2.6菱形第2章四邊形第1課時(shí)湘教版八年級(jí)下學(xué)期課件1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問題.（難點(diǎn)）情景引入欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？平行四邊形矩形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),就成為了矩形.有一個(gè)角是直角講授新課菱形的性質(zhì)一思考如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長(zhǎng)度讓它有一組鄰邊相等,這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.菱形一組鄰邊相等菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納總結(jié)活動(dòng)1如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？觀看下面視頻：活動(dòng)2在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中

的圖形(如圖），并回答以下問題:問題1菱形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,指出它的對(duì)稱軸.是，兩條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸.問題2根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?菱形的兩對(duì)角線有什么關(guān)系?

猜想1菱形的四條邊都相等.

猜想2菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.

求證:(1)AB

=

BC

=

CD

=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD

=BC（菱形的對(duì)邊相等）.又∵AB=AD,

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD證一證（2）∵AB

=

AD,

∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是菱形,∴OB

=

OD（菱形的對(duì)角線互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB

=

OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形.邊：四條邊都相等.對(duì)角線：互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

角：對(duì)角相等.邊：對(duì)邊平行且相等.對(duì)角線：相互平分.菱形的特殊性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)歸納總結(jié)例1如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長(zhǎng)．解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.因?yàn)锳C＝6cm，BD＝12cm，所以AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得所以菱形的周長(zhǎng)＝4AB＝4×3＝12(cm)．典例精析例2如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，求證：AE＝AF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.

菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．歸納ABCDOE證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.例3如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.1.如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝

5，則△ABD的周長(zhǎng)是(

)A.10B.12C.15D.20C練一練2.如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為48cm，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長(zhǎng)為_______.第1題圖第2題圖6cm思考：菱形是不是中心對(duì)稱圖形?如果是,那么對(duì)稱中心是什么？菱形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.由于菱形是平行四邊形，因此O做一做：把圖中的菱形ABCD沿直線DB對(duì)折，點(diǎn)A的像是______，點(diǎn)C的像是_____，點(diǎn)D的像是_____，點(diǎn)B的像是_____，邊AD的像是_____，邊CD的像是_____，邊AB的像是_____，邊CB的像是_____.點(diǎn)C點(diǎn)A邊CD點(diǎn)D點(diǎn)B邊AD邊CB邊AB想一想：你能得到什么結(jié)論？菱形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸.菱形的面積二問題1

菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對(duì)角線互相垂直,那么能否利用對(duì)角線來計(jì)算菱形ABCD的面積呢?能.過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E問題2

如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O,試用對(duì)角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=

底×高=

對(duì)角線乘積的一半例4如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，所以S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.因?yàn)橛忠驗(yàn)榱庑蝺山M對(duì)邊的距離相等，所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，所以13h＝120，得h＝.

菱形的面積計(jì)算有如下方法：(1)一邊長(zhǎng)與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半．歸納例5如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積（結(jié)果分別精確到0.01m和0.1m2

）.A

B

C

D

O

解：∵花壇ABCD是菱形，【變式題】

如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，周長(zhǎng)是8cm．求：（1）兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）菱形的面積．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，∴∠ABC=×180°=60°，∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等邊三角形.∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是8cm．∴AB=2cm，∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，

∴BD=2OB=cm；（2）S菱形ABCD=AC?BD

=×2×=（cm2）．

菱形中的相關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形，當(dāng)菱形中有一個(gè)角是60°時(shí)，菱形被分為以60°為頂角的兩個(gè)等邊三角形.歸納練一練如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線分別為6cm和8cm，則這個(gè)菱形的高DE為（）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角相等B.對(duì)邊相等C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線相等C2.如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則△ABD的周長(zhǎng)等于（）A.18B.16C.15D.14B3.根據(jù)下圖填一填：（1）已知菱形ABCD的周長(zhǎng)是12cm，那么它的邊長(zhǎng)是______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，則∠BAC＝_______.（3）菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則菱形的邊長(zhǎng)是_______.3cm30°ABCOD5cm(4)菱形的一個(gè)內(nèi)角為120°,平分這個(gè)內(nèi)角的對(duì)角線長(zhǎng)為11cm，菱形的周長(zhǎng)為______.44cm(5)菱形的面積為64平方厘米，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度比為1∶2,那么菱形最短的那條對(duì)角線長(zhǎng)為_______.8厘米ABCOD4.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.求:(1)對(duì)角線AC的長(zhǎng)度;(2)菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE5.如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△CDE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE6.如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，CD＝5cm，OD＝3cm；過點(diǎn)C作CE∥DB，過點(diǎn)B作BE∥AC，CE與BE相交于點(diǎn)E.(1)求OC的長(zhǎng)；(2)求四邊形OBEC的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四邊形OBEC為矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．下列圖案(或物體)中包含的平行四邊形有什么特點(diǎn)？圖2-49它們的鄰邊相等.合作探究平行四邊形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.結(jié)論如圖2-50，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，DB相交于點(diǎn)O.對(duì)角線AC⊥DB嗎？你的理由是什么？圖2-50動(dòng)腦筋∵

四邊形ABCD是菱形，∴

DA=DC.∴

點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上.又點(diǎn)O為線段AC的中點(diǎn)，∴

直線DO（即直線DB）是線段AC的垂直平分線，∴

AC⊥DB.菱形的對(duì)角線互相垂直.由此得到菱形的性質(zhì)：結(jié)論做一做

把圖2-50中的菱形ABCD沿直線DB對(duì)折（即作關(guān)于直線DB的軸反射），點(diǎn)A的像是，點(diǎn)C的像是，點(diǎn)D的像是，點(diǎn)B的像是，邊AD的像是，邊CD的像是，邊AB的像是，邊CB的像是.圖2-50點(diǎn)C點(diǎn)A邊DC點(diǎn)D點(diǎn)B邊DA邊BC邊AB

從上述結(jié)果看出，在關(guān)于直線DB的軸反射下，菱形ABCD的像與它自身重合.同理，在關(guān)于直線AC的軸反射下，菱形ABCD的像與它自身重合.菱形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線都是它