抽屜原理

國(guó)陽(yáng)

抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來做出許多有趣的推理和判斷，同時(shí)能夠幫助同學(xué)

證明很多看似復(fù)雜的問題。本講的主要教學(xué)目標(biāo)是：

1.理解抽屜原理的基本概念、基本用法；

2.掌握用抽屜原理解題的基本過程；

3.能夠構(gòu)造抽屜進(jìn)行解題；

4.利用最不利原則進(jìn)行解題：

5.利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問題。

部識(shí)鬧撥

一、知識(shí)點(diǎn)介紹

抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中

的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則.抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可

以解決很多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用.許多看起來相當(dāng)復(fù)雜，甚至無(wú)從下手的問題，

在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決.

二、抽屜原理的定義

（1）舉例

桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放

兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果。

（2）定義

一般情況下，把n+1或多于n+1個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，其中必定至少有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋

果，我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理（

三、抽屜原理的解題方案

（一）、利用公式進(jìn)行解題

革果二抽屈=商……余數(shù)

余數(shù)：（1）余數(shù)=1,結(jié)論：至少有（商+1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里

（2）余數(shù)=%（1YXY（〃-1））,結(jié)論：至少有（商+1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里

（3）余數(shù)=0,結(jié)論：至少有“商”個(gè)羊果在同一個(gè)抽屜里

（二）、利用最值原理解題

將題目中沒有闡明的量進(jìn)行被限討論，將發(fā)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說的極限思想“任我意”

方去、特殊值方法.

（一）、直接利用公式進(jìn)行解題

（1）求結(jié)論

【例1】6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有1只，一定有一個(gè)籠子里有2只鴿子.對(duì)嗎？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，如果每個(gè)籠子裝1只，這樣還剩下1只鴿子.這只鴿子可以任意飛進(jìn)其

中的一個(gè)籠子，這樣至少有一個(gè)籠子里有2只鴿子.所以這句話是正確的.

利用剛剛學(xué)習(xí)過的抽屜原理來解釋這個(gè)問題，把鴿籠看作“抽屜”，把鴿子看作“蘋果”，

6+5=11,1+1=2（只）把6個(gè)蘋果放到5個(gè)抽屜中，每個(gè)抽屜中都要有I個(gè)革果，那么肯

定有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)羊果，也就是一定有一個(gè)籠子里有2只鴿子.

【答案】對(duì)

【鞏固】把9條金魚任意放在8個(gè)魚缸里面，請(qǐng)你說明至少有一個(gè)魚缸放有兩條或兩條以上金魚.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】I星【懣型】解答

【解析】略.

【答案】在8個(gè)魚缸里面，每個(gè)魚缸放一條，就是8條金魚；還軻下的一條，任意放在這8個(gè)魚缸其中的任

意一個(gè)中，這樣至少有一個(gè)魚缸里面會(huì)放有兩條金魚.

【鞏固】教室里有5名學(xué)生正在做作業(yè)，現(xiàn)在只有數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理四科作業(yè)試說明：這5名學(xué)

生中，至少有兩個(gè)人在做同一科作業(yè).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【答案】將5名學(xué)生看作5個(gè)蘋果的教學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理作業(yè)各看成一個(gè)抽屜，共4個(gè)抽屜由抽屜

原理，一定存在一個(gè)抽屜，在這個(gè)抽屜里至少有2個(gè)苴果.即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)

【鞏固】年級(jí)一班學(xué)雷鋒小組有13人.教數(shù)學(xué)的張老師說：“你們這個(gè)小組至少有2個(gè)人在同一月過生

日.”你知道張老師為什么這樣說嗎？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【總結(jié)】題目中并沒有說明什么是“抽屜”,什么是“物品”，解題的關(guān)鍵是制造“抽屜”，確定假設(shè)的“物品”,

根據(jù)“抽屜少，物品多”轉(zhuǎn)化為抽屜原理來解.

【答案】從題目可以看出，這道題顯然與月份有關(guān).我們知道，一年有12個(gè)月，把這12個(gè)月看成12個(gè)抽

屜，這道題就相當(dāng)于把13個(gè)蘋果放入12個(gè)抽屜中.根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜放了兩個(gè)蘋

果.因此至少有兩個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過生日.

【鞏固】數(shù)學(xué)興趣小組有13個(gè)學(xué)生，請(qǐng)你說明：在這13個(gè)同學(xué)中，至少有兩個(gè)同學(xué)屬相一樣.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】I星【題型】解答

【解析】略.

【答案】屬相共12個(gè),把12個(gè)屬相作為12個(gè)“抽屜”，13個(gè)同學(xué)按照自己的屬相選擇相應(yīng)的“抽屜”,根據(jù)

抽屜原理，一定有一個(gè)“抽屜”中有兩個(gè)或兩個(gè)以上同學(xué)，也就是說至少有兩個(gè)同學(xué)屬相一樣

【鞏固】光明小學(xué)有367名2000年出生的學(xué)生，請(qǐng)問是否有生日相同的學(xué)生？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【答案】一年最多有366天，把366天看作366個(gè)“抽屜”，將367名學(xué)生看作367個(gè)“蘋果這樣，把367個(gè)

蘋果放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)蘋果.這就說明，至少有2名同學(xué)的生日

相同

【鞏固】用五種顏色給正方體各面涂色（每面只涂一種色），請(qǐng)你說明：至少會(huì)有兩個(gè)面涂色相同.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】五種顏色最多只能涂5小不同顏色的面，因?yàn)檎襟w有6個(gè)面，還有一個(gè)面要選擇這五種顏包中

的任意一種來涂，不管這個(gè)面涂成哪種顏色，都會(huì)和前面有一個(gè)面顏色相同，這樣就有兩個(gè)面會(huì)

被涂上相同的顏色.也可以把五種顏色作為5個(gè)“抽屜”，六個(gè)面作為六個(gè)物品，當(dāng)把六個(gè)面隨意

放入五個(gè)抽屜時(shí)，根據(jù)茄屜原理，一定有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的面，也就是至少會(huì)有兩

個(gè)而涂色相同

【鞏固】三個(gè)小朋友在一起玩，其中必有兩個(gè)小朋友都是男孩或者都是女孩.

【考點(diǎn)】柚屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【答案】方法一：情況一：這三個(gè)小朋友，可能全部是男，那么必有兩個(gè)小朋友都是男孩的說法是正確的；

情況二：這三個(gè)小朋友，可能全部是女，那么必有兩個(gè)小朋友都是女孩的說法是正確的；

情況三：這三個(gè)小朋友，可能其中1男2女那么必有兩個(gè)小朋友都是女孩說法是正確的；

情況四：這三個(gè)小朋友，可能其中2男I女，那么必有兩個(gè)小朋友都是男孩的說法是正

確的.所以，三個(gè)小朋友在一起玩，其中必有兩個(gè)小朋友都是男孩或者都是女

孩的說法是正確的；

方法二：三個(gè)小朋友只有兩種性別，所以至少有兩個(gè)人的性別是相同的，所以必有兩個(gè)小朋友都

是男孩或者都是女孩

【鞏固】試說明400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】將一年中的366天或365天視為366個(gè)或365個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，從最極端的情況

考慮，即每個(gè)抽屜都放一個(gè)蘋果，還有35個(gè)或34個(gè)蘋果必然要放到有一個(gè)蘋果的抽屜里，所以

至少有一個(gè)抽屜有至少兩個(gè)蘋果，即至少有兩人的生日相同

【例2】向陽(yáng)小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，問：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【卷案】一年最多有366天，可看做366個(gè)抽屜，730個(gè)學(xué)生看做730個(gè)蘋果.因?yàn)?30?366=1……364,

所以，至少有1+1=2（個(gè)）學(xué)生的生日是同一天

【鞏固】人的頭發(fā)平均有12萬(wàn)根，如果最多不超過20萬(wàn)根，那么13億中國(guó)人中至少有一人的頭發(fā)的

根數(shù)相同。

圖8

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】這是一道抽屜原理的題目，所以要先分清楚什么是抽屜，什么是蘋果。此題中的抽屜是人的頭發(fā):

有20萬(wàn)個(gè)，中國(guó)的人數(shù)是蘋果：13億人，所以至少應(yīng)有：1300000000+200000=6500（人）。

【答案】650人

【例31“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人.試說明：在游園

的小朋友中，至少有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】假設(shè)共有〃個(gè)小朋友到公園游玩，我們把他們看作〃個(gè)“蘋果”，再把每個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目

看作“抽屜”，那么，〃個(gè)小朋友每人遇到的熟人數(shù)目共有以下〃種可能：0,1,2,……,n-1.其

中0的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人：而每位小朋友最多遇見〃-1個(gè)熟人，所以共有〃個(gè)“抽

屜”.下面分兩種情況來討論：

（1）如果在這〃個(gè)小朋友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，這時(shí)其他小朋友最多只能遇上〃-2

個(gè)熟人,這樣熟人數(shù)目只有〃-1種可能：（），I,2,……，n-2.這樣，“蘋果”數(shù)（〃個(gè)小朋友）

超過“抽屜”數(shù)（〃-1種熟人數(shù)目），根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等.

（2）如果在這〃個(gè)小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個(gè)熟人，這樣熟人數(shù)目只有〃-1種可能：1,

2,3......n-\.這時(shí)，“蘋果”數(shù)（〃個(gè)小朋友）仍然超過“抽屜”數(shù)（〃-1種熟人數(shù)目）,根據(jù)抽屜

原理，至少有兩個(gè)小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等.

總之，不管這〃個(gè)小朋友各遇到多少熟人（包括沒遇到熟人），必有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等

【鞏固】五年級(jí)數(shù)學(xué)小組共有20名同學(xué)，他們?cè)跀?shù)學(xué)小組中都有一些朋友，請(qǐng)你說明：至少有兩名同學(xué)，

他們的朋友人數(shù)一樣多.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】數(shù)學(xué)小組共有20名同學(xué)，因此每個(gè)同學(xué)最多有19個(gè)朋友；又由于他們都有朋友，所以每個(gè)同學(xué)

至少有1個(gè)朋友.因此，這20名同學(xué)中,每個(gè)同學(xué)的朋友數(shù)只有19種可能：1.2.3......

19.把這20名同學(xué)看作20個(gè)“蘋果”，又把同學(xué)的朋友數(shù)目看作19個(gè)“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至

少有2名同學(xué)，他們的朋友人數(shù)一樣多

［例4］四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別被3除后，必有兩個(gè)余數(shù)相同，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【率案】想一想，不同的自然數(shù)被3除的余數(shù)有幾類？在這道懣中，把什么當(dāng)作抽屜呢？

把這四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別除以3,其余數(shù)不外乎是0,1,2,把這3個(gè)不同的余數(shù)當(dāng)作3個(gè)''抽

屜”，把這4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)按照被3除的余數(shù)，分別放入對(duì)應(yīng)的3個(gè)“抽屜”中，根據(jù)抽屜原理，

至少有兩個(gè)自然數(shù)在同一個(gè)抽屜里，也就是說，至少有兩個(gè)自然數(shù)除以3的余數(shù)相同

［例5］在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3,其余數(shù)只可能是0,1,2三種情形.我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)

“抽屜一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里.將四個(gè)自然數(shù)放入

三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同（需要對(duì)

學(xué)生利用余數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解釋：為什么余數(shù)相同，則差就能被整除）.這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除

【鞏固】證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù)a、b,它們除以自然數(shù)〃？的余數(shù)相同，那

么它們的差是〃？的倍數(shù).根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，本題只需證明這8個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，它們

除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、I、2、3、4、5、6

分成七類.也就是7個(gè)拈屜.任取8個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就

是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)

【鞏固】證明：任取6個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)。

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略。

【答案】把自然數(shù)按照除以5的余數(shù)分成5個(gè)剩余類，即5個(gè)抽屜.任取6個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少

有兩個(gè)數(shù)屬于同一剩余類，即這兩個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)相同，因此它們的差是5的信數(shù)

【鞏固】（第八屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽）將全體自然數(shù)按照它們個(gè)位數(shù)字可分為10類：個(gè)位數(shù)字是

1的為第1類，個(gè)位數(shù)字是2的為第2類，…，個(gè)位數(shù)字是9的為第9類，個(gè)位數(shù)字是0的為第

10類.（1）任意取出6個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是1（）的倍數(shù)嗎？（2）任

意取出7個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？如果一定，請(qǐng)煎藥說明

理由；如果不一定，請(qǐng)舉出一個(gè)反例.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】（1）不一定有.例如1、2、3、4、5、10這6個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不是10的倍數(shù).

（2）一定有.招?第I類與第9類合并，第2類與第8類合并，第3類與第7類合并，第4類與第

6類合并，制造出4個(gè)抽屜；把第5類、第10類分別看作1個(gè)抽屜，共6個(gè)抽屜.任意7個(gè)

互不同類的自然數(shù)，放到這6個(gè)抽屜中，至少有1個(gè)抽屜里放2個(gè)數(shù).因?yàn)?個(gè)數(shù)互不同類，

所以后兩個(gè)抽屜中每個(gè)都不可能放兩個(gè)數(shù).當(dāng)兩個(gè)互不同類的數(shù)放到前4個(gè)抽屈的任何一個(gè)

里面時(shí)，它們的和一定是10的倍數(shù)

【鞏固】證明：任給12個(gè)不同的兩位數(shù)，其中一定存在著這樣的兩個(gè)數(shù)，它們的差是個(gè)位與十位數(shù)字相

同的兩位數(shù).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【率案】?jī)晌粩?shù)除以11的余數(shù)有11種：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,按余數(shù)情況把所有兩位數(shù)

分成II種.12個(gè)不同的兩位數(shù)放入II個(gè)抽屜，必定有至少2個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，這2個(gè)數(shù)除

以11的余數(shù)相同，兩者的差一定能整除11.兩個(gè)不同的兩位數(shù)，差能被11整除，這個(gè)差也一定

是兩位數(shù)（如II,22……）,并且個(gè)位與十位相同.所以，任給12個(gè)不同的兩位數(shù)，其中一定

存在著這樣的兩個(gè)數(shù)，它們的差是個(gè)位與十位數(shù)字相同的兩位教

［例6］任給11個(gè)數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)，它們的和是6的倍數(shù).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答■案】設(shè)這11個(gè)數(shù)為4，a-,,%.......4“，由5個(gè)數(shù)的結(jié)論可知，在q,a,,公,a4,小中必有

3個(gè)數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)q+%+/=3K；在見，%,《，的，心中必有3個(gè)數(shù)，其

和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)《+氏+”=3&;在%,歿，%，，a”中必有3個(gè)數(shù)，算和為3的倍

數(shù),不妨設(shè)％+仆+q=3網(wǎng).又在4，&，勺中必有兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同，不妨設(shè)K，區(qū)的奪

偶性相同，那么34+3&是6的倍數(shù)，即4，%，%，4，6，4的和是6的倍數(shù)

【鞏固】在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)茄屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被

3除的余數(shù)分別為0,I,2.因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除.綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，

其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)

【鞏固】從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜，（2）,（4,30）,（6,28）,（16,18）,凡是抽屜中的有兩個(gè)

數(shù)，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34.

現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理1因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一

個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34

［例7］任意給定2008個(gè)自然數(shù)，證明：其中必有若干個(gè)自然數(shù)，和是2008的倍數(shù)（單獨(dú)一個(gè)數(shù)也當(dāng)做和）.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】把這2008個(gè)數(shù)先排成一行：q,a2,a3,....,42go§，

第1個(gè)數(shù)為4；

前2個(gè)數(shù)的和為q+/；

前3個(gè)數(shù)的和為q+%+%；

前2008個(gè)數(shù)的和為勺+a2+…+/008.

如果這2008個(gè)和中有一個(gè)是2008的倍數(shù)，那么問題已經(jīng)解決；如果這2008個(gè)和中沒有2008的

倍數(shù)，那么它們除以2038的余數(shù)只能為1,2,……,2007之一，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)和除

以2008的余數(shù)相同，那么它們的差(仍然是q,%，%............loos中若干個(gè)數(shù)的和)是2008的

傳數(shù).所以結(jié)論成立

【鞏固】20道復(fù)習(xí)題，小明在兩周內(nèi)做完，每天至少做一道題.證明：小明一定在連續(xù)的若干天內(nèi)恰好

做了7道題目.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】設(shè)小明第1天做了％道題，前2天共做了生道題，前3天共做了出道題，……，前14天共做了乙

道題.顯然《4=20,而q?％3都小于20.考慮4,a2,,.,a3及4+7,a2+l,+7,..,

%+7這28個(gè)數(shù)，它們都不超過27.

根據(jù)抽屜原理，這28個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)相等.由于4,0，％?14互不相等，4+7,%+7，

4+7............q4+7也互不相等，因而這兩個(gè)相等的數(shù)只能一個(gè)在前一組，另一個(gè)在后一組中，

即有：%=4+7,所以q-《=7.這表明從第i+1天到第/天，小明恰好做了7道題.

【例8］求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略.

【答案】1996+4=499,下面證明可以找到1個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù).

取500個(gè)數(shù)：1,11,111,........,111........1(500個(gè)1).用499去除這500個(gè)數(shù)，得到500個(gè)余

沏.

數(shù)％,a2f6，…，4由于余數(shù)只能取0,1,2,498這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原則，

必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，差的前若干位是1,后若干位是0:

1I...100...0.義499和10是互質(zhì)的，所以它的前若干位由I組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它

乘以4,就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，這是1996的倍數(shù)

【鞏固】任意給定一個(gè)正整數(shù)〃，一定可以將它乘以適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得乘積是完全由0和7組成的數(shù).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略.

【答案】考慮如下〃+1個(gè)數(shù)：7,77,777,……,生二2，ZZ二Z，這〃+1個(gè)數(shù)除以〃的余數(shù)只能為。，1，

/ill依

2............〃-1中之一，共〃種情況，根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個(gè)數(shù)除以〃的余數(shù)相同，不妨設(shè)

為77?.-7和77?一7(〃>4),那么77-7-77-?7=77-7()0—0是〃的倍數(shù)，所以〃乘以適當(dāng)?shù)恼麛?shù),

~~~~點(diǎn).~~'(p-q)位'~布一~

可以得到形式為77…700…0的數(shù),即由0和7組成的數(shù)

(p-g)位**一殺

【例9］求證：對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，一定能從中找到6個(gè)數(shù)4,b,c,d,etf,使得(a-〃)(c-d)(e-7)

是105的倍數(shù).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【率案】105=3x5x7.對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，必可選出2個(gè)數(shù)，使它們的差是7的倍數(shù)；在剩下的6

個(gè)數(shù)中，又可選出2個(gè)數(shù)，使它們的差是5的倍數(shù)；在剩下的4個(gè)數(shù)中，又可選出2個(gè)數(shù)，使它

們的差是3的倍數(shù)

【鞏固】任給六個(gè)數(shù)字，一定可以通過加、減、乘、除、括號(hào)，將這六個(gè)數(shù)組成一個(gè)算式，使其得數(shù)為

105的倍數(shù).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】根據(jù)上一題的提示我們可以寫出下列數(shù)字謎“□/(。山)(6?)使其結(jié)果為105的倍數(shù)，那么我們的

思路是使第一個(gè)括號(hào)里是7的倍數(shù)，第二個(gè)括號(hào)里是5的倍數(shù)，第三個(gè)括號(hào)里是3的倍數(shù)，那

么對(duì)于如果六個(gè)數(shù)字里有7的倍數(shù)，那么第一個(gè)括號(hào)里直接做乘法即可，如果沒有7的倍數(shù)，

那么我們做如下抽屜：

｛除以7的余數(shù)是1或者是6｝

｛除以7的余數(shù)是2或者是5｝

｛除以7的余數(shù)是3或者是4｝那么六個(gè)數(shù)字肯定有兩個(gè)數(shù)字在同一個(gè)抽屜里，那么著兩個(gè)數(shù)如果

余數(shù)相同，做減法就可以得到7的倍數(shù)，如果余數(shù)不同，做加法就可以得到7的倍數(shù).

這樣剩下的4個(gè)數(shù)中，同理可得后面的括號(hào)里也可以組合出5和3的倍數(shù).于是本題可以證明

【鞏固】在100張卡片上不重復(fù)地編上1700,至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出的卡片上的數(shù)之

乘積可被12整除？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【關(guān)曜詞】2008年，中國(guó)臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽

【解析】略。

【答案】12=2?x3,因?yàn)?的倍數(shù)有［與］=33個(gè)，所以不是3的倍數(shù)的數(shù)一共有100-33=67(個(gè))，抽

取這67個(gè)數(shù)無(wú)法保證乘積是3的倍數(shù)，但是如果抽取68個(gè)數(shù)，則必定存在一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，義

因?yàn)槠鏀?shù)只有50個(gè)，所以抽取的偶數(shù)至少有18個(gè)，可以保證乘積是4的倍數(shù)，從而可以保證乘

積是12的倍數(shù)。于是最少要抽取68個(gè)數(shù)(即：68張卡片)才可以保證結(jié)果

【例10］把1、2、3....10這十個(gè)數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個(gè)數(shù)之

和不小于17.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】喀.

【卷案】(法1)把這一國(guó)從某一個(gè)數(shù)開始按順時(shí)針方向分別記為4、生、4....相鄰的三個(gè)數(shù)為一

組，有《a2a3、、4344a5、…、、4⑼生共10組.

這十組三個(gè)數(shù)之和的總和為：

(?)+a2+々3)+(〃2+43+%)+…+(〃10+4+々2)=314+。2+…+4O)=3X55=165,

165=16x10+5,根據(jù)抽屜原理，這十組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于17.

(法2)在10個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)數(shù)是1,不妨設(shè)4。=1，除去%之外，把4、〃2、%....%這9

個(gè)數(shù)按順序分為三組、Cl4a5a6、%4%.因?yàn)檫@三組數(shù)之和的總和為：

(4+?2+々3)+(。4+4+&)+(%+4+4)=2+3+…+10=54,根據(jù)抽屜原理，這三組數(shù)中

至少有一組數(shù)之和不小于17

【鞏固】圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0,1,2,…/999(每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同

的數(shù)).證明必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】把這一圈從某一個(gè)數(shù)開始按順時(shí)針方向分別記為4、的、％、…、生頌—相鄰的三個(gè)數(shù)為一組，

有、"s""%、???、”［999〃汽乂/)"1、"，(((不"】"，2000xM?

這2000組三個(gè)數(shù)之和的總和為：

(4+電+6)+(生+°3+()+一，+(°2?)0+%+〃2)=3(q+a,+???+〃20no)=3x(l+2+3+?--1999)=5997000

5997000=2998x2000+1(XX),根據(jù)抽屜原理，這兩千組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于2999

【例11】證明：在任意的6個(gè)人中必有3個(gè)人，他們或者相互認(rèn)識(shí)，或者相互不認(rèn)識(shí).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】把這6個(gè)人看作6個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)之間連一條線段，兩人相互認(rèn)識(shí)的話將線段涂紅包，兩人不認(rèn)識(shí)

的話將線段涂上藍(lán)色，那么只需證明其中有一個(gè)同色三角形即可.從這6個(gè)點(diǎn)中隨意選取一點(diǎn)A,

從八點(diǎn)引出的5條線段，根據(jù)抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設(shè)有3條線段為紅色，它們

另外一個(gè)端點(diǎn)分別為8、C、D,那么這三點(diǎn)中只要有兩點(diǎn)比如說8、C之間的線段是紅色，那

么A、8、C3點(diǎn)組成紅色三角形；如果3、C、。三點(diǎn)之間的線段都不是紅色，那么都是藍(lán)色，

這樣8、C、03點(diǎn)組成藍(lán)色三角形，也符合條件.所以結(jié)論成立

【鞏固】平面上給定6個(gè)點(diǎn)，沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上.證明：用這些點(diǎn)做頂點(diǎn)所組成的一切三角形中，

一定有一個(gè)三角形，它的最大邊同時(shí)是另外一個(gè)三角形的最小邊.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】我們先把題目解釋一下.一般情況下三角形的三條邊的長(zhǎng)度是互不相等的，因此必有最大邊和最

小邊.在等腰三角形（或等邊三角形中），會(huì)出現(xiàn)兩條邊，甚至三條邊都是最大邊（或鼠小邊）.

我們用染色的辦法來解決這個(gè)問題.分兩步染色：

第一步：先將每一個(gè)三街形中的最大邊涂上同一種顏色，比如紅色；第二步，將其它的未涂色的

線段都涂上另外一種顏色，比如藍(lán)色.

這樣，我們就將所有三角形的邊都用紅、藍(lán)兩色涂好.根據(jù)上題題的結(jié)論可知，這些三角形中至

少有一個(gè)同色三角形.由于這個(gè)同色三角形有自己的最大邊，而最大邊涂成紅色，所以這個(gè)同色

三角形必然是紅色三角腦.由于這個(gè)同色三角形有自己的最小邊，而這條最小邊也是紅色的，說

明這條最小邊必定是某個(gè)三角形的最大邊.結(jié)論得證

【鞏固】假設(shè)在一個(gè)平面上有任意六個(gè)點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線，每?jī)牲c(diǎn)用紅色或藍(lán)色的線段連起來，都連好后，

問你能不能找到一個(gè)由這些線構(gòu)成的三角形，使三角形的三邊同色？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】從這6個(gè)點(diǎn)中隨意選取一點(diǎn)A,從A點(diǎn)引出的5條線段，根據(jù)抽屜原理，必有3條的顏色相同，

不妨設(shè)有3條線段為紅包，它們另外一個(gè)端點(diǎn)分別為8、C、D,那么這三點(diǎn)中只要有兩點(diǎn)比如

說8、C之間的線段是紅色，那么A、B、C3點(diǎn)組成紅色三角形；如果8、C、。三點(diǎn)之間的

線段都不是紅色，那么都是藍(lán)色，這樣8、C、。3點(diǎn)組成籃色三角形，也符合條件.所以結(jié)論

成立.（可以拓展玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)）

【鞏固】平面上有17個(gè)點(diǎn)，兩兩連線，每條線段染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，這些線段能構(gòu)成若干

個(gè)三角形.證明：一定有一個(gè)三角形三邊的顏色相同.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略.

【答案】從這17個(gè)點(diǎn)鐘任取一個(gè)點(diǎn)A,把A點(diǎn)與其它16個(gè)點(diǎn)相連可以得到16條線段,根據(jù)抽屜原理.

其中同色的線段至少有6條，不妨設(shè)為紅色.考慮這6條線段的除A點(diǎn)外的6個(gè)端點(diǎn)：

⑴如果6個(gè)點(diǎn)兩兩之間有1條紅色線段，那么就有1個(gè)紅色三角形符合條件；

⑵如果6個(gè)點(diǎn)之間沒有紅色線段，也就是全為黃色和藍(lán)色，由上面的2題可知，這6個(gè)點(diǎn)中必有

3個(gè)點(diǎn)，它們之間的線段的顏色相同，那么這樣的三角形就符合條件.

綜上所述，一定存在一個(gè)三角形滿足題目要求

【例12】上體育課時(shí)，21名男、女學(xué)生排成3行7列的隊(duì)形做操.老師是否總能從隊(duì)形中劃出一個(gè)長(zhǎng)方

形，使得站在這個(gè)長(zhǎng)方形4個(gè)角上的學(xué)生或者都是男生，或者都是女生?如果能，請(qǐng)說明理由；

如果不能，請(qǐng)舉出實(shí)例.

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】因?yàn)橹挥心猩蚺鷥煞N情況，所以第1行的7個(gè)位置中至少有4個(gè)位置同性別.為了確定起見，

不妨設(shè)前4個(gè)位矍同是男生，如果第二行的前4個(gè)位豆有2名男生，那么4個(gè)角同是男生的情況

已經(jīng)存在，所以我們假定第二行的前4個(gè)位置中至少有3名女生，不妨假定前3個(gè)是女生.又第

三行的前3個(gè)位置中至少有2個(gè)位置是同性別學(xué)生，當(dāng)是2名男生時(shí)與第一行構(gòu)成一個(gè)四角同性

別的矩形，當(dāng)有2名女生時(shí)與第二行構(gòu)成四角同性別的矩形.所以，不論如何，總能從隊(duì)形中劃

出一個(gè)長(zhǎng)方形，使得站在這個(gè)長(zhǎng)方形4個(gè)角上的學(xué)生同性別.問題得證

【例13】8個(gè)學(xué)生解8道題目.（1）若每道題至少被S人解出，請(qǐng)說明可以找到兩個(gè)學(xué)生，每道題至少被

過兩個(gè)學(xué)生中的一個(gè)解出.（2）如果每道題只有4個(gè)學(xué)生解出，那么⑴的結(jié)論一般不成立.試構(gòu)

造一個(gè)例子說明這點(diǎn).

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略

【零案】（1）先設(shè)每道題被一人解出稱為一次，那么8道題目至少共解出5x8=40次，分到8個(gè)學(xué)生身上，

至少有一個(gè)學(xué)生解出了5次或5次以上題目，即這個(gè)學(xué)生至少解出5道題，稱這個(gè)學(xué)生為A,

我們討論以下4種可能：

第一種可能若A只解出5道題，則另3道題應(yīng)由其他7個(gè)人解出，而3道題至少共被解出3x5=15

次，分到7個(gè)學(xué)生身上，至少有一名同學(xué)解出了3次或3次以上的題目（15=2x7+1,由抽屜原則

便知）由于只有3道題，那么這3道題被一名學(xué)生全部解出，記這名同學(xué)為B.那么，每道題至

少被A、B兩名同學(xué)中某人解出.

第二種可能若A解出6道題，則另2道題應(yīng)由另7人解出，而2道題至少共被解出2x5=10

次,分到7個(gè)同學(xué)身上,至少有一名同學(xué)解出2次或2次以上的題目（10=1x7+3,由抽屜原則便

知）.與1第一種可能I同理，這兩道題必被一名學(xué)生全部解出，記這名同學(xué)為C.疥么，每道題

目至少被A、C學(xué)生中一人解出.

第三種可能若A解出7道題目，則另一題必由另一人解出，記此人為D.那么，每道題目至

少被A、D兩名學(xué)生中一人解出.

第四種可能若A解出8道題目，則隨意找一名學(xué)生，記為E,那么，每道題目至少被A、E

兩名學(xué)生中一人解出，所以問題（1）得證.

（2）類似問題（1）中的想法，題目共被解出8x4=32次，可以使每名學(xué)生都解出4次，那么每人解

出4道題.隨便找一名學(xué)生，必有4道未被他解出，這4道題共被7名同學(xué)解出4x4=16次，由

于16=2乂7+2,可以使每名同學(xué)解出題目不超過3道，這樣就無(wú)法找到兩名學(xué)生，使每道題目至

少被其中一人解出.

具體構(gòu)造如下表，其中漢字代表題號(hào)，數(shù)字代表學(xué)生，打4代表該位置對(duì)應(yīng)的題目被該位置對(duì)應(yīng)

的學(xué)生解出.

—?二三四五六七A

17

2V

3-JVV

4777

5VV7V

6V

77

87-J

【鞏固】試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案.一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其

中任何3人，都有一個(gè)題目的答案互不相同.問參加考試的學(xué)生最多有多少人？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略

【客案】設(shè)總?cè)藬?shù)為A,再由分析可設(shè)第一題篩選取出的人數(shù)為A.第二題篩選的人數(shù)為第三題篩

選取的人數(shù)為第四題篩選的人數(shù)為如果不能滿足題目要求，則：A4至少是3,即3個(gè)

人只有兩種答案.由于4是A,人做第四題后篩選取出的人數(shù)，則由抽屜原則知，

（兩種答案）中至少放有A—個(gè)蘋果（即4-=A=3,則A3至少為4,即4人只有

圖圖4

兩種答案.由于A3是4人做第三題后篩選的人數(shù)，則由抽屜原則知，將4個(gè)蘋果放久三個(gè)抽屜

（三種答案），那么必然有兩個(gè)抽屜（兩種答篥）中至少放有A,——-個(gè)羊果（即

~3

AJ42一與=4=＜則4至少為5,即5人只有兩種答案?同理，有A-與=A2=5則A

[與卜A=7.則4至少為io,

至少為7,即做完第一道題必然有7個(gè)人只有兩種答案；則有4）-

即當(dāng)有10人參加考試時(shí)無(wú)法滿足題目的要求.考慮9名學(xué)生參加考試，令每人答題情況如下表

所示（漢字表示題號(hào)，數(shù)字表示學(xué)生）.故參加考試的學(xué)生最多有9人.

123456789

—AAABBBCCC

二ABCABCABC

三ABCBCACAB

四ABCCABBCA

（2）求抽屜

【例14】把十只小兔放進(jìn)至多幾個(gè)籠子里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔？

【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】要想保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔，把小兔子當(dāng)作“物品”，杷“籠子”當(dāng)作“抽屜”，

根據(jù)抽屜原理，要把10只小兔放進(jìn)10-1=9個(gè)籠里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只