河南省青桐鳴大聯(lián)考2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．我國新能源汽車產(chǎn)銷量連續(xù)5年居世界首位．某客戶欲購買一輛新能源汽車，已知品牌有5種不同型號的汽車，品牌有10種不同型號的汽車，品牌有6種不同型號的汽車可供選擇，則該客戶不同的選擇種數(shù)為（

）A．21 B．40 C．56 D．3002．已知服從兩點分布，若，則（

）A． B． C． D．3．在等比數(shù)列中，若，且，則公比（

）A． B．3 C． D．4．的展開式中含項的系數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知直線與圓相切，則（

）A． B． C． D．06．某質(zhì)檢部門對一家超市中A，B，C三種食品進行質(zhì)量抽查，從這三種食品中任取一件，質(zhì)量合格率為，據(jù)該超市反饋，A，B兩種食品的質(zhì)量合格率分別為，，且A，B，C三種食品的件數(shù)之比為．根據(jù)上述信息推斷，C種食品的質(zhì)量合格率為（

）A． B． C． D．7．將字母排成一排，若要求相鄰，且不在兩端，則不同的排列方法共有（

）A．228種 B．192種 C．240種 D．168種8．在正四棱柱中，，，點，分別為正方形與正方形的中心，E為的中點，點M為線段上的動點，則當(dāng)點M到平面的距離最大時，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，且，則下列等式一定正確的是（

）A． B．C． D．10．已知隨機事件滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件互相獨立 B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，有極大值 B．當(dāng)時，C．，恒成立 D．當(dāng)有且僅有兩個零點時，三、填空題12．已知，是兩個離散型隨機變量，且，若，則.13．現(xiàn)將一個7、兩個3、三個5排成一排，不同的排列方法有種.14．已知拋物線的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為，若等邊三角形的邊在x軸的非負半軸上，與原點O重合，點的橫坐標(biāo)大于點的橫坐標(biāo)，位于第一象限的點，在拋物線C上，則.（用含n的式子表示）四、解答題15．已知隨機變量的分布列為013（1）求實數(shù)的值；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)隨機變量，求．16．已知．（1）求的值．（2）若．（?。┣蟮闹担唬áⅲ┣蟮恼归_式中含的項的系數(shù)．17．已知雙曲線的右焦點為，過點F的直線l交C的右支于A，B兩點，當(dāng)軸時，.（1）求雙曲線C的離心率；（2）若直線l的傾斜角為，且C經(jīng)過點，M為雙曲線C的左支上一動點，求面積的最小值.18．已知函數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：，．19．若隨機變量X，Y均為定義在同一樣本空間上的離散型隨機變量，則將稱為二維離散型隨機變量，將取值為的概率記作，其中.甲、乙兩人進行足球點球比賽，約定如下：甲、乙各點一次球，點球者進球得1分，不進球得分，分?jǐn)?shù)高者獲勝，比賽結(jié)束.若平局，甲、乙再通過抽簽決定誰點球，且甲、乙抽中簽的概率均為，抽中簽者點球，進球得1分，不進球得分；未抽中者不點球，得0分，分?jǐn)?shù)高者獲勝，比賽結(jié)束.已知甲、乙每次進球的概率分別為，，且每次點球之間相互獨立.記甲得分為X，乙得分為Y.（1）求，；（2）求；（3）已知隨機事件發(fā)生了，求隨機變量Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考答案1．【答案】A【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，客戶不同的選擇種數(shù)為．故選A．2．【答案】C【詳解】由兩點分布的性質(zhì)可知，，又，所以.故選C.3．【答案】D【詳解】由題設(shè)及等比數(shù)列的性質(zhì)有，可得，而，則.故選D4．【答案】C【詳解】在的展開式通項為，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，由可得，故展開式中項的系數(shù)為．故選C．5．【答案】A【詳解】由，則，所以圓心，半徑，，由題設(shè)，則.故選A6．【答案】B【詳解】設(shè)C種食品的質(zhì)量合格率為，根據(jù)全概率公式可知，，解得．故選B．7．【答案】B【詳解】將捆綁在一起，視為一個整體，不考慮的位置，則有（種）排法，當(dāng)在兩端時，有（種）排法，所以滿足要求的排列方法有（種）.故選B8．【答案】D【詳解】以為原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為E為的中點，所以，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)，所以，所以，點M到平面的距離，當(dāng)時，即與點重合時，點M到平面的距離最大，此時，直線與平面所成角的正弦值為，故選D．9．【答案】ABD【詳解】對于選項A：由，得，故A正確；對于選項B：由，得，則，故B正確；對于選項C：例如，則，即，故C錯誤；對于選項D：因為，所以，故D正確；故選ABD．10．【答案】AC【詳解】由，得，，．對于A：，所以，所以事件，互相獨立，所以事件互相獨立，故A正確；對于B：因為事件互相獨立，所以事件互相獨立，所以，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤．故選AC．11．【答案】ABD【詳解】對于選項A，當(dāng)時，．則.令．解得．則當(dāng)時．，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在有取得極大值，A正確．對于選項B，，當(dāng)，時，，故在單調(diào)遞增，則，B正確．對于選項C，若，當(dāng)時，，C錯誤．對于選項D，令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，恒成立．畫出的大致圖象，如下：可知當(dāng)有兩個零點時，，D正確．故選ABD12．【答案】1009.【詳解】，是兩個離散型隨機變量，且，若，因為，所以.13．【答案】60【詳解】由題意知，一個7，兩個3，三個5共6個數(shù)字全排列，共種方法，又因為6個數(shù)字中有兩個3和三個5是重復(fù)的，所以共有種方法.14．【答案】【詳解】由題設(shè)，易得，則，在拋物線C上，等邊三角形的邊在x軸的非負半軸上，與原點O重合，

設(shè)，則時，故，所以，當(dāng)時，，則，若是的前n項和，則，故，顯然時滿足，當(dāng)，，整理得，又，則，故是首項、公差都為2的等差數(shù)列，所以.15．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，．解得．（2）的數(shù)學(xué)期望．（3）的方差：，故．16．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）令，得，；（2）（ⅰ）令，得，，解得．（ⅱ）因為的展開式的通項為（且），令，解得，故的展開式中含的項的系數(shù)為．17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）當(dāng)軸時，，將代入方程中，得，由，解得，即，所以，整理得，所以，故，由，解得，即雙曲線的離心率為.（2）因為雙曲線過點，所以，則，所以雙曲線的方程為，右焦點，得直線，即.設(shè)，，消去得，則，所以.設(shè)過點與直線平行的直線的方程為，當(dāng)與雙曲線的左支相切時，與之間的距離最小，此時的面積最小.，消去得，，解得.當(dāng)時，與雙曲線的右支相切，不符合題意；當(dāng)時，與雙曲線的左支相切，符合題意，所以，與直線的距離為，所以面積的最小值為.

18．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【詳解】（1）因為，所以，則，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，故．（2），則，所以在上恒成立．故在上恒成立，令，，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以，故實數(shù)的取值范圍為．（3）由（2）可知，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，令，則，所以，，，…，，所以．故原不等式得證.19．【答案】（1）（2）（3）分