專題2022年二模分類匯編-23題專題一相似三角形證明【知識梳理】【歷年真題】1．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，已知正方形ABCD，以AB為邊在正方形外作等邊△ABE，過點(diǎn)E作EF⊥AB與邊AB、CD分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)G，點(diǎn)O在線段EG上，且DO＝CD．（1）求證：AE∥DO；（2）聯(lián)結(jié)AO、DE，DE分別交AO、AB于點(diǎn)M、Q，求證：．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】證明題；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)證出OD＝AE，證明Rt△AFE≌Rt△DGO（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出EF＝OG，由平行四邊形的判定可證出四邊形ADOE為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）證明四邊形ADOE為菱形，由菱形的性質(zhì)得出AO⊥ED，證明△QEF∽△ADM，由相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BE＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵OD＝CD，∴OD＝AE，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴EF⊥CD，∴四邊形ADGF為矩形，∴AF＝DG，AD＝FG，在Rt△AFE和Rt△DGO中，，∴Rt△AFE≌Rt△DGO（HL），∴EF＝OG，∴OE＝FG，∴AD＝OE，又∵AD∥OE，∴四邊形ADOE為平行四邊形，∴AE∥DO；（2）證明：∵四邊形ADOE為平行四邊形，AD＝OD＝CD，∴四邊形ADOE為菱形，∴AO⊥ED，∴∠AMD＝90°，又∵∠EFQ＝90°，∴∠AMD＝∠EFQ，又∵AD∥EF，∴∠ADM＝∠QEF，∴△QEF∽△ADM，∴．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?奉賢區(qū)二模）已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD的延長線上，DE＝DC，聯(lián)結(jié)BE，分別交邊DC、對角線AC于點(diǎn)F、G，AD＝FD．（1）求證：AC⊥BE；（2）求證：＝．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】證明題；解題思想；幾何直觀．【分析】（1）先證明△CDA≌△EDF，可得∠AEG＝∠ACD，從而證得AC⊥BE；（2）先證明△BCF∽△EDF，可得，再由△CDA∽△EAB，可得，從而得證．【解答】證明：（1）∵DE＝DC，AD＝FD，∠EDF＝∠CDA＝90°，∴△CDA≌△EDF（SAS），∴∠AEG＝∠ACD，∵∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠AEG+∠DAC＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AC⊥BE．（2）在矩形ABCD中，BC∥AD，∴BC∥DE，∴△BCF∽△EDF，∴，∵BC＝AD，DE＝CD，∴，由（1）得∠AGE＝90°＝∠CDA，∠AEG＝∠ACD，∴△CDA∽△EAB，∴，∵AB＝CD，∴，∴．【點(diǎn)評】本題考查了三角形相似的判定及全等的證明，由多組邊相等想到證全等是證明題的常見思路，同時第一問的結(jié)論往往會銜接到第二問，所以在證第二問時要聯(lián)系到第一問，這樣子思路才會更順暢！利用已知條件結(jié)合相似判定方法是本題解題的關(guān)鍵．3．（2022?普陀區(qū)二模）已知：如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E為對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AD上，CF交BD于點(diǎn)G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求證：AE2＝AD?DC．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再結(jié)合已知CF＝BD，從而可得AE＝CF，進(jìn)而可得四邊形AECF是平行四邊形，然后再根據(jù)AE＝CE，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，從而可得∠ADE＝∠DEC，進(jìn)而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行線的性質(zhì)可得∠EAD＝∠CFD，然后證明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝90°，E為BD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝BD，∵CF＝BD，∴AE＝CF＝DE，∵CF∥AE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠BCD＝90°，E為BD的中點(diǎn)，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∴四邊形AECF為菱形；（2）∵四邊形AECF為菱形，∴AD∥CE，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，∴＝，∴CF?DE＝AD?CD，∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD?DC．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，AB＝AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，E、F分別是OM、ON上的點(diǎn)．（1）求證：∠AOM＝∠AON；（2）如果AE∥ON，AF∥OM，求證：OE?OM＝AO2．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圖形的全等；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)證明AM＝AN，再證明Rt△AMO≌Rt△ANO，便可得∠AOM＝∠AON；（2）先證明四邊形AEOF為菱形，連接EF，與AO交于點(diǎn)H，再證明△OEH∽△OAM，便可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵AB＝AC，∴AM＝AN，在Rt△AMO和Rt△ANO中，，∴Rt△AMO≌Rt△ANO（HL），∴∠AOM＝∠AON；（2）∵AE∥ON，AF∥OM，∴四邊形AEOF是平行四邊形，∠EAO＝∠AON，∵∠AOM＝∠AON，∴∠EAO＝∠AOM，∴EA＝EO，∴四邊形AEOF是菱形，連接EF，與AO交于點(diǎn)H，∴AO⊥EF，OH＝，∵∠OHE＝∠OMA＝90°，∠EOH＝∠AOM，∴△OEH∽△OAM，∴，∴OE?OM＝OH?OA，∴OE?OM＝AO2．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵在于證明三角形全等與相似．專題二四邊形的證明【知識梳理】【歷年真題】1．（2022?虹口區(qū)二模）已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，AB＝AC，點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，聯(lián)結(jié)OM、ON．（1）求證：OM＝ON；（2）當(dāng)∠BAC為銳角時，如果AO2＝AM?AC，求證：四邊形AMON為等腰梯形．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰梯形的判定；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圖形的全等；梯形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，利用圓心角，弦，弧，弦心距之間的關(guān)系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性質(zhì)可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）連接OB，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到∠AOM＝∠B，利用同圓的半徑線段，等腰三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，則得OM∥ON，利用等腰梯形的定義即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）連接OB，如圖，∵AO2＝AM?AC，AC＝AB，∴AO2＝AM?AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四邊形AMON為梯形，∵AM＝ON，∴四邊形AMON為等腰梯形．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓心角，弦，弧，弦心距之間的關(guān)系定理，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰梯形的定義，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022?嘉定區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AC是對角線，AC＝AD，點(diǎn)E在邊BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，聯(lián)結(jié)DE．（1）求證：BC＝DE；（2）當(dāng)AC＝BC時，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【分析】（1）證△ABC≌△AED（SAS），即可得到結(jié)論；（2）證BC＝AD＝DE，則∠EAD＝∠AED，再證∠AEB＝∠B，則∠EAD＝∠AEB，得AD∥BC，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．在△ABC與△AED中，．∴△ABC≌△AED（SAS）．∴BC＝DE；（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，∵AC＝BC，∴BC＝AD＝DE，∴∠EAD＝∠AED，∴∠B＝∠EAD，∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∴∠EAD＝∠AEB，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．3．（2022?靜安區(qū)二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、DC的中點(diǎn)，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，且BM＝MN＝ND，聯(lián)結(jié)CM、CN．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）如果AE＝AF，求證：四邊形ABCD是菱形．【考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】證明：（1）由三角形中位線定理得ME∥NC，NF∥CM，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于O，連接EF，由平行四邊形的性質(zhì)得AM＝CN，OA＝OC，OM＝ON，再證四邊形ABCD是平行四邊形，然后由三角形中位線定理得EF∥BD，進(jìn)而得∠AMN＝∠ANM，則AM＝AN，最后由等腰三角形的性質(zhì)得AC⊥MN，即可得出結(jié)論..【解答】證明：（1）∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、DC的中點(diǎn)，BM＝MN＝ND，∴ME是△BCN的中位線，NF是△CDM的中位線，∴ME∥NC，NF∥CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形；（2）如圖，連接AC交BD于O，連接EF，由（1）可知，四邊形AMCN是平行四邊形，∴AM＝CN，OA＝OC，OM＝ON，∵BM＝ND，∴OM+BM＝ON+ND，即OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、DC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF∥BD，∴∠AMN＝∠AEF，∠ANM＝∠AFE，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∵OM＝ON，∴AC⊥MN，即AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022?楊浦區(qū)二模）已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段OC、OD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF、BE．（1）求證：四邊形ABEF是等腰梯形；（2）過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)ME，如果∠OME＝∠BAC，求證：四邊形AMEF是菱形．【考點(diǎn)】等腰梯形的判定；三角形中位線定理；菱形的判定；矩形的性質(zhì)．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；梯形；推理能力．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，求出DO＝CO，AO＝BO，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出EF∥DC，OE＝OC，OF＝OD，求出EF∥AB，AE＝BF，根據(jù)等腰梯形的判定得出即可；（2）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出．求出，求出處EF＝AM，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形AMEF和四邊形BMFE是平行四邊形．求出OB⊥ME，根據(jù)菱形的判定得出平行四邊形BMFE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BE＝BM，求出AF＝AM即可．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴DO＝CO，AO＝BO，∵點(diǎn)E、F分別是線段OC、OD的中點(diǎn)，∴EF∥DC，OE＝OC，OF＝OD，∴EF∥AB，OE＝OF，∴OF+OB＝OE+OA，即AE＝BF，∴四邊形ABEF是等腰梯形；（2）連接MF，∵點(diǎn)E、F分別是線段OC、OD的中點(diǎn)，∴，∵OA＝OB，OM⊥AB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴EF＝AM，由（1）知：EF∥AM，∴四邊形AMEF是平行四邊形，同理：四邊形BMFE是平行四邊形，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠OME＝∠BAC，∴∠OME＝∠OBA，∵∠OME+∠BME＝90°，∴∠OBA+∠BME＝90°，∴OB⊥ME，∴平行四邊形BMFE是菱形，∴BE＝BM，又∵四邊形ABEF是等腰梯形，∴BE＝AF，又∵BM＝AM，∴AF＝AM，∴四邊形AMEF是菱形．【點(diǎn)評】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，能靈活運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．5．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），過點(diǎn)A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點(diǎn)G，連接AC．（1）求證：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，聯(lián)結(jié)CG，求證：四邊形AGCE為菱形．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠FAE＝90°，從而可得∠BAF＝∠DAE，進(jìn)而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明，即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠AFE＝∠CFE，從而證明△AFE≌△CFE，進(jìn)而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再證△AFG≌△CFG，從而可得∠FAG＝∠FCG，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，從而可得AE∥CG，進(jìn)而利用菱形的判定方法即可解答．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠FAE＝90°，∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠FAE＝90°，∴△AEF∽△DAC；（2）如圖：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠FAG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AE∥CG，∵AB∥CD，∴四邊形AGCE是平行四邊形，∵AE＝EC，∴四邊形AGCE為菱形．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022?長寧區(qū)二模）已知：如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，G是線段AD上一點(diǎn)，且AG＝2GD，聯(lián)結(jié)BG并延長，交邊AC于點(diǎn)E．（1）求證：＝；（2）如果D是邊BC的中點(diǎn)，P是邊BC延長線上一點(diǎn)，且CP＝BC，延長線段BE，交線段AP于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF、CG，求證：四邊形AGCF是平行四邊形．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）通過證明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性質(zhì)可得DH＝AE，通過證明△BDH∽△BCE，可得結(jié)論；（2）通過證明△DGC∽△DAP，可得∠DGC＝∠DAP，可證GC∥AP，可證GE＝EF，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)D作DH∥AC，交BE于H，∵DH∥AC，∴△DHG∽△AEG，∴，∵AG＝2GD，∴DH＝AE，∵DH∥AC，∴△BDH∽△BCE，∴＝，∴；（2）證明：如圖，∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BD＝2CD，∴＝1，∴AE＝CE，∵CP＝BC＝2CD，∴＝，∵AG＝2GD，∴＝，∴＝，又∵∠ADP＝∠GDC，∴△DGC∽△DAP，∴∠DGC＝∠DAP，∴GC∥AP，∴△GEC∽△FEA，∴，∴GE＝EF，∴四邊形AGCF是平行四邊形．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．專題三邊與角的證明【知識梳理】【歷年真題】1．（2022?金山區(qū)二模）如圖，已知：△ABC和△ADE都是等邊三角形，其中點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，且BF＝CD．（1）求證：DE∥CF；（2）聯(lián)結(jié)DF，設(shè)AD、CF的交點(diǎn)為M，如果DF2＝FM?FC，求證：DF∥AC．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠BDE＝∠CAD，進(jìn)而得出∠BDE＝∠BCF，即可證明DE∥CF；（2）先證明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可證明DF∥AC．【解答】證明：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，∴∠BDE＝∠BCF，∴DE∥CF；（2）如圖2，∵DF2＝FM?FC，∴，∵∠DFM＝∠CFD，∴△DFM∽△CFD，∴∠FDM＝∠FCD，∵∠CAD＝∠BCF，∴∠FDM＝∠CAD，∴DF∥AC．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判斷，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022?松江區(qū)二模）已知：如圖，兩個△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB】＝∠BEC，且點(diǎn)A、B、C在一條直線上，聯(lián)結(jié)AE、ED，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）如果BE2＝BF?BD，求證：DF＝BE．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；圖形的相似；推理能力．【分析】（1）根據(jù)已知易證△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠DAB＝∠EBC，＝，從而可得AD∥EB，進(jìn)而證明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，即可解答；（2）根據(jù)已知易證△BFE∽△BED，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得∠BEF＝∠BDE，進(jìn)而可得∠DAF＝∠BDE，然后利用（1）的結(jié)論可證△ADF≌△DBE，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】證明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，∴＝，∵∠ADB＝∠BEC，∴△DAB∽△EBC，∴∠DAB＝∠EBC，＝，∴AD∥EB，∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，∴△ADF∽△EBF，∴＝，∴；（2）∵BE2＝BF?BD，∴＝，∵∠DBE＝∠EBF，∴△BFE∽△BED，∴∠BEF＝∠BDE，∵∠DAF＝∠AEB，∴∠DAF＝∠BDE，∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，∴△ADF≌△DBE（ASA），∴DF＝BE．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例；菱形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定方法解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴四邊形ADFE是菱形；（2）如圖，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如果BE2＝AB?EF，求證：∠ECF＝∠BAE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)易證四邊形AFCD是平行四邊形，進(jìn)一步根據(jù)SAS即可得證；（2）根據(jù)已知條件可證△EBF∽△EAB，可得∠FBE＝∠BAE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)可得∠FBE＝∠ECF，即可得