非線性系統(tǒng)的分析7-1非線性特性對(duì)系統(tǒng)的影響7-2描述函數(shù)的基本概念7-3典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)7-4用描述函數(shù)研究非線性系統(tǒng)7-5相平面的基本概念7-6系統(tǒng)的相平面分析

前面章節(jié)研究的線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性；嚴(yán)格地說，由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以實(shí)際的自動(dòng)控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)；一些系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來分析：①系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)。②某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條件下，可進(jìn)行線性化處理；但當(dāng)系統(tǒng)的非線性特征明顯且不能進(jìn)行線性化處理時(shí)，就必須采用非線性系統(tǒng)理論來分析。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。7-1

非線性特性對(duì)系統(tǒng)的影響

如果一個(gè)控制系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié),則此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)。實(shí)際的物理系統(tǒng)，由于其組成元件在不同程度上具有非線性特性，嚴(yán)格地講，都是非線性系統(tǒng)。一、本質(zhì)非線性系統(tǒng)特點(diǎn)：非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，如圖所示。

線性系統(tǒng)如果某系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號(hào)及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式。1）初始條件與輸入量對(duì)非線性系統(tǒng)的影響

初始條件不同時(shí)非線性系統(tǒng)不同的響應(yīng)特性

2）非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩：在沒有外作用時(shí),有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過程物理上可實(shí)現(xiàn)并可保持,通常將其稱為自持振蕩或自振蕩；線性系統(tǒng)只有兩種工作模式：要么發(fā)散，要么收斂；非線性系統(tǒng)有收斂、發(fā)散和自持振蕩三種狀態(tài)。3）非線性畸變

當(dāng)非線性輸入的信號(hào)為正弦作用時(shí)，由于非線性其輸出將不再是正弦信號(hào)，而包含有各種諧波分量，發(fā)生非線性畸變。

4）混沌

非線性系統(tǒng)出現(xiàn)了一種非周期的運(yùn)動(dòng)，其軌跡是永不閉合的非周期曲線。

非線性系統(tǒng)分析方法：1）非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)比線性系統(tǒng)復(fù)雜得多；2）分析線性系統(tǒng)的分析方法不能用于分析非線性系統(tǒng)；3）非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程；但至今為止非線性微分方程沒有成熟的解法；4）描述函數(shù)法、相平面法和李亞譜諾夫第二方法是分析非線性系統(tǒng)的三種方法。二、

典型非線性環(huán)節(jié)

1、飽和非線性飽和非線性對(duì)系統(tǒng)的影響：飽和非線性使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下的等效增益下降，嚴(yán)重的可以使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。

2、死區(qū)

在實(shí)際系統(tǒng)中死區(qū)可由眾多原因引起，它對(duì)系統(tǒng)可產(chǎn)生不同的影響：一方面它使系統(tǒng)不穩(wěn)定或者產(chǎn)生自振蕩；另一方面有時(shí)人們又人為的引入死區(qū)特性，使系統(tǒng)具有抗干擾能力。

3、滯環(huán)（非單值特性）滯環(huán)特性會(huì)使系統(tǒng)的相角裕度減小,動(dòng)態(tài)性能惡化,甚至產(chǎn)生自持振蕩。4、繼電器特性繼電器非線性會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且使穩(wěn)態(tài)誤差加大。7-2描述函數(shù)的基本概念

描述函數(shù)法實(shí)質(zhì)上是一種諧波線性化方法，其基本思想是用非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)中的基波分量來取代其正弦輸入信號(hào)作用下之實(shí)際輸出。一、諧波線性化例：繼電非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)下的輸出為同頻率的方波。在x(t)

作用下穩(wěn)態(tài)輸出y(t)

是非正弦周期信號(hào)，表示為傅里葉級(jí)數(shù)：推廣至任意的非線性元件若非線性環(huán)節(jié)是輸入的奇函數(shù)（斜對(duì)稱）則A0=0其中：高次諧波的振幅小于基波分量的振幅，則可以忽略，這樣，非線性裝置在一定條件下看成為具有對(duì)輸入正弦的響應(yīng)仍是同頻率正弦的線性化特性的一種線性元件，從而使含有這種非線性元件的非線性系統(tǒng)變成一類有條件的線性系統(tǒng)，或稱線性化系統(tǒng)，其條件就是諧波線性化。諧波線性化：用輸出的基波分量代替整個(gè)輸出，略去高次諧波。二、描述函數(shù)在諧波線性化系統(tǒng)中，非線性元件的特性，與頻率響應(yīng)描述線性元件特性相類似，也可采用一復(fù)變函數(shù)N(A,w)來描述。描述函數(shù)N(A,w)定義為非線性元件在輸入信號(hào)為正弦函數(shù)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比。類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，但有所區(qū)別。在一般情況下，N(A,w)為正弦輸入信號(hào)幅值的函數(shù)，而與頻率無關(guān)。只有當(dāng)非線性元件具有儲(chǔ)能特性時(shí)，描述函數(shù)才既是輸入振幅又是角頻率的函數(shù)。線性元件的頻率特性是頻率的函數(shù)，與振幅A無關(guān)。7-3典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1飽和非線性：飽和特性的描述函數(shù)為:2死區(qū)非線性死區(qū)特性的描述函數(shù)為：

3滯環(huán)特性

滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為:

其中4繼電特性

繼電特性的描述函數(shù)為:

(1)．單值繼電特性單值繼電特性在正弦輸入作用下的輸出波形

非繼電特性的描述函數(shù)為:

(2)．非單值繼電特性非單值繼電特性在正弦輸入作用下的輸出波形

7-4用描述函數(shù)研究非線性系統(tǒng)一非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析描述函數(shù)是在正弦輸入信號(hào)作用下，輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)之間的關(guān)系。描述函數(shù)只能用于對(duì)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩的近似分析。

非線性部分用描述函數(shù)表示；

非線性部分用描述函數(shù)表示；

自持振蕩只與非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，分析自持振蕩時(shí)，設(shè)。含有非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖將與間通路斷開，并加入正弦信號(hào)反饋至非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)亦為正弦信號(hào)，即有

式中，

則非線性環(huán)節(jié)的輸出為設(shè)非線性描述函數(shù)為

此時(shí)，若把和之間的斷開點(diǎn)接上，并撤消外部施加的信號(hào)，自持振蕩仍然能夠保持下去。由此可見，產(chǎn)生自持振蕩的條件是：

因此可以類似的得到當(dāng)線性系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時(shí)的非線性系統(tǒng)的乃氏判據(jù)。

上述情況與線性系統(tǒng)中的乃氏曲線穿越點(diǎn)相類似

利用描述函數(shù)判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒特性相當(dāng)于線性系統(tǒng)的點(diǎn)；

如非線性部分的負(fù)倒特性沒有被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果非線性部分的負(fù)倒特性被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性

如果與曲線相交，則可能產(chǎn)生自持振蕩。嚴(yán)格地講，自持振蕩不是正弦的，但可以用正弦來近似。自持振蕩的幅值是由交點(diǎn)處曲線上的A值決定的，而頻率是由交點(diǎn)處曲線上的頻率決定的。二、非線性系統(tǒng)自持振蕩分析自持振蕩分析ABA結(jié)論：判斷系統(tǒng)是否存在自持振蕩在曲線與曲線的交點(diǎn)附近，沿A增大方向，在負(fù)倒特性曲線上取一點(diǎn)，若該點(diǎn)不被連續(xù)部分頻率特性包圍，則該點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)自持振蕩狀態(tài)，相應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；否則，就不是自持振蕩，只是一個(gè)不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的解，將會(huì)發(fā)散、收斂或者變化到下一個(gè)自振點(diǎn)?！纠?】判斷圖中各自振蕩點(diǎn)穩(wěn)定與否?

三、實(shí)例分析【例2】確定圖中非線性系統(tǒng)的自振蕩振幅和頻率。圖7-2例7-3非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：理想繼電特性的描述函數(shù)為由于

故的軌跡為沿整個(gè)負(fù)實(shí)軸的直線

線性部分的頻率特性

根據(jù)產(chǎn)生自持振蕩的條件得

解之得

將之代入

得

由

得

【例3】具有飽和非線性特性的系統(tǒng)如圖7-23所示，其中，求系統(tǒng)處于穩(wěn)定臨界狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)線性部分臨界開環(huán)放大系數(shù)值。圖7-3例7-4飽和非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：飽和特性的描述函數(shù)為因?yàn)榉蔷€性環(huán)節(jié)比例系數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；

時(shí)，。因此，是負(fù)實(shí)軸上從移向的軌跡。由圖7-4可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界點(diǎn)是其線性部分與非線性曲線起點(diǎn)的相交處（-0.5，j0）。臨界開環(huán)放大系數(shù)可按下式求得圖7-4例7-4系統(tǒng)的幅相特性曲線令，得所以系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，所以，此系統(tǒng)臨界開環(huán)放大系數(shù)小結(jié)非線性系統(tǒng)有不同于線性系統(tǒng)的特性；描述函數(shù)是對(duì)非線性系統(tǒng)特性的諧波線性化處理后的近似線性系統(tǒng)的頻率特性；描述函數(shù)法應(yīng)用必須滿足四個(gè)條件；描述函數(shù)法只能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。7-5相平面的基本概念考慮二階系統(tǒng)：式a中和是和的函數(shù)由于和都是時(shí)間t的函數(shù)，因此當(dāng)t取特定值時(shí)，在-平面上對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)t連續(xù)變化時(shí)，將在-平面上留下一條軌跡——相軌跡或相平面圖。1、相平面和相軌跡的基本概念1）相軌跡上每一個(gè)點(diǎn)都有確定的斜率二階系統(tǒng)或等號(hào)兩邊同時(shí)除以得令則2、相軌跡的幾個(gè)性質(zhì)該式稱為相軌跡方程，相軌跡上每一點(diǎn)的斜率都滿足該方程2）相軌跡的奇點(diǎn)

每個(gè)初始條件出發(fā)都會(huì)有一條相軌跡，不同初始條件出發(fā)的相軌跡不會(huì)相交。

滿足看看的點(diǎn)稱為相軌跡奇點(diǎn)。該點(diǎn)處相軌跡的斜率為一個(gè)不確定值，因此有無數(shù)多條相軌跡通過該點(diǎn)，他們的斜率各不相同。3）相軌跡正交于軸

軸上所有點(diǎn)，總為0，這些點(diǎn)上相軌跡斜率為∞，表示相軌跡與該軸正交。

相平面的上半平面相軌跡向右運(yùn)動(dòng)，相平面的下半平面相軌跡向左運(yùn)動(dòng)。4）相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向確定1）解析法當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程比較簡(jiǎn)單或易于分段線性化時(shí),可使用解析法求出相軌跡方程的解,再繪制相軌跡。

方法是直接解出和對(duì)的表達(dá)式，消去得到和的關(guān)系，繪制到相平面中即可。3、相軌跡的繪制【例】含有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制其相軌跡。

解

系統(tǒng)線性部分輸入/輸出關(guān)系為非線性部分輸入/輸出關(guān)系為

因?yàn)?/p>

故該系統(tǒng)的相軌跡方程式為

對(duì)所得相軌跡方程進(jìn)行分離變量積分，得式中A1,A2為積分常數(shù),由初始條件求得。由此,可在相平面上作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示。直線c=r將相平面分為兩個(gè)區(qū)域,即I區(qū)及II區(qū),它們分別對(duì)應(yīng)于上述兩個(gè)方程式；每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是一族拋物線2）等傾線法當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時(shí),可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。對(duì)非線性系統(tǒng)：將上式表示為：其中d/dx是相軌跡的斜率,令d/dx=

,

為一常數(shù),上式稱為等頃線方程，各相軌跡與該曲線交點(diǎn)的斜率相等,且等于

。則有方法：（1）對(duì)于給定斜率

,求解等頃線方程,得到一條等頃曲線。（2）給定不同的

值,可在相平面上繪制不同的等傾曲線。（3）由給定的初始條件出發(fā),沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向,依次畫出系統(tǒng)相軌跡?！纠?/p>

線性二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡解:等傾線的方程即有

所以等傾線是通過相平面原點(diǎn)的一些直線，當(dāng)時(shí)的等傾線如圖所示

相平面法的適用范圍：二階非線性特性可以表示為分段的線性特性，則適宜用相平面法進(jìn)行研究；相軌跡的繪制：（1）非線性特性的每一線性段對(duì)應(yīng)著一個(gè)線性微分方程；（2）這個(gè)線性微分方程適用于在相平面上一個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)域；（3）用解析法或等傾線法求得每一個(gè)區(qū)域的相軌跡族；（4）將各個(gè)區(qū)域的相軌跡族拼接在一起,就得到整個(gè)系統(tǒng)的相平面圖。7-6系統(tǒng)的相平面分析

根據(jù)相軌跡分析系統(tǒng)性能：（1）繪制相軌跡；（一般為誤差相軌跡?。。?）根據(jù)給定的初始條件,在相平面上確定相軌跡的起點(diǎn)；（3）從起點(diǎn)開始，相點(diǎn)在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)按相軌跡族中的某一軌跡運(yùn)動(dòng),在兩區(qū)域交界處作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換：前一區(qū)域相軌跡的終點(diǎn)即是下一區(qū)域相軌跡的起點(diǎn),依次類推,可得出全部相軌跡。（4）根據(jù)繪制的相軌跡可分析非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。包括穩(wěn)定性、響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差。一、階躍響應(yīng)典型二階線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

因?yàn)?/p>

所以，

在階躍輸入作用下

所以，

由于系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，初始條件為

且有

即系統(tǒng)的奇點(diǎn)為:

典型二階線性系統(tǒng)階躍輸入相平面圖及時(shí)域曲線

二、斜坡響應(yīng)典型二階線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

因?yàn)?/p>

所以，

初始條件為

在斜坡輸入作用下

設(shè)則，

典型二階線性系統(tǒng)斜坡輸入相平面圖

三、脈沖響應(yīng)典型二階線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

因?yàn)?/p>

所以，

初始條件為

在單位脈沖輸入作用下

典型二階線性系統(tǒng)脈沖輸入相平面圖四、奇點(diǎn)和奇線

1．奇點(diǎn)系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)實(shí)質(zhì)上主要取決于其對(duì)應(yīng)特征方程兩個(gè)極點(diǎn)的分布情況和形式。

滿足表現(xiàn)在相平面上，有無窮多條相軌跡離開或者匯入該點(diǎn)，這樣的點(diǎn)被稱為奇點(diǎn)。

典型二階系統(tǒng)奇點(diǎn)特性及其相平面圖

關(guān)于奇點(diǎn)的結(jié)論：①線性二階系統(tǒng)有一個(gè)奇點(diǎn)，如果是零輸入系統(tǒng)，奇點(diǎn)就是原點(diǎn)。②除奇點(diǎn)外，不同初始點(diǎn)的相軌跡不相交。③根據(jù)線性系統(tǒng)根的分布，判斷奇點(diǎn)類型，可以確定奇點(diǎn)附近的相軌跡，可以分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。④對(duì)于非線性二階系統(tǒng)，可能存在多個(gè)奇點(diǎn)，在確定奇點(diǎn)位置后，可以在奇點(diǎn)處對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，然后確定奇點(diǎn)附近的相軌跡。設(shè)奇點(diǎn)為在奇點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，略去高次項(xiàng)增量化方程線性化方程例1：繪制方程描述的非線性系統(tǒng)的相平面圖。奇點(diǎn)和穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)系統(tǒng)奇點(diǎn)特性及其相平面圖

2．奇線-極限環(huán)在相平面圖上表現(xiàn)為一個(gè)孤立的封閉的相軌跡，其他軌跡都趨向或者離開這個(gè)相軌跡，這個(gè)相軌跡稱之為極限環(huán)。極限環(huán)在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)上表現(xiàn)為自振蕩。穩(wěn)定極限環(huán)特性及其相平面圖

不穩(wěn)定極限環(huán)特性及其相平面圖

半穩(wěn)定極限環(huán)相平面圖的兩種情況半穩(wěn)定極限環(huán)時(shí)域特性例2：帶有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖2，設(shè)其開始處于靜止?fàn)顟B(tài)，求解當(dāng)時(shí)的系統(tǒng)相軌跡。系統(tǒng)中各參數(shù)為：圖2例7-7非線性控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及飽和特性解：由飽和特性曲線，有系統(tǒng)方程為

五、非線性系統(tǒng)的相平面分析

(1)對(duì)于在飽和特性的線性段范圍內(nèi)，有(≤)代入系統(tǒng)參數(shù)T,K后可知，其奇點(diǎn)(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡變化如圖2中區(qū)域內(nèi)曲線所示。對(duì)于非線性工作狀態(tài)，有分析可知，不存在奇點(diǎn)，在此兩區(qū)域中的根軌跡安等傾線法則繪制即可。令可得當(dāng)時(shí)，輸入為，即。取不同，其等傾線均為位于平面的直線。特殊地，當(dāng)時(shí)，為相軌跡的漸近線，所以此區(qū)域內(nèi)相軌跡均趨于直線該區(qū)域內(nèi)相軌跡均趨于直線。圖3例7-7非線性系統(tǒng)階躍輸入下的完整相平面圖（2）對(duì)斜坡輸入量對(duì)于非線性工作狀態(tài)，則據(jù)分析可知，同樣不存在奇點(diǎn)。此例中，時(shí)，也可以求得相軌跡漸近線。即當(dāng)時(shí)，相軌跡趨于直線；當(dāng)時(shí)，除了的特殊情況之外，相軌跡趨于直線；而根據(jù)或者兩種情況不同，相軌跡的漸近線或者位于橫軸之上或者位橫軸之下，對(duì)系統(tǒng)性能影響大不相同。圖4例7-7系統(tǒng)斜坡輸入下的完整相平面圖（1）當(dāng)V=1.2，則時(shí)的漸近線為，奇點(diǎn)，初始條件，故相軌跡上初始B為（0，1.2）。相軌跡由初始點(diǎn)A沿e增大方向運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的相軌跡趨于穩(wěn)定焦點(diǎn)，但經(jīng)切換線e=e0后，最終趨