河南省青桐鳴大聯(lián)考2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．我國新能源汽車產(chǎn)銷量連續(xù)5年居世界首位．某客戶欲購買一輛新能源汽車，已知品牌有5種不同型號(hào)的汽車，品牌有10種不同型號(hào)的汽車，品牌有6種不同型號(hào)的汽車可供選擇，則該客戶不同的選擇種數(shù)為（

）A．21 B．40 C．56 D．3002．已知服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A． B． C． D．3．在等比數(shù)列中，若，且，則公比（

）A． B．3 C． D．4．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知直線與圓相切，則（

）A． B． C． D．06．某質(zhì)檢部門對(duì)一家超市中A，B，C三種食品進(jìn)行質(zhì)量抽查，從這三種食品中任取一件，質(zhì)量合格率為，據(jù)該超市反饋，A，B兩種食品的質(zhì)量合格率分別為，，且A，B，C三種食品的件數(shù)之比為．根據(jù)上述信息推斷，C種食品的質(zhì)量合格率為（

）A． B． C． D．7．將字母排成一排，若要求相鄰，且不在兩端，則不同的排列方法共有（

）A．228種 B．192種 C．240種 D．168種8．在正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別為正方形與正方形的中心，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)M到平面的距離最大時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，且，則下列等式一定正確的是（

）A． B．C． D．10．已知隨機(jī)事件滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件互相獨(dú)立 B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有極大值 B．當(dāng)時(shí)，C．，恒成立 D．當(dāng)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，三、填空題12．已知，是兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，且，若，則.13．現(xiàn)將一個(gè)7、兩個(gè)3、三個(gè)5排成一排，不同的排列方法有種.14．已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為，若等邊三角形的邊在x軸的非負(fù)半軸上，與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，位于第一象限的點(diǎn)，在拋物線C上，則.（用含n的式子表示）四、解答題15．已知隨機(jī)變量的分布列為013（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)隨機(jī)變量，求．16．已知．（1）求的值．（2）若．（?。┣蟮闹?；（ⅱ）求的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)．17．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線l交C的右支于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求雙曲線C的離心率；（2）若直線l的傾斜角為，且C經(jīng)過點(diǎn)，M為雙曲線C的左支上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值.18．已知函數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：，．19．若隨機(jī)變量X，Y均為定義在同一樣本空間上的離散型隨機(jī)變量，則將稱為二維離散型隨機(jī)變量，將取值為的概率記作，其中.甲、乙兩人進(jìn)行足球點(diǎn)球比賽，約定如下：甲、乙各點(diǎn)一次球，點(diǎn)球者進(jìn)球得1分，不進(jìn)球得分，分?jǐn)?shù)高者獲勝，比賽結(jié)束.若平局，甲、乙再通過抽簽決定誰點(diǎn)球，且甲、乙抽中簽的概率均為，抽中簽者點(diǎn)球，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球得分；未抽中者不點(diǎn)球，得0分，分?jǐn)?shù)高者獲勝，比賽結(jié)束.已知甲、乙每次進(jìn)球的概率分別為，，且每次點(diǎn)球之間相互獨(dú)立.記甲得分為X，乙得分為Y.（1）求，；（2）求；（3）已知隨機(jī)事件發(fā)生了，求隨機(jī)變量Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考答案1．【答案】A【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，客戶不同的選擇種數(shù)為．故選A．2．【答案】C【詳解】由兩點(diǎn)分布的性質(zhì)可知，，又，所以.故選C.3．【答案】D【詳解】由題設(shè)及等比數(shù)列的性質(zhì)有，可得，而，則.故選D4．【答案】C【詳解】在的展開式通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，所以，的展開式通項(xiàng)為，由可得，故展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．故選C．5．【答案】A【詳解】由，則，所以圓心，半徑，，由題設(shè)，則.故選A6．【答案】B【詳解】設(shè)C種食品的質(zhì)量合格率為，根據(jù)全概率公式可知，，解得．故選B．7．【答案】B【詳解】將捆綁在一起，視為一個(gè)整體，不考慮的位置，則有（種）排法，當(dāng)在兩端時(shí)，有（種）排法，所以滿足要求的排列方法有（種）.故選B8．【答案】D【詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)，所以，所以，點(diǎn)M到平面的距離，當(dāng)時(shí)，即與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)M到平面的距離最大，此時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為，故選D．9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由，得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由，得，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故D正確；故選ABD．10．【答案】AC【詳解】由，得，，．對(duì)于A：，所以，所以事件，互相獨(dú)立，所以事件互相獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槭录ハ嗒?dú)立，所以事件互相獨(dú)立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤．故選AC．11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，．則.令．解得．則當(dāng)時(shí)．，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在有取得極大值，A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)，時(shí)，，故在單調(diào)遞增，則，B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，若，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，恒成立．畫出的大致圖象，如下：可知當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，D正確．故選ABD12．【答案】1009.【詳解】，是兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，且，若，因?yàn)椋?13．【答案】60【詳解】由題意知，一個(gè)7，兩個(gè)3，三個(gè)5共6個(gè)數(shù)字全排列，共種方法，又因?yàn)?個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)3和三個(gè)5是重復(fù)的，所以共有種方法.14．【答案】【詳解】由題設(shè)，易得，則，在拋物線C上，等邊三角形的邊在x軸的非負(fù)半軸上，與原點(diǎn)O重合，

設(shè)，則時(shí)，故，所以，當(dāng)時(shí)，，則，若是的前n項(xiàng)和，則，故，顯然時(shí)滿足，當(dāng)，，整理得，又，則，故是首項(xiàng)、公差都為2的等差數(shù)列，所以.15．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，．解得．（2）的數(shù)學(xué)期望．（3）的方差：，故．16．【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）令，得，；（2）（?。┝?，得，，解得．（ⅱ）因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為（且），令，解得，故的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）當(dāng)軸時(shí)，，將代入方程中，得，由，解得，即，所以，整理得，所以，故，由，解得，即雙曲線的離心率為.（2）因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，則，所以雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)，得直線，即.設(shè)，，消去得，則，所以.設(shè)過點(diǎn)與直線平行的直線的方程為，當(dāng)與雙曲線的左支相切時(shí)，與之間的距離最小，此時(shí)的面積最小.，消去得，，解得.當(dāng)時(shí)，與雙曲線的右支相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，與雙曲線的左支相切，符合題意，所以，與直線的距離為，所以面積的最小值為.

18．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，故．（2），則，所以在上恒成立．故在上恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，令，則，所以，，，…，，所以．故原不等式得證.19．【答案】（1）（2）（3）分