導(dǎo)數(shù)

qinYJI

(選修2—2P18A7改編)曲線)，=意在處的切線方程為()

2

A.y=OB.y=—

缶”+二??,Acos.v-sin.v.,4

當(dāng)x=T?時，)，=?，

???切線方程為》一看=一卷/一9,即產(chǎn)一』+*

(2024?天津卷)已知函數(shù)危)=(2x+l)eS/為八X)的導(dǎo)函數(shù)，則/(0)的值為

解析因為J(x)=(2x+1)H

所以f(x)=2e'+(2x+l)ev=(2x+3)e\

所以/(0)=3e°=3.

(2024?西安月考)設(shè)曲線y=or-lna+l)在點(0,0)處的切線方程為y=2.r,則。=

解析y'=a-..,由題意得y'k=o=2,即a—1=2,

人I1

所以a=3.

(2024.威海質(zhì)檢)已知函數(shù)./U)=xlnx,若直線/過點(0,—1),并目.與曲線y=/U)

相切，則直線/的方程為()

Aa+y—1=0BJV—y—1=0

C/+y+1=0D.x—y+1=0

解析..?點(0,-1)不在曲線/(x)=jdnx上，

?,?設(shè)切點為(xo,N).

w=.rolnM),

又???〃x)=l+lnx,???

[yo-r1=(1+lnxo)xo,

解得x()=l,jo=O.

，切點為(1,0),:?f⑴=l+lnl=l.

???直線/的方程為y=x-1,x—y-1=0.

(2024.全國II卷)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線+S+

+1相切，貝ija=.

解析法一Vy=x+lnx,/.yz=1+：，|i=2.

人

?二曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為y—l=2(x—1),即)，=2r—1.

*/y=2.v—1與曲線y=ax24-(a+2)x+1相切，

二?aWO(當(dāng)a=0時曲線變?yōu)閥=2x+l與已知直線平行).

(y=2x—\,

由彳?>?/?-、?,消去乃得加+水+2=0.

j=a廣+(。十2)x+I

由/=『-8a=0,解得a=8.

法二同法一得切線方程為)，=2%—1.

設(shè)y=2x—1與曲線)，=加+(。+2)4+1相切于點(xo,加+(〃+2)xo+1).

1

'j'=2or+(a+2),y|x=.t0=2avo+(?+2).

1

2oro+(a+2)=2,xo=-2?

由.加+(a+2)xo+1=2xo-I,

4=8.

答案8

(2024.西安質(zhì)測)曲線凡r)=V—x+3在點P處的切線平行于直線)，=2x—1,則P

點的坐標(biāo)為()

A.(l,3)B.(-l,3)

C.(l,3)和(一1,3)D.(l,-3)

解析/")=3『一1,令『(勸=2,則3『一1=2,解得x=l或%=一1，，尸(1,3)

或(一1,3),經(jīng)檢驗，點(1,3),(-1,3)均不在直線>=統(tǒng)-1上，故選C.

(2024?天津卷)已知函數(shù)/)=odnx,xW(0,+?>),其中〃為實數(shù)，/Q)為人x)

的導(dǎo)函數(shù)，若/(1)=3,則。的值為.

解析/(x)=a(lnx+*：)=a(l+ln工)，由于/(l)=a(l+lnl)=a,又/(1)=3,所

以a=3.

(2024?全國川卷)已知/U)為偶函數(shù)，當(dāng)xVO時?，，/U)=ln[—x)+3x,則曲線y=/U)

在點(1,一3)處的切線方程是.

解析設(shè)x>0,則一工<0,y(—x)=lnx—3x,又/U)為偶函數(shù)，J(x)=\nx—3x,

fU)=；-3,f(l)=-2,切線方程為>=一2丫一1.

答案2x+)，+l=0

(2024?陜西卷)設(shè)曲線)，=&'在點(0,1)處的切線與曲線)=&x>0)上點P處的切線

垂直，則戶的坐標(biāo)為.

解析y=er,曲線在點(0,1)處的切線的斜率右=e°=l,設(shè)P(/〃，〃)，y

=%x>0)的導(dǎo)數(shù)為_/=—((x>0),曲線)，=&x>0)在點戶處的切線斜率攵2=一崇

(W>0),因為兩切線垂直，所以h&2=-1,所以"7=1,〃=1,則點P的坐標(biāo)為

(1，1).

答案(1，1)

(2024?北京卷)設(shè)函數(shù)/U)=xc“r+/zr,曲線)，=/口?)在點(2,次2))處的切線方程為y

=(e—l)x+4.

⑴求小〃的值；

(2)求式x)的單調(diào)區(qū)間.

解(1)??了(工)=依「工+/?%，:(x)=(l-x)ert-v+/?.

/(2)=2e+2,2-2/?=2e+2,

由題意得

f(2)=e-l,—ea2+h=e—},

解得a=2,/?—e.

⑵由⑴得/U)=xe2'+ex,

由/(x)=e2r(l—工+已山)及e"'>0知'f⑶與1—1+已皿同號.

令g(x)=1—x+e'-1,則g〈x)=-1+et-1.

當(dāng)(—8,i)時，g'(x)<0,g(x)在(一8,1)上遞減；

當(dāng)x￡(l,+8)時,(x)>0,g(x)在(1,+8)上遞增,

???g(x)、g(l)=l在R上恒成立,

??/。)>0在R上恒成立.

，./(處的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8).

(2024.四川卷)已知。為函數(shù)加尸/一⑵的微小值點，貝l」a=()

A.-4B.-2C.4D.2

解析/。）=3『一12,，x＜-2時，f（x）＞0,-2＜x＜2時，/（幻＜0,x＞2時，

/（x）＞0,??.x=2是次用的微小值點.

答案D

（2024?全國HI卷）設(shè)函數(shù)/）=lnx—x+1.探討/）的單調(diào)性；

解依題意，人幻的定義域為（0,+8）.

/'（X）—1—1，令/（X）—0，得X—1，

人

工當(dāng)0VE時，f（x）＞0,/U）單調(diào)遞增.

當(dāng)Q1時，F(xiàn)（X）vO,1）單調(diào)遞減.

2

（2024.北京卷）設(shè)函數(shù)段）=，一如x,Q0.求段）的單調(diào)區(qū)間和極值；

Fkf-kl

解由凡￥）=》一他1x（k＞0）,得x＞（）且/（x）=x—；='一.由/（x）=0,解得工二也

（負(fù)值舍去）.

ZU）與內(nèi)幻在區(qū)間（0,+8）上的改變狀況如下表:

（5，+8）

X（0,也）吊

—0十

k(1—Ink)

以）

2/

所以，./U）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,5）,單調(diào)遞增區(qū)間是（也，+8）.

府）在尸5處取得微小值式5）=幺”

（2024?西安調(diào)研淀積分/（2x+e'）dx的值為（）

A.e+2B.e+1D.e-1

解析/（2r+e'）d_r=（x2+力。）=1+9一1=e.故選C.

（2024?全國II卷）已如函數(shù)7U）=lnxI。（1。探討/U）的單調(diào)性;

解."）的定義域為（0,+°°）,/'。）=：—a