開始后，當(dāng)阿基里斯跑了1000米時，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜領(lǐng)先他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜領(lǐng)先他1米，……，所以阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.1米時，烏龜爬行的總距離為________米.訓(xùn)練1(1)(2024·棗莊模擬)中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為()A.2.76 B.5.51C.11.02 D.22.05(2)(2024·廈門調(diào)研)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，a1＝2，則{bn}的公差為________.熱點二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1.通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2.前n項和的性質(zhì)(m，n∈N*)：對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).例2(1)(多選)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題正確的是()A.若d<0，則S1是數(shù)列{Sn}的最大項B.若數(shù)列{Sn}有最小項，則d>0C.若數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列，則對任意的n∈N*，均有Sn<0D.若對任意的n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列(2)(2024·合肥質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的首項為1，且a6＋a4＝2(a3＋a1)，則a1a2a3…a7＝________.訓(xùn)練2(1)(2024·咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝2，S8＝12，則S20＝()A.30 B.58C.60 D.90(2)(多選)(2024·蘇州模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a6a7>1，eq\f(a6－1,a7－1)<0，則下列結(jié)論正確的是()A.q>1 B.0<a6a8<1C.Sn的最大值為S7 D.Tn的最大值為T6熱點三等差、等比數(shù)列的證明等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項法an＝a1＋(n－1)dan＝a1·qn－1中項法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.例3(2024·濟南模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝eq\f(3,2)且Sn＝2an＋1－3，令bn＝eq\f(n2＋n,an).(1)求證：{an}為等比數(shù)列；(2)求使bn取得最大值時的n的值.訓(xùn)練3設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項積，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項公式.【精準強化練】一、單選題1.(2024·全國甲卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9＝1，則a3＋a7＝()A.－2 B.eq\f(7,3)C.1 D.eq\f(2,9)2.(2024·許昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a15＋a2010＝1，則S2024＝()A.1012 B.1013C.2024 D.20253.(2024·長沙模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝30，則S40＝()A.60 B.70C.80 D.1504.(2024·南充二模)在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國的歷史可以追溯到遠古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積a1，a2，…，a9(單位：L)依次成等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝3.6，a8＝0.4，則a1＋a2＋…＋a9＝()A.5.4 B.6.3C.7.2 D.13.55.(2024·宿遷模擬)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，a1＝－2，則a7的值為()A.－2 B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.16.(2024·青島模擬)記正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S20＝100，則a10·a11的最大值為()A.9 B.16C.25 D.507.某軟件研發(fā)公司對某軟件進行升級，主要是對軟件程序中的某序列A＝{a1，a2，a3，…}重新編輯，編輯新序列為A*＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a1)，\f(a3,a2)，\f(a4,a3)，…))，它的第n項為eq\f(an＋1,an)，若序列(A*)*的所有項都是2，且a4＝1，a5＝32，則a1＝()A.eq\f(1,256) B.eq\f(1,512)C.eq\f(1,1024) D.eq\f(1,2048)二、多選題8.(2024·廣州調(diào)研)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且{Sn}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是()A.{an＋Sn}是等差數(shù)列 B.{an·Sn}是等比數(shù)列C.{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列 D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列9.(2024·大連模擬)已知遞增等比數(shù)列{an}的公比為q，且滿足aeq\o\al(2,3)＋3a4＝a5，下列情況可能正確的是()A.q＝2 B.q＝eq\f(1,2)C.a4＝－1 D.a4＝2024三、填空題10.(2024·唐山模擬)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a1＝eq\f(1,2)，aeq\o\al(2,3)＝a6，則S3＝________.11.(2024·淮北模擬)正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(1,13)，a1＋2，S13成等比數(shù)列，則eq\f(S7,a1)的最小值為________.12.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2a10＝2aeq\o\al(2,4)，且S4－S12＝λS8，則λ＝________.四、解答題13.(2024·全國甲卷)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an＋1－3.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和.14.(2024·杭州調(diào)研)如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“G型數(shù)列”.(1)若數(shù)列{an}滿足2an＝Sn＋1，判斷{an}是否為“G型數(shù)列”，并說明理由；(2)已知正項數(shù)列{an}為“G型數(shù)列”，a1＝1，數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋2，n∈N*，{bn}是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“G型數(shù)列”，求數(shù)列{an}的通項公式.【解析版】1.(2023·新高考Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝()A.120 B.85C.－85 D.－120答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由題意易知q≠1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q4）,1－q)＝－5，,\f(a1（1－q6）,1－q)＝21×\f(a1（1－q2）,1－q)，))化簡整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q2＝4，,\f(a1,1－q)＝\f(1,3)，))所以S8＝eq\f(a1（1－q8）,1－q)＝eq\f(1,3)(1－44)＝－85，故選C.2.(2024·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S5＝S10，a5＝1，則a1＝()A.eq\f(7,2) B.eq\f(7,3)C.－eq\f(1,3) D.－eq\f(7,11)答案B解析由S5＝S10，得eq\f(5（a1＋a5）,2)＝eq\f(10（a1＋a10）,2)，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝eq\f(a8－a5,8－5)＝－eq\f(1,3)，所以a1＝a5－4d＝1－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(7,3)，故選B.3.(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝________.答案95解析法一設(shè){an}的公差為d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，則S10＝10a1＋45d＝95.法二設(shè){an}的公差為d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝3，a6＝11，則S10＝eq\f(a1＋a10,2)×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95.4.(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.解若①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n2a1.因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以eq\r(Sn)＝neq\r(a1)，所以eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝(n＋1)eq\r(a1)－neq\r(a1)＝eq\r(a1)(常數(shù))，所以數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列.若①②?③.已知{an}是等差數(shù)列，{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(1,2)n2d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.因為數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{eq\r(Sn)}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則a1－eq\f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.若②③?①.已知數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.設(shè)數(shù)列{eq\r(Sn)}的公差為d，d＞0，則eq\r(S2)－eq\r(S1)＝eq\r(4a1)－eq\r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，對n＝1也適合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常數(shù))，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.【熱點突破】熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算1.等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d.2.等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.3.等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.4.等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))例1(1)(2024·北京海淀區(qū)模擬)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，則m的值為()A.4 B.5C.6 D.7(2)(2024·寧波調(diào)研)公元前5世紀，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.比賽開始后，當(dāng)阿基里斯跑了1000米時，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜領(lǐng)先他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜領(lǐng)先他1米，……，所以阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.1米時，烏龜爬行的總距離為________米.答案(1)B(2)111.1解析(1)由已知a1＝2a2＝2(a1＋d)，得a1＝－2d，又Sm＝ma1＋eq\f(m（m－1）,2)d＝－2md＋eq\f(m（m－1）,2)d＝0，又d≠0，所以－2m＋eq\f(m（m－1）,2)＝0，解得m＝5或m＝0(舍去)，故選B.(2)根據(jù)題意，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且a1＝100，q＝eq\f(1,10)，an＝eq\f(1,10)，所以烏龜爬行的總距離為Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝eq\f(100－10－1×\f(1,10),1－\f(1,10))＝eq\f(104－1,90)＝111.1.規(guī)律方法等差、等比數(shù)列的基本量問題的求解(1)抓住基本量：首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)形式的數(shù)列為等比數(shù)列.訓(xùn)練1(1)(2024·棗莊模擬)中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為()A.2.76 B.5.51C.11.02 D.22.05(2)(2024·廈門調(diào)研)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，a1＝2，則{bn}的公差為________.答案(1)D(2)8解析(1)設(shè)該馬第n(n∈N*)天行走的里程數(shù)為an，由題意可知，數(shù)列{an}是公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以該馬七天所走的里程為eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,27))),1－\f(1,2))＝eq\f(127a1,64)＝700，解得a1＝eq\f(27×350,127).故該馬第五天行走的里程數(shù)為a5＝a1·eq\f(1,24)＝eq\f(27×350,127)×eq\f(1,24)＝eq\f(2800,127)≈22.05.(2)∵eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，∴可設(shè)Sn＝kn(3n－2)，Tn＝kn(2n＋1)，k≠0.又∵2＝a1＝S1＝k×1×(3×1－2)，∴k＝2，∴Tn＝2n(2n＋1)＝4n2＋2n，∴T1＝4＋2＝6＝b1，T2＝16＋4＝20＝b1＋b2＝6＋b2，∴b2＝14，b2－b1＝14－6＝8，即{bn}的公差為8.熱點二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1.通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2.前n項和的性質(zhì)(m，n∈N*)：對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外).例2(1)(多選)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題正確的是()A.若d<0，則S1是數(shù)列{Sn}的最大項B.若數(shù)列{Sn}有最小項，則d>0C.若數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列，則對任意的n∈N*，均有Sn<0D.若對任意的n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列(2)(2024·合肥質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的首項為1，且a6＋a4＝2(a3＋a1)，則a1a2a3…a7＝________.答案(1)BD(2)128解析(1)對于A，取數(shù)列{an}為首項為4，公差為－2的等差數(shù)列，S1＝4<S2＝6，故A錯誤；對于B，等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù).當(dāng)數(shù)列{Sn}有最小項，即Sn有最小值時，Sn對應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，d>0，B正確；對于C，取數(shù)列{an}為首項為1，公差為－2的等差數(shù)列，Sn＝－n2＋2n，Sn＋1－Sn＝－(n＋1)2＋2(n＋1)－(－n2＋2n)＝－2n＋1<0，即Sn＋1<Sn恒成立，此時數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列，而S1＝1>0，故C錯誤；對于D，若數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列，則an＝Sn－Sn－1<0(n≥2)，一定存在實數(shù)k，當(dāng)n>k時，之后所有項都為負數(shù)，不能保證對任意n∈N*，均有Sn>0.故若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，故D正確.(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a6＋a4＝2(a3＋a1)，所以q3＝eq\f(a6＋a4,a3＋a1)＝2，所以a4＝a1·q3＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得a1a2a3…a7＝aeq\o\al(7,4)＝27＝128.規(guī)律方法等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解(1)抓關(guān)系，抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解.(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題.訓(xùn)練2(1)(2024·咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝2，S8＝12，則S20＝()A.30 B.58C.60 D.90(2)(多選)(2024·蘇州模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a6a7>1，eq\f(a6－1,a7－1)<0，則下列結(jié)論正確的是()A.q>1 B.0<a6a8<1C.Sn的最大值為S7 D.Tn的最大值為T6答案(1)D(2)BD解析(1)由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16亦為等差數(shù)列，由S4＝2，S8＝12，則S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90.(2)由條件a1>1，a6a7>1，eq\f(a6－1,a7－1)<0，可得a6>1，0<a7<1，∴eq\f(a7,a6)＝q∈(0，1)，并且an＝a1qn－1>0，a1>a2>…>an，即{an}是遞減的正項數(shù)列，A錯誤；∴0<a6a8＝aeq\o\al(2,7)<1，B正確；Sn－Sn－1＝an>0，即Sn>Sn－1對任意的n∈N*都成立，C錯誤；∵當(dāng)n≥7時，an<1；當(dāng)1≤n≤6時，an>1，∴T6是Tn的最大值，D正確.熱點三等差、等比數(shù)列的證明等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項法an＝a1＋(n－1)dan＝a1·qn－1中項法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.例3(2024·濟南模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝eq\f(3,2)且Sn＝2an＋1－3，令bn＝eq\f(n2＋n,an).(1)求證：{an}為等比數(shù)列；(2)求使bn取得最大值時的n的值.(1)證明由Sn＝2an＋1－3，可得n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an即n≥2，an＋1＝eq\f(3,2)an，又因為a1＝eq\f(3,2)，所以a2＝eq\f(9,4)，eq\f(a2,a1)＝eq\f(3,2)，綜上，n≥1，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3,2)，所以{an}為首項和公比均為eq\f(3,2)的等比數(shù)列.(2)解由(1)可得an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n)，所以bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)(n2＋n)，n≥2時，eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(2（n2＋n）,3（n2－n）)＝eq\f(2（n＋1）,3（n－1）)，令eq\f(bn,bn－1)>1，可得2≤n<5(或令eq\f(bn,bn－1)<1，可得n>5)，可知b1<b2<b3<b4＝b5>b6>b7>…，綜上，n＝4或n＝5時，bn取得最大值eq\f(320,81).規(guī)律方法1.aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.2.{an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列.3.證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法.訓(xùn)練3設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項積，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項公式.(1)證明因為bn是數(shù)列{Sn}的前n項積，所以n≥2時，Sn＝eq\f(bn,bn－1)，代入eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2可得eq\f(2bn－1,bn)＋eq\f(1,bn)＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝eq\f(1,2)(n≥2).又eq\f(2,S1)＋eq\f(1,b1)＝eq\f(3,b1)＝2，所以b1＝eq\f(3,2)，故{bn}是以eq\f(3,2)為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)可知，bn＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋2,2)，則eq\f(2,Sn)＋eq\f(2,n＋2)＝2，所以Sn＝eq\f(n＋2,n＋1)，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝eq\f(3,2)，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,n＋1)－eq\f(n＋1,n)＝－eq\f(1,n（n＋1）).故an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，n＝1，,－\f(1,n（n＋1）)，n≥2.))【精準強化練】一、單選題1.(2024·全國甲卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9＝1，則a3＋a7＝()A.－2 B.eq\f(7,3)C.1 D.eq\f(2,9)答案D解析法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S9＝9a1＋eq\f(9×8,2)d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝eq\f(1,9)，則a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝eq\f(2,9)，故選D.法二因為{an}為等差數(shù)列，所以S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝9a5＝1，得a5＝eq\f(1,9)，則a3＋a7＝2a5＝eq\f(2,9)，故選D.2.(2024·許昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a15＋a2010＝1，則S2024＝()A.1012 B.1013C.2024 D.2025答案A解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a15＋a2010＝a1＋a2024=1，所以S2024＝eq\f(2024×（a1＋a2024）,2)＝eq\f(2024×1,2)＝1012.3.(2024·長沙模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝30，則S40＝()A.60 B.70C.80 D.150答案D解析由題意得q≠－1，且{an}是等比數(shù)列，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，又因為S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，則S30－S20＝40，S40－S30＝80，所以S30＝70，S40＝150.故選D.4.(2024·南充二模)在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國的歷史可以追溯到遠古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積a1，a2，…，a9(單位：L)依次成等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝3.6，a8＝0.4，則a1＋a2＋…＋a9＝()A.5.4 B.6.3C.7.2 D.13.5答案C解析∵{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a2＋a3＝3a2＝3.6，故a2＝1.2，∴a1＋a2＋…＋a9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝eq\f(9,2)(a2＋a8)＝eq\f(9,2)×(1.2＋0.4)＝7.2.5.(2024·宿遷模擬)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，a1＝－2，則a7的值為()A.－2 B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.1答案B解析當(dāng)q＝1時，由2S9＝S3＋S6，得18a1＝3a1＋6a1＝9a1，解得a1＝0，矛盾，所以q≠1；當(dāng)q≠1時，則2S9＝S3＋S6，即eq\f(2a1,1－q)(1－q9)＝eq\f(a1,1－q)(1－q3)＋eq\f(a1,1－q)(1－q6)，整理得q3(q3－1)(2q3＋1)＝0，解得q3＝－eq\f(1,2)，∴a7＝a1q6＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(1,2).6.(2024·青島模擬)記正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S20＝100，則a10·a11的最大值為()A.9 B.16C.25 D.50答案C解析∵S20＝eq\f(a1＋a20,2)×20＝100，∴a1＋a20＝10，∴a10＋a11＝a1＋a20＝10.又∵a10>0，a11>0，∴a10·a11≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a10＋a11,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(100,4)＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a10＝a11＝5時，取“＝”.∴a10·a11的最大值為25.7.某軟件研發(fā)公司對某軟件進行升級，主要是對軟件程序中的某序列A＝{a1，a2，a3，…}重新編輯，編輯新序列為A*＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a1)，\f(a3,a2)，\f(a4,a3)，…))，它的第n項為eq\f(an＋1,an)，若序列(A*)*的所有項都是2，且a4＝1，a5＝32，則a1＝()A.eq\f(1,256) B.eq\f(1,512)C.eq\f(1,1024) D.eq\f(1,2048)答案B解析設(shè)eq\f(a2,a1)＝t，由題意得A*＝{t，2t，22t，…}，則A*的第n項為eq\f(an＋1,an)＝2n－1t，則n≥2時，an＝eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)·a1＝t·2t·22t·…·2n－2t·a1＝2eq\f(（n－2）（n－1）,2)tn－1·a1.因為a4＝1，a5＝32，所以23t3·a1＝1，26t4·a1＝32，解得t＝4，a1＝eq\f(1,512).二、多選題8.(2024·廣州調(diào)研)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且{Sn}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是()A.{an＋Sn}是等差數(shù)列 B.{an·Sn}是等比數(shù)列C.{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列 D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列答案ACD解析由{Sn}是等差數(shù)列，可得2S2＝S1＋S3，即2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，設(shè){an}的公比為q.∵{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，∴a3＝a2q，可得q＝1，∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，數(shù)列{an＋Sn}是等差數(shù)列，因此A正確；∵aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,1)，∴{aeq\o\al(2,n)}是常數(shù)列，為等差數(shù)列，因此C正確；∵eq\f(Sn,n)＝a1>0，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列，因此D正確；∵anSn＝naeq\o\al(2,1)，∴{an·Sn}不是等比數(shù)列，因此B不正確.9.(2024·大連模擬)已知遞增等比數(shù)列{an}的公比為q，且滿足aeq\o\al(2,3)＋3a4＝a5，下列情況可能正確的是()A.q＝2 B.q＝eq\f(1,2)C.a4＝－1 D.a4＝2024答案BCD解析原數(shù)列遞增等價于an>0，q>1或an<0，0<q<1.aeq\o\al(2,3)＋3a4＝a5等價于eq\f(aeq\o\al(2,4),q2)＋3a4＝a4q，即a4＝q3－3q2.從而q3－3q2>0，q>1或q3－3q2<0，0<q<1.可得q的范圍是q>3或0<q<1，令f(x)＝x3－3x2，x>3或0<x<1，則f′(x)＝3x(x－2)，當(dāng)x>3時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)>f(3)＝0，或f(1)＝－2<f(x)<f(0)＝0，這表明了a4＝q3－3q2的范圍是－2<a4<0或a4>0.所以A錯誤，B正確，C正確，D正確.三、填空題10.(2024·唐山模擬)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a1＝eq\f(1,2)，aeq\o\al(2,3)＝a6，則S3＝________.答案eq\f(7,8)解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由aeq\o\al(2,3)＝a6，得(a1q2)2＝a1q5，則q＝a1＝eq\f(1,2)，由等比數(shù)列求和公式可知S3＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(3))),1－\f(1,2))＝eq\f(7,8).11.(2024·淮北模擬)正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(1,13)，a1＋2，S13成等比數(shù)列，則eq\f(S7,a1)的最小值為________.答案eq\f(63,2)解析設(shè){an}的公差為d，則eq\f(1,13)×S13＝a7＝(a1＋2)2?a1＋6d＝(a1＋2)2?6d＝aeq\o\al(2,1)＋3a1＋4，而an>0，eq\f(S7,a1)＝eq\f(7a4,a1)＝7＋eq\f(21d,a1)＝7＋eq\f(7,2)a1＋eq\f(21,2)＋eq\f(14,a1)≥eq\f(35,2)＋2eq\r(\f(7,2)a1×\f(14,a1))＝eq\f(63,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝2時取得等號.12.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2a10＝2aeq\o\al(2,4)，且S4－S12＝λS8，則λ＝________.答案－2解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意可知q≠1.因為a2a1