第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年浙江省浙東北縣域名校發(fā)展聯(lián)盟高一（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在△ABC中，BC=a，CA=b，則ABA.a+b B.?a?b 2.下列命題中，正確的是(

)A.若直線a與平面α平行，則a平行于α內(nèi)的任何直線

B.若兩直線a，b都與平面α平行，則a/?/b

C.若直線a平行于平面α，直線b在平面α內(nèi)，則a/?/b

D.若直線l與平面α平行，則平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與l平行3.已知向量a=(3,?1)，b=(1,2)，則a在b上的投影向量為(

)A.(15,25) B.(4.底面邊長(zhǎng)為22，側(cè)面積為810A.242 B.83 C.5.用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截一個(gè)底面積為4的棱錐，截得的棱臺(tái)的上底面積為1，已知截去的棱錐的頂點(diǎn)到其底面的距離為3，則棱臺(tái)的體積為(

)A.12 B.9 C.7 D.66.在正方體ABCD?A′B′C′D′中，P、M分別是B′D′、DD′的中點(diǎn)，則直線AM與BP所成角的余弦值為(

)A.83015 B.430157.如圖五邊形由一個(gè)長(zhǎng)方形和等腰三角形構(gòu)成，其中AB=EF=2，AF=BE=CE=CF=3，D是AB的中點(diǎn)，將△ADF，△BDE，△CEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則DP與平面DEF所成角的正弦值為(

)A.2 B.62 C.8.如圖是小明家閣樓的一處墻角示意圖，其中∠BOC=60°，在∠BOC的角平分線上有一定點(diǎn)A，在A處有一盞燈，燈的光線能照亮覆蓋60°的區(qū)域范圍(圖中∠CAB=60°)，若A距離地面高度AD為120cm，則這盞燈可照亮的四邊形區(qū)域ABOC的最大面積是(

)A.48003cm2 B.96003二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若{e1,eA.{e1,e1+e2}10.根據(jù)下列條件解三角形，其中恰有一解的是(

)A.b=8,c=4,C=5π6 B.b=5,c=7,C=π3

C.11.我們稱(chēng)底面直徑與高相等的圓柱為等邊圓柱，如圖，在等邊圓柱內(nèi)有一個(gè)正三棱錐，正三棱錐的底面△ABC在圓柱底面圓周上，頂點(diǎn)P是圓柱的上底面中心，M是底面三角形邊AC的中點(diǎn)，連接BM，DE是上底面的一條直徑且DE不平行于BM，若圓柱的高為4，則下列說(shuō)法中，正確的是(

)A.△PAC中PM的長(zhǎng)為25

B.圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為42：3

C.四面體BDEM的體積最大值為8

D.半平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，若A′B′=B′C′=1，A′B′//x′軸，A′C′//y′軸，則△ABC的面積為_(kāi)_____．13.已知高為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在表面積為9π的球面上，則該正四棱柱的表面積為_(kāi)_____．14.已知向量a，b，c滿足a⊥b，a+2b+3c=0，cos<c，a?2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a和b滿足以下條件：2a+b=(4,?1)a?2b=(?3,?8)．

(1)求a和b；

(2)若c=(m?1,2m)且c//(a+b)，求實(shí)數(shù)16.(本小題15分)

四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，M是PD的中點(diǎn)，

(1)證明：PB//平面MAC；

(2)若M在底面ABCD上的投影為底面中心，求直線BP到平面MAC的距離．17.(本小題15分)

如圖，在等腰梯形ABCD中，2AD=2DC=2CB=AB=2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段CD上(含邊界)，BF和CE相交于點(diǎn)M，令A(yù)E=a、AD=b．

(1)若F是CD的中點(diǎn)，用a和b表示BF；

(2)若DF=λDC18.(本小題17分)

在學(xué)習(xí)了解三角形后，小萬(wàn)和小千嘗試探究下面的問(wèn)題：如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠ABC=2π3，SΔABC=938，D在邊AC上，且AD：CD=2：1，連接BD，

(1)小萬(wàn)說(shuō)：我能求出AC邊的最短長(zhǎng)度；

19.(本小題17分)

如圖，等腰直角三角形ACB所在平面與半圓弧AB所在平面垂直，M是AB上異于A、B的點(diǎn)，N是AM的中點(diǎn)．

(1)證明：AM⊥平面OCN；

(2)若三棱錐M?ABC體積最大為13，設(shè)∠MAB=α，

(i)求體積最大時(shí)α的值及此時(shí)二面角C?AM?B的余弦值；

(ii)當(dāng)M在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A、B重合)，證明：點(diǎn)O到平面BCM的距離d=cosα

參考答案1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BC

11.【答案】BCD

12.【答案】213.【答案】16

14.【答案】2

15.(1)已知2a+b=(4,?1)①a?2b=(?3,?8)②，

則①×2+②得5a=(5,?10)，

解得a=(1,?2)，

把a(bǔ)=(1,?2)代入①得b=(2,3)；

(2)由(1)得，a=(1,?2)，b=(2,3)，

所以a+b=(3,1)，

又因?yàn)閏//(a+b)，

所以(m?1)×1=2m×3，

所以m=?15；

(3)因?yàn)閍=(1,?2)，d=(x,y)，

所以a+d=(1+x,?2+y)，

又因?yàn)閍⊥(a+d)，

所以1×(1+x)+(?2)×(?2+y)=0，

即x?2y+5=0，③

因?yàn)閨d|=5，

所以x2+y2=25，④

由③④得x=?5y=0或x=3y=4，

所以d=(?5,0)或d=(3,4)．

16.證明：(1)連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OM，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，

因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以O(shè)M//PB，

又因?yàn)镺M?平面MAC，PB?平面MAC，

所以PB/?/平面MAC；

解：(2)因?yàn)镸在底面ABCD上的投影為底面中心，所以MO⊥平面ABCD，

因?yàn)锽D?平面ABCD，所以MO⊥BD，

由(1)知，PB/?/平面MAC，

所以直線BP到平面MAC的距離等于點(diǎn)B到平面MAC的距離，

因?yàn)锳BCD17.(1)因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，

所以AE=EB，

在等腰梯形ABCD中，因?yàn)?AD=2DC=2CB=AB=2，

所以DC=AE，

所以AD=EC，

因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，

所以CF=12CD，

所以BF=BC+CF=EC?EB?FC=AD?AE?12AE=AD?32AE=b?32a；

(2)因?yàn)镈F=λDC．

所以BF=BC+CF=EC?EB?FC

=AD?AE?(1?λ)AE=AD?(2?λ)AE=b?(2?λ)a，

所以EM=EB+BM=AE+12?λBF=a+12?λ[b?(2?λ)a]=12?λb，

所以AM=AE+EM=a+12?λb，

易得∠A=π3，a?b=12，

則|AM|=a2+22?λa?b+1(2?λ)2b2=1(2?λ)2+12?λ+1，

又λ∈[0,1]，

令t=12?λ∈[12,1]，

所以|AM|=1+t+t2=(t+12)2+34∈[72,3]，

即|AM|的取值范圍為[72,3]．

18.(1)因?yàn)镾△ABC=938，所以12acsin∠ABC=938，

因?yàn)椤螦BC=2π3，所以12×32ac=938，即ac=92，

在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2?2ac?cosB=a2+c2+ac，

所以b2≥2ac+ac=3