湖南省永州市名校聯(lián)盟2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合則（

）A． B． C． D．2．已知，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．3．設(shè)均為單位向量，且，則（

）A． B． C． D．4．已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列是其前項(xiàng)和，，則（

）A． B．8 C．7 D．146．通遼是“最美中國(guó)文化旅游城市”，境內(nèi)旅游資源豐富，自然景觀優(yōu)美，其中的大青溝，孝莊園文化旅游區(qū)，珠日河草原旅游區(qū)，庫(kù)倫三大寺，孟家段國(guó)家濕地公園，銀沙灣，可汗山都是風(fēng)景宜人的旅游勝地，某班4個(gè)同學(xué)分別從7處風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則不同的選擇方案是（

）A．種 B．種 C．種 D．種7．我國(guó)古代《九章算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為“芻童”.如圖，在芻童中，，平面與平面之間的距離為3，則此“芻童”的體積為（

）A．36 B．46 C．56 D．668．若，分別是雙曲線：的右支和圓：上的動(dòng)點(diǎn)，且是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在常數(shù)項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)和為1C．第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為12810．已知函數(shù)，則（

）A． B．有兩個(gè)極值點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．有兩個(gè)零點(diǎn)11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（

）A．三棱錐的體積為 B．線段的長(zhǎng)為C．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 D．的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為.13．鎮(zhèn)江西津渡的云臺(tái)閣，是一座宋元風(fēng)格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標(biāo)建筑之一.如圖，在云臺(tái)閣旁水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則云臺(tái)閣的高度為米.

14．設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為.若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求的值；(2)若，且，求的面積．16．如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.17．隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購(gòu)物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開(kāi)始采摘上市，一臍橙基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購(gòu)物群的銷售情況，各購(gòu)物群銷售臍橙的情況如下：臍橙數(shù)量/盒購(gòu)物群數(shù)量/個(gè)12183218(1)求實(shí)數(shù)的值.并用組中值（每組的中點(diǎn)值）估計(jì)這100個(gè)購(gòu)物群銷售臍橙總量的平均數(shù)；(2)假設(shè)所有購(gòu)物群銷售臍橙的數(shù)量，其中為（1）中的平均數(shù)，.若該臍橙基地參與銷售的購(gòu)物群約有1000個(gè)，銷售的臍橙在（單位：盒）內(nèi)的群為“級(jí)群”，銷售數(shù)量小于256盒的購(gòu)物群為“級(jí)群”，銷售數(shù)量不小于616盒的購(gòu)物群為“特級(jí)群”，該臍橙基地對(duì)每個(gè)“特級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)600元，每個(gè)“級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)100，對(duì)“級(jí)群”不獎(jiǎng)勵(lì)，則該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備多少獎(jiǎng)金？（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若，則，，.18．已知橢圓及直線．(1)若直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線距離的最大值為，求直線的方程．19．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)交集的概念與運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選C.2．【答案】C【分析】設(shè)（a，），代入，利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】設(shè)（a，），則.因?yàn)椋?即，整理得，所以，解得，所以.故選C.3．【答案】B【分析】對(duì)兩邊平方可得答案.【詳解】.故選B.4．【答案】D【分析】利用二倍角公式求出，再將原式化為，代入求解即可.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，所以.故選D.5．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求得，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和的定義即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，即，所以，所?故選C.6．【答案】D【分析】由題意每位同學(xué)都有7種選擇，利用分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意每位同學(xué)都有7種選擇，則4名同學(xué)共有種選擇方案.故選D.7．【答案】C【分析】首先說(shuō)明幾何體為四棱臺(tái)，再代入臺(tái)體體積公式，即可求解.【詳解】由，，，，且，則交于同一點(diǎn)，該“芻童”為四棱臺(tái)，矩形的面積為,矩形的面積為,且上下底面的高為3，所以四棱臺(tái)的體積.故選C.8．【答案】A【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的定義及兩點(diǎn)之間線段最短轉(zhuǎn)化計(jì)算.【詳解】圓：的圓心，半徑，雙曲線：則，，，設(shè)左焦點(diǎn)為，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng),在線段與雙曲線右支、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).故選A.9．【答案】AC【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及賦值法，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，對(duì)于A：由，得(舍去)，所以展開(kāi)式不存在常數(shù)項(xiàng)，故A正確；對(duì)于B：二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：展開(kāi)式共有項(xiàng)，所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確；對(duì)于D：令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】ABC【分析】求導(dǎo)后令，分析單調(diào)性并求出極值，即可判斷ABD，利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷C。【詳解】，故A正確；令，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極小值，在取得極大值，即，，只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確D錯(cuò)誤；，所以關(guān)于0,1對(duì)稱，故C正確。故選ABC.11．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，點(diǎn)到平面的距離為，再通過(guò)三棱錐的體積公式計(jì)算即可；對(duì)于B，設(shè)的中心為，則，通過(guò)勾股定理計(jì)算即可；對(duì)于C，如圖②所示，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成并計(jì)算即可；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A：在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間的距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對(duì)于B：如圖①所示，設(shè)的中心為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：如圖②所示，由知，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成，其長(zhǎng)度為圓周長(zhǎng)的一半故C正確；對(duì)于D：，為在方向上的投影，由圖①可知，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，此時(shí)取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故D正確.故選ACD.12．【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質(zhì)求出并驗(yàn)證即得.【詳解】函數(shù)中，，方程的根為，由函數(shù)是奇函數(shù)，得，解得，此時(shí)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)，所以的值為.13．【答案】【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)分別表示,然后分別中利用余弦定理表示,因?yàn)?所以,求出h即可.【詳解】設(shè)，在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因?yàn)?所以，即，.故答案為：.14．【答案】6【分析】利用題給條件結(jié)合雙曲線定義求得關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線C的離心率；利用題給條件求得的值，進(jìn)而求得的面積.【詳解】因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)設(shè)為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理得，即有，所以.設(shè)內(nèi)切圓與x軸相切于M，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，易得為雙曲線左支頂點(diǎn)，則，則,解得，又由內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為2，得，故.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)必在雙曲線上，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，可得.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，再判斷為銳角，即可求出，，從而求出，即可得解；（2）依題意可得，將兩邊平方，結(jié)合及數(shù)量積的運(yùn)算律求出,，再由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，又，所以，又因?yàn)?，由正弦定理可得，則，所以為銳角，又，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，，且，因?yàn)?，所以，所以，，所以?6．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌娴酌?，所?因?yàn)榈酌媸蔷匦危?又，且平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以.設(shè)平面的法向量為，則，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，則，取，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17．【答案】(1)20；平均數(shù)為376(2)獎(jiǎng)金約為95700元【分析】（1）利用頻數(shù)之和等于樣本總數(shù)易得值，利用與頻數(shù)分布表有關(guān)的平均數(shù)公式計(jì)算即得；（2）由題意，結(jié)合（1）的結(jié)果易得的值，根據(jù)“級(jí)群”，“特級(jí)群”的范圍，利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，求出對(duì)應(yīng)的概率，再計(jì)算出需準(zhǔn)備的獎(jiǎng)金即可.【詳解】（1）由題意得，解得.則這100個(gè)購(gòu)物群銷售臍橙總量的平均數(shù)為.（2）由題意，則，故，故“級(jí)群”約有個(gè)；，故“特級(jí)群”約有個(gè)；則依題意，需要資金為元，即該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備95700元.18．【答案】(1)(2)或【分析】（1）聯(lián)立方程組，根據(jù)題意，利用，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）根據(jù)題意，把點(diǎn)到直線距離的最大值，轉(zhuǎn)化為與直線平行且與橢圓相切的直線與直線間的距離，由（1）可得直線或直線與橢圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為；（2）由題意，點(diǎn)到直線距離的最大值，等價(jià)于與直線平行且與橢圓相切的直線與直線間的距離，由（1）中，，解得或，此時(shí)直線或直線與橢圓相切，當(dāng)與之間的距離為時(shí)，可得，解得或（舍去）；當(dāng)與之間的距離為時(shí)，可得，解得或（舍去）.綜上可知，所求直線的方程為或.19．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解