高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市電白區(qū)2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知等差數(shù)列中，，公差，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由是等差數(shù)列，可得.故選：B.2.已知2，，8成等比數(shù)列，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】由題意，因為2，，8成等比數(shù)列，則，所以，即，解得.故選：D.3.已知函數(shù)，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】，則，故選：B4.將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個數(shù)不是“拐角數(shù)”．（）A.22 B.30 C.37 D.46【答案】B【解析】由題意得第1個“拐角數(shù)”為，第2個“拐角數(shù)”為，第3個“拐角數(shù)”為，第4個“拐角數(shù)”為，則第個“拐角數(shù)”為．對于A：第6個“拐角數(shù)”是，故A不合題意；對于B、C：第7個“拐角數(shù)”是，第8個“拐角數(shù)”是，則30不是“拐角數(shù)”，故B適合題意，C不合題意；對于D：第9個“拐角數(shù)”是，故D不合題意．故選：B.5.已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，則通項公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，，解得，設等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以數(shù)列的通項公式為.故選：A.6.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C.8 D.4【答案】D【解析】設等比數(shù)列公比為，則，又，所以.所以.故選：D7.曲線上的點到直線的最短距離是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設曲線上的一點是，，且過的切線與直線平行．由，所以切線的斜率．解得，．即到直線的最短距離是．故選：B8.已知，設函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】，A正確；，B錯誤；，C正確；，D錯，故選：AC10.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若的圖像如圖所示，下列結論正確的是（）A.當時， B.當時，C.當時，取得最大值 D.當時，取得極大值【答案】ABD【解析】由的圖象可知：在單調遞減，故時，，故A正確，當時，單調遞增，故是函數(shù)的極小值點，故，B正確，當時，單調遞減，所以時，取極大值，不是最大值，故C錯誤，D正確，故選：ABD11.等差數(shù)列的前項和為，公差為，，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則最小C.D.【答案】AD【解析】因為，所以，所以，，，即.對選項A，若，因為，，則，，，所以，故A正確；對選項B，若，，則，，所以最小，故B錯誤.對選項C，因為，所以，所以，即，故C錯誤.對選項D，因為，所以，，即.，所以D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若數(shù)列中，，則_____.【答案】【解析】因為數(shù)列中，，所以數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，故答案為：13.等差數(shù)列中，公差，，且，，成等比數(shù)列，則_____.【答案】【解析】由題意可得：，即，又，解得：，故答案為：14.已知函數(shù)存在對稱中心，則在對稱中心處的切線方程是_____.【答案】【解析】解法1：，令，得，，當，時，，當時，，所以在區(qū)間，單調遞增，在單調遞減，，分別是函數(shù)的極大、極小值點，因為函數(shù)存在對稱中心，所以函數(shù)的對稱中心為兩極值點間的對稱中心，因為，所以在對稱中心處的切線方程為，即；解法2：設是函數(shù)存在對稱中心，則，得，整理得，所以，，得，，即函數(shù)的對稱中心為，又，則，所以在對稱中心處的切線方程是，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值.解：（1）由得，令得，當時，，時，，所以當時函數(shù)取極大值，無極小值.（2）由（1）知函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，且，，，所以函數(shù)在區(qū)間的最大值為，最小值為0.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前99項和；（3）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，，得，所以數(shù)列的通項公式為，即.（2）由（1）知，，所以數(shù)列的前99項和.（3），所以，即.17.已知數(shù)列的前項和為，若.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和，并求的最大值.解：（1），故，由，得，兩式相減并整理得，所以為等比數(shù)列，公比為2，首項，所以數(shù)列的通項公式為.（2），所以為等差數(shù)列，首項為12，公差為.所以.由.所以當或時，取得最大值.且所以當或5時，取得最大值30.18.已知函數(shù)，，點，過點的直線與曲線相切.（1）求直線的方程；（2）若函數(shù)曲線也與直線相切，求的值；（3）設函數(shù)，當時，求證：.解：（1）設直線與曲線相切于點，因為，所以，則有，故切線方程為，因為點在上，所以，解得，所以切點坐標為，切線的方程為，即.（2）設曲線與相切于點，因為，所以有，所以，，切點為，把切點坐標代入的方程，得，所以.（3）解法1：，定義域為，當，，，故只需證明，令，則，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增所以，，即，當且僅當時等號成立，令，則，令，得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減所以，，故，當且僅當時等號成立，而此時.當時，有.綜上可得，所以，成立.解法2：，定義域為，當，，，故只需證明.令，則在單調遞增，且，，所以存在唯一，使，即，故，，且當時，，時，，所以，由，得證.19.已知函數(shù).（1）證明：當時，；（2）討論的單調性；（3）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，的定義域為，當時，，，令，解得.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.當時有最小值為，.（2）.①當時，恒成立，在上單調遞增；②當時，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.綜上：當時，在上單調遞增；當時