第7節(jié)二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.理解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征,并能解決簡單的實際問題.2.理解超幾何分布及其均值,并能解決簡單的實際問題.3.理解服從正態(tài)分布的隨機變量,借助頻率直方圖的幾何直觀,理解正態(tài)分布的特征.4.理解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理

X01P1-pp我們稱X服從兩點分布,又稱0—1分布、伯努利分布.2.伯努利試驗與二項分布(1)伯努利試驗①伯努利試驗:只包含兩個可能結(jié)果的試驗.②n重伯努利試驗:將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗.注:獨立重復試驗的實際原型是

的抽樣檢驗問題.有放回

X~B(n,p)npnp(1-p)

[教材知識深化]超幾何分布與二項分布的關(guān)系不同點聯(lián)系二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取n件產(chǎn)品中次品的分布規(guī)律,并且二者的均值相同.對于不放回抽樣,當n遠遠小于N時,每抽取一次后,對N的影響很小,此時,超幾何分布可以用二項分布近似

⑥當μ取定值時,正態(tài)曲線的形狀由σ確定,σ較小時,峰值高,正態(tài)曲線“瘦高”,表示隨機變量X的分布比較集中,如圖1所示;σ較大時,峰值低,正態(tài)曲線“矮胖”,表示隨機變量X的分布比較分散,如圖2所示.圖1圖2

X~N(μ,σ2)標準正態(tài)分布(4)3σ原則假設X~N(μ,σ2),可以證明:對給定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個只與k有關(guān)的定值.特別地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(5)正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ,σ2),則X的均值與方差分別為E(X)=

,D(X)=

.μσ2自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)從4名男演員和3名女演員中選出4名,其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(2)兩點分布是二項分布當n=1時的特殊情況.(

)(3)正態(tài)曲線落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之外的部分對應事件的概率很小,接近于0.(

)√√√2.(人教A版選擇性必修第三冊7.4.1節(jié)例1改編)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復拋擲10次,則恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率是

.

3.(人教B版選擇性必修第二冊4.2.4節(jié)練習B第1題改編)已知隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,則p的值為

.

4.(人教B版選擇性必修第二冊4.2.3節(jié)例3改編)學校要從5名男教師和2名女教師中隨機選出3人去支教,設抽取的人中女教師的人數(shù)為X,則P(X≤1)=

.

BC解析

由題意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,∴A錯誤.P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正確.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,∴C正確,D錯誤.故選BC.

ξ012345P

研考點?精準突破考點一二項分布及其應用例1(2024·山東臨沂一模)某學校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學文化節(jié)活動,其中有個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,出現(xiàn)3的倍數(shù),則一次上三級臺階,否則上二級臺階,再重復以上步驟,當參加游戲的學生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結(jié)束.規(guī)定:從平地開始,結(jié)束時學生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物,位于第9級臺階可獲得一套智力玩具,位于第10級臺階則認定游戲失敗.(1)某學生拋擲三次骰子后,按游戲規(guī)則位于第X級臺階,求X的分布列及數(shù)學期望E(X);(2)甲、乙兩位學生參加游戲,求恰有一人獲得獎品的概率.

X6789P

所以Y的分布列為

Y0123P考點二超幾何分布及其應用例2(2024·重慶模擬)在一種新能源產(chǎn)品的客戶調(diào)查活動中發(fā)現(xiàn),某小區(qū)10位客戶有4人是該產(chǎn)品的潛在用戶,小劉負責這10人的聯(lián)系工作,他先隨機選擇其中5人安排在上午聯(lián)系,剩余5人下午聯(lián)系.(1)設上午聯(lián)系的這5人中有ξ個潛在用戶,求ξ的分布列與期望;(2)小劉逐一依次聯(lián)系,直至確定所有潛在用戶為止,求小劉6次內(nèi)即可確定所有潛在用戶的概率.

ξ01234P

[對點訓練2](2024·廣東茂名一模)近幾年,隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起,新能源汽車產(chǎn)業(yè)進入了加速發(fā)展的階段,我國的新能源汽車產(chǎn)業(yè),經(jīng)過多年的持續(xù)努力,技術(shù)水平顯著提升、產(chǎn)業(yè)體系日趨完善、企業(yè)競爭力大幅增強,呈現(xiàn)市場規(guī)模、發(fā)展質(zhì)量“雙提升”的良好局面.某汽車廠為把好質(zhì)量關(guān),對送來的某個汽車零部件進行檢測.(1)若每個汽車零部件的合格率為0.9,從中任取3個零部件進行檢測,求至少有1個零部件是合格的概率;(2)若該批零部件共有20個,其中有4個零部件不合格,現(xiàn)從中任取2個零部件,求不合格零部件的產(chǎn)品數(shù)X的分布列及數(shù)學期望.

X012P

考點三正態(tài)分布及其應用(多考向探究預測)考向1

概率計算例3(1)(2024·江蘇泰州模擬)某校高三800名學生的考試成績近似服從正態(tài)分布N(89,132),某生成績?yōu)?02分,則該生成績的年級排名大約是(

)(附:參考數(shù)據(jù):X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.第18名

B.第128名C.第245名

D.第546名B

(2)(2022·新高考Ⅱ,13)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=

.0.14解析

由題意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.考向2

正態(tài)分布的實際應用例4(2024·廣東深圳模擬)“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征,是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.一般地,對于一次成功的考試來說,所有考生的考試成績應服從正態(tài)分布.某單位準備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用300人,其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數(shù)為2000名,考試滿分為400分.記考生的成績?yōu)閄,且X~N(μ,σ2),已知所有考生考試的平均成績μ=180,且360分及其以上的高分考生有30名.(1)求σ的值.(結(jié)果保留整數(shù))(2)該單位的最低錄取分數(shù)約是多少?(結(jié)果保留整數(shù))

[對點訓練3](1)(2024·江蘇蘇州模擬)某班有60名學生,一次考試后數(shù)學成績ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,則估計該班學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)為(

)A.10 B.9

C.8

D.7B

②已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布,且滿分為450分,現(xiàn)要根據(jù)得分給2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.(ⅰ)假設該闖關(guān)活動平均分數(shù)為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問甲能否獲得獎勵,請說明理由;(ⅱ)丙得知他的分數(shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關(guān)活動平均分數(shù)為201分