大慶一中級(jí)高二年級(jí)下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷出題人：楊繼審題人：孫鳳林85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，則（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】分別求出函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率，解方程可得結(jié)果.【詳解】易知平均變化率為，可得，瞬時(shí)變化率為，因此，解得.故選：A2.若，則（）A.380B.190C.188D.240【答案】B【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)求出，再求出答案.【詳解】由，得，所以.故選：B3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第1頁(yè)/共18頁(yè)【分析】求導(dǎo)，令，解不等式即可.【詳解】，定義域?yàn)?，，令，解?故答案為：D4.已知函數(shù)，其中.則使函數(shù)不存在極值的有序數(shù)對(duì)共有（）對(duì).A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)，根據(jù)得，進(jìn)而列舉出所有數(shù)對(duì)，即可得.【詳解】由題設(shè)，要使函數(shù)不存在極值，只需，所以，滿足的有序數(shù)對(duì)為，共10對(duì).故選：D5.已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象可得是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求出值，再解不等式.【詳解】觀察圖象知，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求導(dǎo)得，第2頁(yè)/共18頁(yè)則，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，，，不等式，解得，所以不等式的解集為.故選：B6.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】在區(qū)間在區(qū)間上有最小值，可得，即可求解.【詳解】由題意得，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上有最小值，則，即，解得.這時(shí)存在，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上有極小值，也是最小值，所以的取值范圍是.故選：A.7.甲校3人、乙校2人、丙校1共6人站成一排合影，要求同校人員不相鄰，則不同排法共有（）A.48種B.96種C.120種D.144種【答案】C【解析】第3頁(yè)/共18頁(yè)【分析】根據(jù)甲校3人不相鄰分類討論他們的位置，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榧仔?人不相鄰排列，所以有以下情形的排列方式：第一類，甲校3人分別在第一、第三、第五個(gè)位置，則有種排法；第二類，甲校3人分別在第一、第三、第六個(gè)位置，則有種排法；第三類，甲校3人分別在第一、第四、第六個(gè)位置，則有種排法；第四類，甲校3人分別在第二、第四、第六個(gè)位置，則有種排法；因此不同排法共有種，故選：C8.已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在交點(diǎn)處存在公切線，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)交點(diǎn)為，分別求出，的導(dǎo)數(shù)，由題意得切線的斜率相等且切點(diǎn)重合，得到m，a的方程，消去a，可得，令，運(yùn)用求得，判斷單調(diào)區(qū)間，即可得到，進(jìn)而得到a的值，再求的導(dǎo)數(shù)和在處的切線斜率和切點(diǎn)，求得切線方程，令，即可得到所求截距.【詳解】設(shè)交點(diǎn)為，且的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，由題意，且，消去a得：，令，，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減.∴處取得極小值，也為最小值為0，則，解得，第4頁(yè)/共18頁(yè)代入，可得，即有，∴，則在處的切線斜率為，切點(diǎn)為∴在處的切線方程為，令，可得.故選：C.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題正確的有（）A.若，則B.已知函數(shù)，若，則C.若，則D.曲線上點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和傾斜角的關(guān)系和正切函數(shù)圖象判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，是個(gè)常數(shù)，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，令，解得，B正確；C選項(xiàng)，得C正確；D選項(xiàng)，，即，又因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有種第5頁(yè)/共18頁(yè)B.有三張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是60C.從6男4女中選4人參加比賽，若4人中必須有男有女，則共有194種選法D.6本不同的書，分給甲、乙每人各2本，分給丙、丁每人各1本，有180種分法【答案】ACD【解析】ABC4人的選法數(shù)，再求出全是男生或女生的選法數(shù)，最后作差求不同選法數(shù)；D應(yīng)用平均分組法求分給甲、乙的方法數(shù)，對(duì)于丙、丁只需將最后2本作全排，即可判斷.【詳解】A：由每封信都有3種投法，則5封信有種投法，對(duì)；B：在5人中確定3人去參觀，沒有排序要求，故有種，錯(cuò)；C10人中任選4人有4人全是男生有4人全是女生由1種，對(duì)；D：先選2本有種，從余下的書再選2本有種，進(jìn)而分給甲、乙，余下的2本分給丙、丁有，所以共有種，對(duì).故選：ACD已知函數(shù)在R上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足：列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】對(duì)A：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意求得，令即可求解第6頁(yè)/共18頁(yè)后判斷；對(duì)B：對(duì)求導(dǎo)分析其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可判斷；對(duì)C：對(duì)xDB可求得函數(shù)值域.【詳解】令，則，故（，，.令，解得或，故函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；，∴令得；令得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，，∴存在，使得；又，∴存在，使得；當(dāng)時(shí)，，∴不存在使得.綜上所述，有且僅有兩個(gè)根，即有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，∴.當(dāng)時(shí)，，.令，則，第7頁(yè)/共18頁(yè)故在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，也滿足不等式.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故選項(xiàng)C正確；由B知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，故函數(shù)在上的值域?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、不等式恒成立和值域問題；其中解決問題的關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確求出的解析式，屬難題.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共分）12.某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是10萬千克，每種植1千克蓮藕，成本增加1元.種植x年需種植蓮藕______萬千克.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有利潤(rùn)且，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得.【詳解】由題意，利潤(rùn)且，所以，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以萬千克，利潤(rùn)最大.故答案為：513.函數(shù)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．第8頁(yè)/共18頁(yè)【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中各段函數(shù)的單調(diào)性，分成，兩種情況并結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.函數(shù)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，所以，在有兩個(gè)零點(diǎn)且此時(shí)，而在上有一個(gè)零點(diǎn)，如圖，所以，解得，且，所以．所以.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，且此時(shí)，又在上恒成立，所以此時(shí)不合題意.綜上，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍常用的方法：（1）分離參數(shù)法：通常解法為從中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根第9頁(yè)/共18頁(yè)據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分類討論法：通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.14.已知函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先設(shè)，結(jié)合已知條件得到在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，再將轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】設(shè)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，為增函數(shù).又因?yàn)?，所?所以，即為偶函數(shù).所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù).因?yàn)?，所以，解得?故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)第10頁(yè)/共18頁(yè)（1）求函數(shù)的極值與單調(diào)增區(qū)間；（2）若曲線與軸僅有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1，2）．【解析】1（2）結(jié)合（1）問的結(jié)果，利用極大值或極小值符號(hào)解決問題．1）．令，則或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：100↗極大值↘極小值↗所以的極大值是，極小值是．所以的單調(diào)增區(qū)間為，（2）函數(shù)，由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有，所以曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．第11頁(yè)/共18頁(yè)由（1）知，．∵曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴或，即或，∴或，∴當(dāng)時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．16.如圖，已知四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，，，分別為的中點(diǎn)．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若平面經(jīng)過且與平行，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）;（2）.【解析】1）連接交于點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而計(jì)算出線面角；（2）設(shè)平面的法向量為，利用該法向量與，垂直，從而計(jì)算出點(diǎn)面距離.小問1詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，由四棱錐是正四棱錐第12頁(yè)/共18頁(yè)易得兩兩互相垂直，在正四棱錐中，因?yàn)椋?，因?yàn)?，且，所以，．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即'取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．【小問2詳解】，．設(shè)平面的法向量為，則，即第13頁(yè)/共18頁(yè)取，得．所以點(diǎn)到平面的距離.17.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng).（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）先根據(jù)等差中項(xiàng)列式，再根據(jù)完全平方公式計(jì)算化簡(jiǎn)，由定義得出等差數(shù)列；（2）先寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再應(yīng)用的分組求和得出即可.【小問1詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列；【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以,所以，第14頁(yè)/共18頁(yè)18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3），關(guān)于的不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析．（2）；（3）．【解析】1）求出導(dǎo)函數(shù)分類討論確定的正負(fù)得單調(diào)性；（2）由（1）的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得參數(shù)范圍；（3數(shù)的范圍．【小問1詳解】，時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)，時(shí)，時(shí)，，是減函數(shù)，時(shí)，，是增函數(shù)，第15頁(yè)/共18頁(yè)綜上，時(shí)，在R上是增函數(shù)，時(shí)，在上是增函數(shù)；【小問2詳解】，由（1）時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，在上遞減得足夠大時(shí)，在上還有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；時(shí)，由（1）知是極小值也是最小值，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)；時(shí)，在上遞增，有一個(gè)零點(diǎn)，因此，此時(shí)，時(shí)，，因此在上也有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，綜上，的取值范圍是；【小問3詳解】不等式即為，又，所以恒成立，設(shè)，，則，由（1）知，從而，且時(shí)，，所以時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以時(shí)，，所以，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，一般有兩種方法：（1）直接由不等式引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，然后由最值滿足的不等關(guān)系求得參數(shù)；（2）分離參數(shù)后，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得新函數(shù)最值，然后可得參數(shù)范圍．第16頁(yè)/共18頁(yè)19.已知函數(shù)（）.（1），求證：；（2）證明：.()【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】1）先證，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可證明；再證，令，利用其導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可證明；（2）l利用（1）的結(jié)論，可得，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為，繼而轉(zhuǎn)化為證，即證；由此構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可證明.【小