全國各地中考數(shù)學(xué)常考試題及答案

一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題

1.(2018安徽蕪湖)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、

C。都垂直于x軸，垂足分別為B、。且47與8相交于￡點.

已知：力(-2,-6),C(1「3)

(1)求證：￡點在y軸上；

(2)如果有一拋物線經(jīng)過4E,C三點，求此拋物線方程.

(3)如果48位置不變，再將。C水平向右移動A(A>0)個

單位，此時4?與仍相交于P點，如圖②，求△?￡C

的面積S關(guān)于〃的函數(shù)解析式.

圖①

［解］(1)(本小題介紹二種方法，供參考)

方法一：過E作&T_Lx軸，垂足/Z.AB//EOf//DC

?EQ1_DO1EOf_BO1

義?：DO,+BOf=DB

.EO'EO'?

.?-----+-----=1

ABDC

,:AA6,033,E0f=2

q??DO'EOf?皿EO'2.

乂?=.??DO=xDB=—x3=11

DBABAB6

D0r=DO,即0f與0重合，￡在V軸上

方法二：由。(1,0),>4(-2,-6),得以直線方程：*2x2①

再由8(-2,0),。(1,-3),得BC直線方程：尸-k2②

聯(lián)立①②得「二°

[)，=-2

???￡點坐標(biāo)(0,-2),即￡點在v軸上

(2)設(shè)拋物線的方程片石x2+b/c(a學(xué)°)過力(_2,-6),C

(1,-3)

4a-2h+c=一6①

E(0,~2)三點，得方程組.〃+/?+c=-3②

c=-2@

解得k1,"0,C=-2

???拋物線方程尸-「-2

(3)(本小題給出三種方法，供參考)

由(1)當(dāng)。C水平向右平移〃后，過業(yè)?與8C的交點P作

EfELx軸垂足為F。

同(1)可得：空+互=i得：Ef42

ABDC

方法一：義?：E'F//AB^—=—：.DF=-DB

ABDB93

iii2

SyE，而S^c-<SkrDF-DC^DB一一DC?DF=—DC?一DB

AD2223

3

S=3+k為所求函數(shù)解析式

方法二：BA//DC,SXBCFSXBDA

7

:,SXAEFS^BDE)=gBO?E7=g(3+Z)x2=3+Z

Z.夕3+〃為所求函數(shù)解析式.

f

注法三：S△虻。：SHE，F(xiàn)DE'：AE=DC：AB^\：2

同理：S4D/c?〃尸.2,又<**庶c-跋=DG.A^—\?4

2?1

'SMEC=QS梯形A8CD=GX3(A"+8"80=3+左

VVZ

夕3+"為所求函數(shù)解析式.

2.(2018廣東茂名)已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中，以

點M(1,0)為圓心、直徑AC為2四的圓與y軸交于A、D

兩點.

(1)求點A的坐標(biāo);

(2)設(shè)過點A的直線y=x+b與x軸交于點B.探究：直線

AB是否。M的切線？并對你的結(jié)論加以證明;

(3)連接BC,記aABC的外接圓面積為8、OM面積為S2,

若色=2,拋物線

S?4

y=ax?+bx+c經(jīng)過B、M兩點、,且它的頂點到x軸的距離為

h.求這條拋物線的解析式.

［解］(1)解：由已知AM=應(yīng)，0M=1,

在RtZkAOM中，KO=YIAM2-OM2=1,

.,?點A的坐標(biāo)為A(0,1)

(2)證：???直線y=x+b過點A(0,1)A1=0+b即b

=1/.y=x+1

令y=0貝"x=-1AB(—1,0),

f^=^Bd1+A61=A/12+12=A/2

在aABM中，AB=、6,AM=V2,BM=2

\B2+AM2=(O(OY=4=BM2

???△ABM是直角三角形，ZBAM=90°

.??直線AB是。M的切線

(3)解法一：由⑵得NBAC=90。,AB=尬,AC=2及,

ABC=^ABr+AC2=J(V2)2+(2V2)2=VW

ZBAC=90°;.△ABC的外接圓的直徑為BC,

?qBC,/頌25

??S|=(萬)=(-)?兀=3兀

工c,AC\22丘、2c

PQS2=(-----)~?7T=(——)?71—27

S,_h三兀_h

即.*./?=5

S?4,2^~4

設(shè)經(jīng)過點B(―1,0).M(1,0)的拋物線的解析式為：

y=a(+1)(x—1),(a#=0)即y=ax2—a,/.—a

=±5,a=±5

工拋物線的解析式為y=5x2—5或y=-5x?+5

解法二：(接上)求得??.h=5

由已知所求拋物線經(jīng)過點B(—1,0)、

M(1、0),則拋物線的對稱軸是y軸，由題意得拋物

線的頂點坐標(biāo)為(0,±5)

，拋物線的解析式為y=a(x-0)2±5

又B(-1,0)、M(1,0)在拋物線上，

/.a±5=0,a=±5

?,?拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5x2+5

解法三：(接上)求得???h=5

因為拋物線的方程為y=ax?+bx+c(aRO)

。+b+c=0a=-5。二5

由已知得,a-b+c=0解得b=0或＜b=O

4ac-b2yc=5c=-5

=±5

14a

拋物線的解析式為y=5x2—5或y=—5X2+5.

3.(2018湖北荊門)如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點P(1,-1)

為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，拋物線

y=ax?+Z?x+>0)過點A、B,且頂點C在。P上.

⑴求。P上劣弧魂的長;

⑵求拋物線的解析式；

⑶在拋物線上是否存在一點D,使線段0C與PD樓相平分?

若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

［解］(1)如圖，連結(jié)PB,過P作PM_Lx軸,

在RtZkPMB中，PB=2,PM=1,

AZMPB=60°,：.ZAPB=120°

◎的長=黑424

y

(2)在Rt/\PMB中,PB=2,PM=1,則MB=MA=y3

又0M=1,AA(1-V3,0),B(1+V3

由拋物線及圓的對稱性得知點C在直線PM上;

c

則C(1,-3).

點A、B、C在拋物線上，則

0=tz(l+A/3)2+/?(1+V3)+c〃=1

<O=67(1-V3)2+Z?(1-V3)+C解之得卜二-2

-3=a+〃+c[c=-2

.?.拋物線解析式為y=x2-2x-2

(3)假設(shè)存在點D,使0C與PD互相平分，則四邊形OPCD

為平行四邊形，且PC〃OD.

又PC〃y軸，???點D在y軸上，A0D=2,即D(0,-2).

又點D(0,-2)在拋物線)，=——2工_2上，故存在點D(0,

-2),

使線段0C與PD互相平分.

4.(2018湖北襄樊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△彳仇?

的直角頂點C(0,m在y軸的正半軸上，A.8是工軸上

是兩點，且OA：08=3：1,以(M、OB為直徑的圓分別交

4c于點￡交8c于點￡直線夕7交。C于點0.

(1)求過4B、。三點的拋物線的解析式；

(2)請猜想：直線)與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明

你的猜想.

(3)在△47C中，設(shè)點"是4C邊上的一個動點，過/作

MN//AB交0C于點兒試問：在不軸上是否存在點P,使得△ZW

是一個以例為一直角邊的等腰直角三角形？司存在，求出

戶點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.c

x

［解］⑴在RtZ^SC中，OCA-AB.

:,△AOC^XCOB.

：.Od=OA*OB.

9：0A：08=3:1,C(0,V3),

.?.(6Y=3OB?OB.

：.0B=\,A04=3.

??J(-3,0),8(1,0).

設(shè)拋物線的解析式為y=cix2+/?x+c

5/3A

9o-3Z?+c=0,

則<4+/?+C=0,解之，得"=-'!也

c=6.c="

???經(jīng)過小B、C三點的拋物線的解析式為y=_@x2_2Gx+6.

⑵所與?！ā??？诙枷嗲?

證明：連結(jié)，旦0E、0F.

ZECF=ZAE0=ZBF0=90°,

.??四邊形EOFC為矩形.

：.QE=00.

：.Z1=Z2.

VZ3=Z4,Z2+Z4=90°,

.?.￡F與。a相切.

同理：EF理。a相切.

⑶作施_L"于"，設(shè)MN=a，由題意可得MP=MN=a.

???MN〃0A,

:?MCMNsXCAO.

.MN_CN

??茄一而.

.a\/3-a

,.—=—產(chǎn)—.

36

解之，得〃=￡1二2.

此時，四邊形OPMN是正方形.

：.MN=OP=36-3

2

??.p（.H，。）.

2

考慮到四邊形必仞此時為正方形，

???點夕在原點時仍可滿足△%!/是以神為一直角邊的等腰

直南三角形.

故1軸上存在點戶使得△加!/是一個以帆為一直角邊的等腰

直角三角形且p（-巫口,。）或mo）.

2

5.（2018湖北宜昌）如圖，已知點A（0,1）、C（4,3）、E（"，

4

至），P是以AC為對角線的矩形ABCD內(nèi)部（不在各邊上）的

8

一個動點，點D在y軸，拋物線丫=#+1）/1以P為頂點.

⑴說明點A、C、E在一條條直線上；

⑵能否判斷拋物線y=ax?+b/1的開口方向？請說明理由；

⑶設(shè)拋物線y=ax2+b/1與x軸有交點F、G（F在G的左側(cè)），

△GAO與△FAO的面積差為3,且這條拋物線與線段AE有

兩個不同的交點.這時能確定石、b的值嗎？若能，請求出

石、b的值；若不能，請確定a、b的取值范圍.

(本題圖形僅供分析參考用)Y'

D--~~~py:

［解］(1)由題意，A(0,1)、C(4,3)確a^定

B

的解析式為：y二_______________

2OX

將點E的坐標(biāo)E(",空)代入yd/1中，

482

左邊二十右邊帶X寧仁京

:左邊二右邊，???點E在直線y三對1上，即點A、C、E

在一條直線上.

(2)解法一：由于動點P在矩形ABCD內(nèi)部，???點P的縱

坐標(biāo)大于點A的縱坐標(biāo)，而點A與點P都在拋物線上，且P

為頂點，???這條拋物線有最高點，拋物線的開口向下

解法二：?.?拋物畿y=zf+b/c的頂點P的縱坐標(biāo)為也二”，

4。

且P在矩形ABCD內(nèi)部，??J<4。一”<3,由1V1一廿得一

4a4a

外>0,???石<0,?,?拋物線的開口向下.

4〃

(3)連接GA、FA,?；SAGAOSAFAO_3.4GO-A0-1F0-A0=3

V0A=1,AGO—F0=6.設(shè)F(必，0)、

G(x2,0),則*、X2為方程^x+bA+c=0

的兩個根，且*〈X2,又???3<0,???

Xy*X~-<0,/.Xi<0<X,

2a2

/.GO-X2,FO--x,:.x?—(—X\)-6,

即X2+M=6,丁X2+X1=---?—--6,

aa

??b=6a,

???拋物線解析式為：y二石入2—66什1,其頂點P的坐標(biāo)為(3,

1—9a),???頂點P在矩形ABCD內(nèi)部,

Z.K1—9a<3,???一2VaVO.

9

Cy=ad-6ax+\

由方程組］?得：ax1一(6?+—)x=0

Ly=—x+12

J2

6a4—1

??.x=0或H——2=6+」-.

a2a

當(dāng)產(chǎn)0時，即拋物線與線段AE交于點A,而這條拋物線與

線段AE有兩個不同的交

點，則有：0V6+，W”,解得：-2WaV-L

2a4912

綜合得：一2v石v—_l?.?b二一6a,.\l<b<l

91223

6.(2018湖南長沙)已知兩點0(0,0)、B(0,2),OA過

點B且與x軸分別相交于點0、C,OA被p軸分成段兩圓

弧，其弧長之比為3：1,直線/與。A切于點0,拋物線的

頂點在直線/上運動.

(1)求。A的半徑；

(2)若拋物線經(jīng)過0、C兩點，求拋物線的解析式；

(3)過/上一點P的直線與。A交于C、E兩點，且PC=

CE,求點E的坐標(biāo);

(4)若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點，其頂點P的

橫坐標(biāo)為勿，求APEC的面積關(guān)于勿的函數(shù)解析式.

［解］(1)由弧長之比為3：1,可得NBA0=90。

再由AB=A0=r,且0B=2,得r=/

⑵OA的切線/過原點，可設(shè)/為尸版

任取/上一\占、(6,k垃，由/與y軸夾角為45°可得：

b=—或b=kb,得k=—1或k=1,

/.直線/的解析式為y=—x或y=x

又由r=V5,易得C(2,0)或C(—2,0)

由此可設(shè)拋物線解析式為y=dx(x—2)或p=dx(x+2)

再把頂點坐標(biāo)代入/的解析式中得d=1

拋物線為y=x—7.x或y=x+2x...6分

(3)當(dāng)/的解析式為卜=一乂時，由P在/上，可設(shè)P(m,-

m)(m>0)

過P作PP，_Lx軸于P，,.\0P,=|m|,PP,=|-m|,/.OP

=2m2,

又由切割線定理可得：OP2=PC?PE,且PC=CE,得PC=PE

=m=PP,7分

???C與P為同一點，即PE_Lx軸于C,.\m=-2,E(-2,

2)…8分

同理，當(dāng)/的解析式為y=x時，m=-2,E(-2,2)

⑷若C(2,0),此時/為_/=一(??￥與點0、點C不重

合，...mHO且m#=2,

當(dāng)mVO時，F(xiàn)C=2(2-m),高為|y0|即為一m,

?e_2(2-/n)(-m)

..o----------=m2-20m

2

同理當(dāng)0VmV2時，S=—m2+2m;當(dāng)m>2時，S=m2-2m;

m~-2m(m<?；?

2>2)又若C(—2,0),

—trr+2帆(0<<2)

此時/為卜=>，同理可得；s=jm72,n(m<-2^>0)

I-nr-2m(-2<m<0)

7.(2018江蘇連云港)如圖，直線產(chǎn)丘+4與函數(shù)

),=々工〉0,〃?>0)的圖像交于/1、B兩點、,且與x、v軸分別交于

C、力兩點.

(1)若AC。。的面積是A4Q3的面積的血倍，求人與機之間

的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在(1)的條件下，是否存在〃和加，使得以為直

徑的圓經(jīng)過點P(2,0).若存在，求出女和加的值4若不存在,

請說明理由.

［解］（1）設(shè)A（X"|）,8（戈2，為）（其中王<工2，必>為

由SACOl）=6sMOB,何SA8D=叵（SMOD-SAROD）

/.-OCOD=y/2（L?OQ?y1?

2212-

OC=V2（y）-y2）,

又OC=4,/.（兇-為＞=8,即（弘+為1-4yly2=8,

由）,=生可得了=上，代入y=丘+4可得）7-4曠-&〃2=0①

???0+,2=4,M?），2=-km,

；?16+4Z〃2=8,艮口%=--.

tn

又方程①的判另4式△=16+4km=8>0,

???所求的函數(shù)關(guān)系式為攵=一2(加>0).

m

(2)假設(shè)存在使得以A3為直徑的圓經(jīng)過點P(2,o),

則APJL3P,過A、8分別作x軸的垂線，垂足分別為V、N.

:ZMAP與ZZ"W都與ZAPM互余,，ZMAP=ZBPN.

二?RtAMAPSRt處IPB,.

PNNB

.?-=-----,??(Xj-2)(X2-2)+y2=0

(--2)(^--2)/>V2=0,

2

即即-2〃?(M+為)+4yly2+(Jiy2)=0②

由(1)知必+乃=4,yy-^2=2,代入②得加2一8〃?+12=0,

:.2或6,又廣―戲

二?存在攵，m,使得以A8為直徑的圓經(jīng)過點尸(2,0),且"=2或

k=-\

\nt=6

,1.

K=——

3

8.(2018江蘇鎮(zhèn)江)已知拋物線y=〃優(yōu)2_(〃2_5)工-5("7〉0)與X

軸交于兩點4(40)、B(X2,0)(X1<X2),與V軸交于點C,且

AF6.

(1)求拋物線和直線8c的解析式.

(2)在給定的直角坐標(biāo)系中，畫拋物線和直線8c

(3)若G)p過4B、C三點，求OP的半徑.

(4)拋物線上是否存在點肌過點"作M7V_Lx軸于點乂

使AMBN被直線8c分成面積比為1:3的兩部分？若存在,

請求出點"的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)由題意得：x+x=——-,Xj-x=—,x-x=6.

y2m2~m2i

(%)+x)2-4X(X=36,------+—=36,

22\m)m

解得-2y

-7

經(jīng)檢驗*1，，拋物線的解析式為：y=x2+4x-5.-

或：由/m:?—(加一5)工一5=0得，x=l或O_

x=—-5

m

,：m>0,

-5/1

I-----=o,.\m=l.

m

拋物線的解析式為y=/+4x-5.

由犬+4工一5=()得玉=-5,x2=l.

：.A(-5,0),8(1,0),C(0,-5).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

則產(chǎn)-5,上-5,

k+b=0.k=5.

???直線BC的解析式為y=5x-5.

（2）圖象略.

（3）法一：在RtDAOC中，-/OA=OC=5,ZOAC=45°.

.-.ZBPC-90°.

^BC=y]OB2+OC2=726,

/.OP的半徑==岳.

法二：

由題意，圓心"在的中垂線上，即在拋物線y=f+4x-5的

對稱軸直線犬=-2上，設(shè)夕（—2,—h）（/7>0）,

連結(jié)PB、PC,貝l]P82=（l+2）2+〃2,尸。2=（5一〃）2+22,

由PB2=PC2,即（1+2）2+*=（5j）2+22,解得斤2.

.?.尸（一2,—2）,/.QP的半徑PB=7（1+2）2+22=V13.

法三：

延長少交OP于點F.

?/CF為0P的直徑，ZC4F=ZCOB=90°.

又ZABC=ZAFC,DACF?DOCB.

CFAC'ACBC

，——=——CF=----------.

BCOCOC

又AC=J52+52=50,CO=5,5C=A/52+12=X/26,OO

:.CF=56義區(qū)=2萬.

.??O尸的半徑為713.

(4)設(shè)椒交直線8。于點￡點的的坐標(biāo)為",產(chǎn)+4—5),則點

E的坐標(biāo)為(力5/-5).

若SDMEB:=上3,則ME:EN=1:3.

4

EN:MN=3:4,.?./9+4/-5=—(5r-5).

解得4=1(不合題意舍去)，”僅，竺］

~3139J

若SDMEB:5D￡7Vfi=3:1,則ME：EN=3:1.

EN:MN=l:4,:./+4f—5=4(5/-5).

解得g=l(不合題意舍去),r4=15,,-.M(15,280).

.?.存在點以點4的坐標(biāo)為何，竺)或(15,280).

U9)

9.如圖，。"與x軸交于4、8兩點，其坐標(biāo)分別為4一3.0）、

5（i,o）,直徑CO_Lx軸于乂直線〃切。"于點C,直線廠G

切。"于點￡交CE于G,已知點G的橫坐標(biāo)為3.

⑴若拋物線），=--_2-〃?經(jīng)過力、8、。三點，求力的值

及點。的坐標(biāo).

(2)求直線。尸的解析式.

(3)是否存在過點G的直線，使它與(1)中拋物線的兩

個交點的橫坐標(biāo)之和等于4?若存在，請求出滿足條件的

直線的解析式；若不存在，請說明理由.

［解］(1)???拋物線過4B

兩點，

/.(-3)x1=—,加=3.

—1

???拋物線為

2

y=-x-2x+3.(第9題圖)

又拋物線過點D,由圓的對稱性知點。為拋物線的頂

占

/、、、?

???〃點坐標(biāo)為(T,4).

(2)由題意知：彳后4.

CDVx,:?N歸N卬2.：.0N^\.

由相交弦定理得：NA?NB^ND?NC,

4=2X2.A71/6^1.

C點坐標(biāo)為(-"i).

設(shè)直線。尸交CF于2連結(jié)味，則N?=90。.

，N2+N3=N1+N4=90。.

,:GC、G下是切線，

AGOGF.：.Z3=Z4.

.??Z1=Z2.

Gf^GP.

：.GC^GP.

可得CX8.

工夕點坐標(biāo)為(7,-1)

設(shè)直線加7的解析式為y=kx^b

則「心。二4解得卜一年

7k+b=-l,27

b=—

8

???直線。尸的解析式為：產(chǎn)-生+3

“88

(3)假設(shè)存在過點G的直線為產(chǎn)3+々,

貝1]3肩+4=-1,E=-3%-1.

由方程組"="：一3儲-1得/+(2+&次_4-3的=0

y=-x2-2x+3

由題意得-2-即=4,/.k,=-6

當(dāng)儲=一6時，A=^U)<0,

，方程無實數(shù)根，方程組無實數(shù)解.

.??滿足條件的直線不存在.

10.(2018山西)已知二次函數(shù)看｝2+云+C的圖象經(jīng)過點A

(—3,6),并與x軸交于點B(—1,0)和點C,頂

點為P.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)系中

畫出該二次函數(shù)的圖象；

(2)設(shè)D為線段0C上的一點，滿足NDPC=NBAC,求

點D的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在一點M,使以M為圓心的圓與AC、

PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請求出點M的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)解：???二次函數(shù)產(chǎn);Y+bx+c的圖象過點A(—3,

6),B(-1,0)

——3b+c=6b=~\yM

得2解得3

l-/=0c=——-

?+c2-

二?這個二次函數(shù)的解析式為：尸'27T二

2-2???------11一

由解析式可求P(1,-2),C(3,0)

畫出二次函數(shù)的圖像

(2)解法一：易證：ZACB=ZPCD=45°

又已知：ZDPC=ZBAC.-.ADPC^ABAC

-易求AC—60,PC-2V2,=4

BCAC

：.DC=-?'OD=3--=-/.nf-,0^

33313J

解法二：過A作AE_Lx軸，垂足為E.

設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于F.

亦可證△AEBS/^PFD、

：PE=EB易求：AE=6,EB=2,PF=2

PFFD

725

/.FD=-OD=-+\=-：.D-,0

333U)

(3)存在.

(1°)過乂作MH±AC,MG±PC垂足分別為H、G,設(shè)AC

交y軸于S,CP的延長線交y軸于T

VASCT是等腰直角三角形，M是aSCT的內(nèi)切圓圓心，

AMG=MH=OM

又＜=且OM+MC=OC

/.描M+OM=3,得。加=3近-3

/.M(3行-3,0)

(2°)在x軸的負半軸上，存在一點M，

同理OMZ+OC=M，C,OM,+OC=>j2OM,

得O”=30+3;?M'(-3血-3,0)

即在x軸上存在滿足條件的兩個點.

11.(2018浙江紹興)在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,0),

B(3,0).

(1)若拋物線過A,B兩點，且與y軸交于點(0,-3),

求此拋物線的頂點坐標(biāo);

(2)如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A,B兩點的拋物線如果與

y軸負半軸交于點C,M為拋物線的頂點，那么AACM與

△ACB的面積比不變，請你求出這個比值;

(3)若對稱軸是AB的中垂線I的拋物線與x軸交于點

E,F,與y軸交于點C,過C作CP//x軸交丫I于點P,

M為此拋物線的頂點,若四邊形PEMF

是有一個內(nèi)角為60。的菱形，求次拋物

線的解析式.

M

［解］(1)y=x2-2x-3,頂點坐標(biāo)為(1,-4).

(2)由題意，設(shè)y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2—2ax—3a,

A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),

M(1,—4a),

??SAACB=；X4X|—34=6|tz|,

而a>0，??SAACB=6A、

作MD±x軸于D,

又S'CM=SAACO+SOCMD—SAAMD=—?1?3aH-—(3a+4a)

22

-?2?4a=a,

2

SAACM?SAACB=1?6.

(3)①當(dāng)拋物線開口向上時，設(shè)y=a(x-1)2+k,即

y=ax2—2ax+a+k,

有菱形可知+M=a+k>0,k<0,

k=--,

2

y=ax2—2ax+,/.\EF\=42.

1己I與x軸交點為D,

若NPEM=60。,貝”NFEM=30°,MD=DE?tan30°=

旦

6'

：.k=—"a="

63

?e?拋物線的解析式為y=1V6x2——V6x+.

336

若NPEM=120。,貝1JNFEM=6O。,MD=DE?tan60°=

旦

2，

?，?k=-*，a=V6,

.二拋物線的解析式為y=瓜X1-2瓜X+.

2

②當(dāng)拋物線開口向下時，同理可得

y=--V6x2+—,y=-V6x2+2\[^x-.

*3362

12.（2018北京）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函

數(shù)的圖象與x軸交于點A,拋物線經(jīng)過

0、A兩點。

(1)試用含a的代數(shù)式表示b;

(2)設(shè)拋物線的頂點為D,以D為圓心，DA為半徑的圓被

x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后

的劣弧落在。D內(nèi)，它所在的圓恰與0D相切，求。D半徑

的長及拋物線的解析式；

(3)設(shè)點B是滿足(2)中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋

物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P,使得

?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由。

［解］(1)解法一：:一次函數(shù)的圖象與x軸交于

點A

???點A的坐標(biāo)為(4,0)

???拋物線經(jīng)過0、A兩點

解法二：???一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A

???點A的坐標(biāo)為(4,0)

???拋4勿線經(jīng)過0、A兩點

???拋物線的對稱軸為直線

（2）由拋物線的對稱性可知,D0=DA

???點0在。D上，且ND0A=NDA0

又由（1）知拋物線的解析式為

???點D的坐標(biāo)為（）

①當(dāng)時，

如圖1,設(shè)。D被x軸分得的劣弧為03,它沿x軸翻

折后所得劣弧為，顯然所在的圓與。D關(guān)于x軸對稱,

設(shè)它的圓心為D'

圖1

Z.ZD0A=ZD'0A=45°

7?△ADO為等腰直角三角形

???點D的縱坐標(biāo)為

工拋物線的解析式為

②當(dāng)時，

同理可得：

拋物線的解析式為

綜上，0D半徑的長為，拋物線的解析式為

或

（3）拋物線在x軸上方的部分上存在點P,使得

設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,且y>0

①當(dāng)點P在拋物線上時（如圖2）

???點B是。D的優(yōu)弧上的一點

過點P作PE±x軸于點E

由解得：（舍去）

???點P的坐標(biāo)為

②當(dāng)點P在拋物線上時（如圖3）

同理可得，

由解得：（舍夫）

???點P的坐標(biāo)為

綜上，存在滿足條件的點P,點P

或

13.（2018北京豐臺）在直角坐標(biāo)系中，。經(jīng)過坐標(biāo)原點

0,分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、Bo

(1)如圖，過點A作。的切線與y軸交于點C,點0到

試判斷d+AB的值是否會發(fā)生變化，如果不變，求出其值,

如果變化，求其變化的范圍。

［解］(1)如圖1,過0作于G,則

設(shè)

(3,0)

AB是。的直徑

切。于A,

在中

設(shè)直線AC的解析式為，則

直線AC的解析式為

(2)結(jié)論：的值不會發(fā)生變化

設(shè)的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T,如

圖2所示

圖2

則

在X軸上取一點N,使AN=OB,連接OM、BM、AM、MN

平分

的值不會發(fā)生變化，其值為4。

14.（2018福建廈門）已知：0是坐標(biāo)原點，P（勿，〃）（勿

k

>0）是函數(shù)y=-（%>0）上的點，過點P作直線

PA±OP于P,直線PA與x軸的正半軸交于點A（石，0）

4

（，〉勿）.設(shè)△OPA的面積為s,且s=1+一

4

（1）當(dāng)〃=1時，求點A的坐標(biāo)；

（2）若OP=AP,求A的值；

4

（3）設(shè)〃是小于20的整數(shù)，且k丐,求OP?的最小值.

［解］過點P作PQ，x軸于Q,則PQ=〃，0Q=m

/、，w5

(1)當(dāng)"=1時，s=z

2s5

，a=—="

n2

(2)解1：OP=APPA±OP

AAOPA是等腰直角三角形

.a

??m^―

(n1

/.1+~=2?an

即n—4n+4=0

〃2—4〃+4=O

4=2

解2:OP=APPAXOP

???AOPA是等腰直角三角形

?'?m=n

設(shè)△OPQ的面積為&

即：n—4n+4=0

，〃2-4〃+4=0

???k=2

(3)解1：?/PAXOP,PQ±OA

AOPQ^AOAP

設(shè)：△OPQ的面積為則

色—曳

7=A67

124"

2k〃+)

即*4=4

1+74(1+92

44

n2

化簡得：2〃4+2〃2—4〃4-4?=0

(A—2)(2K—=0

4

Ak=2或■(舍去)

.??當(dāng)〃是小于20的整數(shù)時，〃=2.

*/0P2=/72+m=n

n

又m>0,k=2,

"是大于0且小于20的整數(shù)

當(dāng)〃=1時,0P2=5

當(dāng)n=2時,0P2=5

,,22,4,485

當(dāng)n=3時，0P=3+^=9+-=—

當(dāng)"是大于3且小于20的整數(shù)時，

即當(dāng)〃=4、5、6、…、19時，OP?得值分別是:

片+京、&+*、6+*、…、獷+卷

444

V192+^>182+^>->32+^>5

???OP?的最小值是5.

解2：*.?OP2=4+方=4+4

n

22

=n+—

77

2

=（〃一一）2+4

n

2

當(dāng)77=-時，即當(dāng)時，OP?最??；

又???"是整數(shù)，而當(dāng)〃=1時，OP2=5;〃=2時，OP2=5

，op2的最小值是5.

解3:PA±OP,PQ±OA

.??AOPQ^APAQ

PQ_OQ

QA=PQ

nm

a—mn

化簡得：必一k6—4k=Q

(A—2)(2k—rf)=0

4

Ak=2或〃=，(舍去)

解4:PA±OP,PQ±OA

AOPQ^APAQ

s1羽

S-SyPQ2

化簡得：2〃,+2左一〃n-4k=0

(〃一2)(2k—rt)=0

4

Ak=2或4=，(舍去)

解5:PA±OP,PQ±OA

Z.AOPQ^AOAP

?_O_P___O_Q

…OA-OP

0P2=0Q-OA

化簡得：24+22一%〃4-4〃=0

(?—2)(2k—4)=0

4

Ak=2或?(舍去)

15.(2018湖北黃岡課改)如圖，在直角坐標(biāo)系中，0是原

點，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A(18,0),B(18,6),

C(8,6),四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發(fā)，

分別坐勻速運動，其中點P沿0A向終點A運動，速度為每

秒1個單位，點Q沿0C、CB向終點B運動，當(dāng)這兩點有一

點到達自己的終點時，另一點也停止運動。

(1)求出直線0C的解析式及經(jīng)過0、A、C三點的拋物線

的解析式。

(2)試在⑴中的拋物線上

找一點D,使得以0、A、D為頂點的三角形與△AOC全等,

請直接寫出點D的坐標(biāo)。

(3)設(shè)從出發(fā)起，運動了t秒。如果點Q的速度為每秒2

個單位，試寫出點Q的坐標(biāo)，并寫由此時t的取值范圍。

(4)設(shè)從出發(fā)起，運動了t秒。當(dāng)P、Q兩點運動的路程

之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能

否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t

的值；如不可能，請說明理由。

［解］(1)TO、C兩點的坐標(biāo)分別為0(0,0),C(8,6)

設(shè)0C的解析式為>=&+〃，將兩點坐標(biāo)代入得：

k7=_3,/7?=(c),.>.y=—3x

44

VA,0是工軸上兩點，故可設(shè)拋物線的解析式為

y=tz(x-OXx-18)

再將C(8,6)代入得：。=

40

?3227

..V=-----XH-----X

4020

⑵D(10,6)

(3)當(dāng)Q在0C上運動時，可設(shè)依題意有：

14)

\2

，（3

m~+—m=（昉

u7

,?m=-1??U—t,—t,（04/<5）

95）

當(dāng)Q在CB上時，Q點所走過的路程為2/,V0C=10,???

CQ=2r-10

AQ點的橫坐標(biāo)為2r-10+8=2r-2,/.Q（2t-2,6）,（5</<10）

（4）???梯形OABC的周長為44,當(dāng)Q點OC上時，P運動的

路程為/,則Q運動的路程為（22T）

△OPQ中，0P邊上的高為：（22—）x3,SAOPQ=L（22—）x3

梯形OABC的面積=-（18+10）x6=84,依題意有：

-r（22-Z）x-=84xl

25

整理得：/_22/+140=0VA=222-4X140<0,.二這樣

的/不存在

當(dāng)Q在BC上時，Q走過的路程為22_,???CQ的長為：

227-10=127

梯形OCQP的面積=；x6（22--10+。=36手84X；

二這樣的,值不存在