第15講☆函數(shù)專題（3）——抽象函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】1．通過基礎(chǔ)訓(xùn)練題，理解抽象函數(shù)的概念及其性質(zhì)，會(huì)解決與抽象函數(shù)相關(guān)的問題.2．在典型例題的解決過程中，掌握抽象函數(shù)不等式的解題技巧，提高數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【教學(xué)重點(diǎn)】會(huì)用函數(shù)的綜合性質(zhì)解決抽象函數(shù)的相關(guān)問題.【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)的綜合性質(zhì)在抽象函數(shù)中的運(yùn)用.【知識(shí)梳理】抽象函數(shù)1、定義：抽象函數(shù)問題，一般指沒有給出具體函數(shù)解析式，只給出了其他一些條件（如函數(shù)定義域、解析遞推式、取值情況、性質(zhì)、圖像特征等），研究解決這個(gè)函數(shù)的解析式、性質(zhì)或與函數(shù)相關(guān)的參數(shù)范圍、求值、不等式（或方程）解、圖象、比較大小等問題.這類問題具有概念抽象、綜合性強(qiáng)、方法靈活等特點(diǎn).抽象函數(shù)問題既是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，認(rèn)真學(xué)習(xí)它是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑.2、常見的抽象函數(shù)模型：一次函數(shù)（1）對(duì)于正比例函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為．（2）對(duì)于一次函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為．二次函數(shù)（3）對(duì)于二次函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為冪函數(shù)（4）對(duì)于冪函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為．（5）對(duì)于冪函數(shù)，其抽象函數(shù)還可以是．指數(shù)函數(shù)（6）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為．（7）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，其抽象函數(shù)還可以是．其中對(duì)數(shù)函數(shù)（8）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為．（9）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，其抽象函數(shù)還可以是．（10）對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，其抽象函數(shù)還可以是．其中三角函數(shù)☆（11）對(duì)于正弦函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式：（12）對(duì)于余弦函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式：（13）對(duì)于余弦函數(shù)，其抽象函數(shù)還可以是注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦積化和差公式：（14）對(duì)于正切函數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：3、歸納方法：觀察不等式兩端的特點(diǎn)，化為同類函數(shù)；2、借助函數(shù)的單調(diào)性，脫掉“”；3、注意定義域及單調(diào)區(qū)間，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0.【教學(xué)過程】例題1（指數(shù)函數(shù)）已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)滿足，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

） B． C． D．例題2（對(duì)數(shù)函數(shù)）（1）已知為定義在R上且不恒為零的函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則下列說法中正確的有（

）個(gè)．①；②若當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞增；③對(duì)，；

④若，則.A．1 B．2 C．3 D．4定義在上的函數(shù)滿足：①，，；②存在實(shí)數(shù)，使得，則下列選項(xiàng)正確的是 （）A． B．C． D．例題3已知函數(shù)的定義域是的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，（1）求證：是偶函數(shù)； （2）在上是嚴(yán)格增函數(shù)；例題4（1）已知，是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，若，則的取值范圍是________．（2）函數(shù)對(duì)任意的a，b∈R，都有，并且當(dāng)時(shí)，，若，解不等式.例題5已知是定義在區(qū)間，上的奇函數(shù)，且，若，，，時(shí)，有．（1）證明：在區(qū)間，上是嚴(yán)格減函數(shù)；（2）解不等式；（3）若對(duì)所有，，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【課后練習(xí)】偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則 （）A．B．2 C．D．3已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且，則．已知函數(shù)是奇函數(shù)，，則=函數(shù)定義在正整數(shù)集上，滿足：和，則的值為．是定義在上的奇函數(shù)且嚴(yán)格增，若，則的取值范圍是 （）A． B．C． D．已知偶函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，則滿足的取值范圍是（）A． B． C． D．定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則至少為若，設(shè)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的均有成立，當(dāng)時(shí)，，則直線與函數(shù)的圖像交點(diǎn)中最近兩點(diǎn)的距離等于．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （）A． B． C． D．已知定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，設(shè)，若，則的值為 （）A． B． C． D．已知函數(shù)滿足：并且，那么的值為 （）A．2019 B．1010 C．4038 D．3030【提升拓展】設(shè)函數(shù)的定義域是，對(duì)于以下四個(gè)命題：（1）若是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)；（2）若是周期函數(shù)，則也是周期函數(shù)；（3）若是嚴(yán)格增函數(shù)，則也是嚴(yán)格增函數(shù)；（4）若函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)有零點(diǎn)，則函數(shù)也有零點(diǎn)．其中正確的命題共有 （）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對(duì)于任意都有成立，當(dāng)，且時(shí)，都有．給出以下三個(gè)命題：=1\*GB3①直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸；=2\*GB3②函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；=3\*GB3③函數(shù)在區(qū)間上有五個(gè)零點(diǎn)．問：以上命題中正確的個(gè)數(shù)有 （）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意，恒有成立；=2