第四講方程（組）及其應用

命題點1等式的基本性質（5考）

1.新考法跨物理學科（83考）（2024貴州）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“畫”

▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡.若設“■”與“?用勺質量分別為x,y,則下列關系式正確的是（）

A.x=yB.x=2yC.x=4yD.x=Sy

命題點2一次方程（組）及其解法

類型——次方程的解法及其解的應用（11考）

2.（2023永州）關于x的一元一次方程22久+爪=5的解為x=1,則m的值為

（）

A.3B.-3C.7D.-7

3.（2024濱州）解方程：笞二=學.

類型二一次方程組的解法及其解的應用（33考）

4.（2023眉山）已知關于x,y的二元一次方程組二普十：的解滿足%-y=4,則m的值為

X-rV—乙TJT—J

（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2024蘇州）解方程組：｛孑

乙人—DV—D

命題點3一次方程（組）的實際應用

類型一購買、銷售問題（61考）

6.新考法數(shù)學文化（2024泰安）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容大致如下：用九百九十

九文錢，可買甜果苦果共一千個，若……,……,試問買甜果苦果各幾個?若設買甜果x個，買苦果y個，可列出符

x+y=1000,

合題意的二元一次方程組：｛11工4根據(jù)已有信息，題中用“…，……”表示的缺失的條件應為（）

—x+-y=999.

97：

A.甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢

B.甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢

C.甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢

D.甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢

類型二分配問題（25考）

7.（2024赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和

2塊D型鋼板.現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊?如果設用A型鋼

板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）

3x+2y=403x+5y=403x+5y=583x+4y=58

AJx+5y=58+2y=58+2y=40D'^x+2y=40

8.（2024安徽）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一些田地，采用新技

術種植A,B兩種農作物.種植這兩種農作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如下表：

農作物品種每公頃所需人數(shù)每公頃所需投入資金（萬元）

A48

B39

已知農作物種植人員共24位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共60萬元，問A,B這兩種農作物的

種植面積各多少公頃？

類型三工程問題（6考）

9.新考法數(shù)學文化（2024煙臺）《周髀算經》是中國現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作.書中記載這樣一道題：“今有

女子不善織，日減功遲.初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖.問織幾何?”意思是：現(xiàn)有一個不擅長織布的宣/超

女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數(shù)量相同.第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，30天完詠-T

第9題網

工.問一共織了多少布?（）

A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺

10.（2024陜西）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除.根據(jù)這次大掃除的任務量，若小峰單

獨完成，需4h；若爸爸單獨完成，需2h.當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨

完成了剩余的打掃任務，小峰和爸爸這次一共打掃了3h,求這次小峰打掃了多長時間.

類型四行程問題（20考）

11.（2024蘇州）某條城際鐵路線共有A,B,C三個車站，每日上午均有兩班次列車從A站駛往C站，其中D.1

001次列車從A站始發(fā)，經停B站后到達C站，G1002次列車從A站始發(fā)，直達C站，兩個車次的列車在行駛過

程中保持：到目的行駛速度不變.某校數(shù)學學習小組對列車運行情況進行研究，收集到列車運行信息如下表所示.

列車運行時刻表

A站B站C站

車次

發(fā)車時刻到站時刻發(fā)車時刻到站時刻

D10018:009:309:5010:50

G10028:25途經B站，不停車10:30

請根據(jù)表格中的信息，解答下列問題：

（1）D1001次列車從A站到B站行駛了分鐘，從B站到C站行駛了分鐘；

（2）記D1001次列車的行駛速度為vi,離A站的路程為（乙，心;G1002次列車的行駛速度為v?,離A站的路

程為v2,d2.

①一

②從上午8：00開始計時，時長記為t分鐘（如：上午9：15,則t=t=75）,已知%=240千米/小時（可換算為4

千米/分鐘），在G1002次列車的行駛過程中（（25<slantt<skmt分0）,若\^-d2|=60,求t的值

類型五配套問題（8考）

12.（2023巴中）某學校課后興趣小組在開展手工制作活動中，美術老師要求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準

備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側面，另一部分做底面.已知每張卡紙可以裁出2個側面，或者裁出3個底面，

如果1個側面和2個底面可以做成一個包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個數(shù)為（）

A.6B.8C.12D.16

類型六其他問題（59考）

13.（2024山西）當下電子產品更新?lián)Q代速度加快，廢舊智能手機數(shù)量不斷增加.科學處理廢舊智能手機，既可減

少環(huán)境污染，還可回收其中的可利用資源.據(jù)研究，從每噸廢舊智能手機中能提煉出的白銀比黃金多760克.已知從2.

5噸廢舊智能手機中提煉出的黃金，與從0.6噸廢舊智能手機中提煉出的白銀克數(shù)相等.求從每噸廢舊智能手機中能

提煉出黃金與白銀各多少克.

第13題圖

14.新考法跨音樂學科（5考）（2024吉林省卷）鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有8

8個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個.求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數(shù).

第14題圖

命題點4分式方程及其解法

類型一分式方程的解法（83考）

15.（2024包頭）解方程：三—2=壬.

16.（2024福建）解方程：――+1=--

類型二分式方程解的應用（26考）

17.（2024齊齊哈爾）如果關于x的分式方程:-署=。的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是

（）

A.m<l且m#）B.m<l

C.m>lD.m<lS.m^-1

18.（2024達州）若關于x的方程高二=1無解，則k的值為一.

x—2x—2

命題點5分式方程的實際應用

類型一購買、銷售問題（23考）

19.（2024重慶A卷）為促進新質生產力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產線的設

備進行更新?lián)Q代.

⑴為鼓勵企業(yè)進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策根據(jù)相關政策，更新1條甲類生產線的設

備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30條生產線的設備，該企

業(yè)可獲得70萬元的補貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產線各有多少條？

⑵經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購

買更新甲類生產線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補

貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？

類型二工程或行程問題（25考）

20.（2024呼倫貝爾）A,B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器人每小時多搬運30千克，

A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等.A,B兩種機器人每小時分別搬運多

少千克化工原料？（）

A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60

21.（2024綏化）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行120km所用時間，與以該航速沿

江逆流航行80km所用時間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6knVhC.7km/hD.8km/h

22.（2024云南）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為300千米、乘坐

C型車比乘坐D型車少用2小時，C型車的平均速度是D型車的平均速度的3倍，求D型車的平均速度.

類型三其他問題（79考）

23.（2024威海）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦?時.后購進一批相同數(shù)量的B

型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦?時.一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈每年用電量的2倍少32千瓦.時.

求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量.

命題點6一元二次方程及其解法

類型——元二次方程的解法（40考）

24.（2024河北）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1,則a=（）

A.1B.V2-1C.V2+1D.1或V2+1

25.（2024涼山州）已知y2-x=0,x2-3y2+x-3=0,則x的值為

26.（2024青海省卷）（1）解一元二次方程：/-4%+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是⑴中方程的根，求第三邊的長.

類型二一元二次方程解的應用（26考）

27.（2024深圳）一元二次方程x2-3x+a=。的一個解為%=1,則a=

28.（2024南充）已知m是方程x2+4x-1=。的一個根，貝U（m+5）（爪—1）的值為.

命題點7一元二次方程根的判別式（94考）

29.（2024上海）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）

A.x2-6x=0B.x2—9—0

C.%2—6%+6=0D.%2—6%+9=0

30.（2024自貢）關于x的方程x2+mx-2=。根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

31.（2024云南）若一元二次方程：/-2%+c=0無實數(shù)根，則實數(shù)c的取值范圍為.

32.（2024南充）已知：久1，久2是關于x的方程%2-2kx+k2-k+1=。的兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求k的取值范圍；

⑵若k<5,且k,xi久1，久2都是整數(shù)，求k的值

新考法開放性設問（26考）（3）從（①%]+冷=1-3;②也久2=7中任意選擇一個作為條件，求k的值.

[2024貴州17（1）題]

命題點8一元二次方程根與系數(shù)的關系（54考）

33.（2024綏化）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到

方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是-2和5則原來的方程是

（）

A.x2+6x+5—0B.x2—7x+10=0

C.x2—5x+2=0O.x2-6x-10=0

34.（2024煙臺）若一元二次方程2/_4x-1=。的兩根為m,n,則3病-4m+聲的值為.

2

35.（2024瀘州）已知Xi,x2是一元二次方程%i，x2x-3x-5-0的兩個實數(shù)根，貝！J

2

—x2）+3刀1乂2的值是________.

36.（2024遂寧）已知關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m-l=0.

⑴求證：無論m為何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若Xi，比2是方程的兩個實數(shù)根，且以+好-*62=9,求m的值.

命題點9一元二次方程的實際應用

類型一變化率問題（25考）

37.（2024云南）兩年前生產1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產技術的進步，現(xiàn)在生產1千克甲種藥品的

成本為60元.設甲種藥品成本的年平均下降率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

71.80（1-%2）=6080（1-%）2=60

C.80（l-x）=60D.80（l-2x）=60

38.（2024重慶A卷）隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅

48.4萬元.該公司這兩年繳稅的年平均增長率是L

類型二幾何圖形面積問題（14考）

39.（2023東營）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD,并

在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）.

（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640nl2的羊圈？

（2）羊圈的面積能達到（650機2嗎?如果能，請你給出設計方案：如果不能，請說明理由.

A>

BEFC

第39題圖

類型三其他問題（34考）

40.新考法跨語文學科（7考）（2024吉林省卷）有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水

深度，其中AB=AB'AB1于點C,BC=0.5尺，B'C=2尺.設AC的長度為x尺可列方程為

Qfx=2z①

%十V=V十乙Z\

1.C【解析】設“▲”的質量為z,由題圖可得｛尤+；［；+2y化簡得lz=2y②'將②代入①中，得X=4y.

2.A【解析】把x=l代入2x+m=5得2+m=5解得m=3.

3.解:去分母，得2(2x-l)=3(x+l),

去括號彳導4x-2=3x+3,

移項彳導4x-3x=3+2,

合并同類項，得x=5.

4.B【解析】令產,—①-②狷2x-2y=2m+6,整理得*-丫=111+3,：*-丫=4,，111+3=4解得111=1.

x+y—2m—5(2j

5,解:令優(yōu)+；=2，

2x—3y=3②，

①-②得,4y=4,解得y=l.

將y=l代入①得x=3,

方程組的解是Z:'

y—L

6.D【解析】由方程昔x+棄=999,可知每個甜果?錢，每個苦果汶錢，.?.9個甜果11文錢，7個苦果

4文錢.

7.C【解析】?.,用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板，用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼

板和2塊D型鋼板，且現(xiàn)在需要58塊C型鋼板，40塊D型鋼板，，根據(jù)題意可列方程組為｛￡:黑二霽

一%十/y—41u

8.解：設A,B這兩種農作物的種植面積分別為x公頃，y公頃.

根據(jù)題意，得｛黑:砥二言

解得｛；：!

答：A,B這兩種農作物的種植面積分別為3公頃，4公頃.

9.C【解析】設每天減少x尺布,由題意，得5-29x=l,解得％=翥，30天一共織布的尺數(shù)為：5+5-/x1

+5-示2+…+5.X29=5X3O-豕(1+2+…+29)=150.x”產=15。-6。=90(尺).

10.解:設小峰打掃了xh,則爸爸打掃了(3-x)h.

根據(jù)題意，得1%+|(3-%)=1,

解得x=2,

答：這次小峰打掃了2h.

11.解:⑴90,60;

⑵①|；

【解法提示】根據(jù)題意，得D1001次列車從A站到C站共行駛90+60=150(分鐘),G1002次列車從A站到C

站共行駛35+60+30=125(分鐘),；.150vi=125藝,得=言=:

②???v=4千米/分鐘，—=

11?2O

V2==4.8(千米/分鐘),

由⑴知D1001次列車從A站至I」B站行駛了90分鐘，

A站與B站之間的路程為4x90=360(千米)，

：360+4.8=75(分鐘)，

當t=100時,G1002次列車剛好經過B站，

由題意可知，當90<t<110時,D1001次列車在B站停車，

.?.當G1002次列車經過B站時,D1001次列車正在B站停車,

當I&-d21=60時,分四種情況討論:

⑴當25<t<90時,.>d2,

**,Id]—(i2I=d]—d-2,>

A4t-4.8(t-25)=60,

解得t=75;

(ii)當90<t<100時,蠢>d2,

**,Id]—I=d]—d12>

A360-4.8(t-25)=60,

解得t=87.5,不符合題意，舍去；

(iii)當100<tW110時,由<d2,

**,Id]—d，2I=d?—d],

???4.80-25)-360=60,

解得t=l12.5,不符合題意,舍去;

(iv)當110<t<150時,七<d2,

**,Id]—d~2\~d^2—d],

A4.8(t-25)-[360+4(t-110)]=60,

解得t=125,

綜上所述，當t=75或125時,\d±-d2\=60.

12.C【解析】設用x張卡紙做側面，用y張卡紙做底面，由題意得解得匕：”用6張卡紙

做側面，用8張卡紙做底面，則做出側面的數(shù)量為12個，底面的數(shù)量為24個一,.這些卡紙最多可以做成包裝盒的

個數(shù)為12個.

13.解：設從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金x克，白銀y克.

根據(jù)題意，得募久二淵

解得〈二；篇

答：從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金240克，白銀1000克.

14.解：設白色琴鍵的個數(shù)為x個，黑色琴鍵的個數(shù)為y個.

由題意得.+二累解m

九一y一

答：白色琴鍵的個數(shù)為52個，黑色琴鍵的個數(shù)為36個.

15.解:去分母彳導:x-2-2(x-4)=x,

去括號得：x-2-2x+8=x,

移項、合并同類項得：-2x=-6,

系數(shù)化為1得：x=3,

經檢驗x=3是原分式方程的解.

16.解:去分母彳導:3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),

去括號得：3%-6+/-4=/+2/

移項、合并同類項、系數(shù)化為1得x=10,

經檢驗x=10是原分式方程的解.

17.A【解析】方程兩邊同時乘以x(x+l)得,x+l-mx=0,解得x=分式方程的解是負數(shù)，

又x(x+1)^0,x#0且x+1邦,:.x#0且把1,m#0,:.m<1且m^O.

18.4【解析】去分母得:3-k+l=x-2,解得x=6-k「?,關于x的方程2—二=1無解，，原方程有增根,???x-2=0,

x—2x—2

即6-k-2=0,k=4.

19.解：⑴設該企業(yè)甲類生產線有x條，則乙類生產線有(30-x)條.

根據(jù)題意彳導3x+2(30-x)=70,

解得x=10,

貝!]30-x=20.

答：該企業(yè)甲類生產線有10條，乙類生產線有20條;

(2)設購買更新1條甲類生產線的設備為m萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為(m-5)萬元.

根據(jù)題意，得管=180

771-5’

解得m=50,

經檢驗,m=50是分式方程的解，且符合題意，則m-5=45,

則還需要更新設備費用為10x50+20x45-70=1330(萬元)，

答：該企業(yè)還需投入1330萬元資金更新生產線的設備.

20.D【解析】設B型機器人每小時搬運x千克化工原料，則A型機器人每小時搬運(x+30)千克化工原料,

根據(jù)題意，得瑞=第,解得x=60,經檢驗,x=60是原分式方程的解，且符合題意,.1.x+30=90'：.A型機器人每小

時搬運90千克化工原料，B型機器人每小時搬運60千克化工原料.

21.D【解析】設江水的流速為xkm/h,根據(jù)題意可得：辭=券，解得x=8，經檢驗x=8是分式方程的解，且

40+x40-%

符合題意，.?.江水的流速為8km/h.

22.解：設D型車的平均速度是x千米/小時，則C型車的平均速度是3x千米/小時.

根據(jù)題意得亭-蒙=2,

解得x=100,

經檢驗，x=100是分式方程的解,且符合題意.

答：D型車的平均速度是100千米/小時.

23.解：設一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦.時，則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為(2x-32)千瓦時

根據(jù)題意得160009600

2X-32x

解得x=96,

經檢驗，x=96是分式方程的解，且符合題意,

2x-32=2x96-32=160(千瓦?時).

答：一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦.時.

24.C【解析】根據(jù)題意得，a2-2a-1,解得a=1+42,-：a>0,a=a+1.

解題技巧

根據(jù)錯誤與正確的答案差值，列出對應的式子求解，再根據(jù)正數(shù)的范圍確定a的值.

25.3【解析】由題意得y2=%,將其代入x2-3y2+x-3=0狷x2-3x+x-3=0,,整理得x2-2x-3

=0,,解得*=-1或3,x=y2,.'.x>0,.\x=3.

26.解:⑴解方程可化為：(x-l)(x-3)=0,解得%!=l,x2=3;

(2);?直角三角形的兩邊長分別是⑴中方程的根，，分三種情況討論：

①當兩根均為直角三角形的直角邊時，第三邊的長為=V10;

②當1為直角邊邊長，3為斜邊邊長時，第三邊的長為后』=2V2;

③當1為斜邊邊長，3為直角邊邊長時，不符合實際，舍去.

綜上所述，當直角三角形的兩邊長分別是⑴中方程的根時，第三邊的長為VTU或2V2

27.2【解析】將x=l代入一元二次方程得，l-3+a=0,解得a=2.

28.-4【解析】將x=m代入方程可得m2+4m-1—0,即m2+4m=L則((m+5)(m-1)=m2+4m—5

=1—5=-4

29.D【解析】％△=(-6)2-4X1X0=36>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；B

.△=02-4xlx(-9)=36>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；C.A=(-6>-4X1X6=12>0,該

方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；D.△=(-6)2-4X1X9=0,該方程有兩個相等實數(shù)根，故D

選項符合題意.

30.A【解析】?1?,b2-4ac=m2-4x1x(-2)=+8>0?.方程有兩個不相等的實數(shù)根.

31.c>l【解析】:一元二次方程x2-2x+c=。無實數(shù)根，,b2-4ac=(-2)2-4c<0,解得c>l.

32.解：(1)??,原方程有兩個不相等的實數(shù)根，

(-2k)2—4x1x(fc2—fc+1)=4k2-4fc2+4k—4=4k—4>0.

解得k>l;

(2)Vl<k<5,

???整數(shù)k的值為2,3,4.

當k=2時，方程為/_4%+3=0,解得與=l,x2=3.

當k=3或4時，此時方程的解不為整數(shù).

綜上所述，k的值為2.

2?

(3)由題可知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根,J由⑴知k>l,且/+牝=2k,xr-x2=k-k+1,,?若選

22

擇①廁x1+x2=2k=k-3,整理得k-2k-3=0,解得kr=3,七=-1(舍去);若選擇②，則xt?&=1-k+1

=7,整理得k2-k-6=0,解得卜]=3此=-2(舍去)，綜上可知，選①或②k的值都為3.

33.B【解析】令原來方程的兩個根分別為Xi,X2,,?,小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根

?

是6和I,，/=6+1=7,又.,小冬寫錯了一次項的系數(shù),因而得到方程的兩個根是-2和-5,「.Xix2=10,6