第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《閱讀理解題常考熱點解答題》專項檢測卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．閱讀理解：定義：若一個方程（組）的解也是一個不等式（組）的解，我們稱這個方程（組）的解是這個不等式（組）的“友好解”．例如，方程的解是，同時也是不等式的解，則稱方程的解是不等式的“友好解”．(1)試判斷方程的解是不是不等式的“友好解”？（

）A．是

B．不是(2)若關于、的方程組的解是不等式的“友好解”，求的取值范圍；(3)當時，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整數值．2．閱讀理解：分組分解法是分解因式的重要方法之一．請仔細閱讀以下式子的分解因式：根據以上三種分組方法進行因式分解的啟發(fā)，完成以下題目：(1)分解因式：；(2)分解因式：．3．【閱讀理解】兩條平行線間的拐點問題經常可以通過作一條直線的平行線進行轉化．例如：如圖，直線，求證：（1）閱讀下面的解答過程，并填上適當的理由解：過點作直線，已知，，【方法運用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．4．閱讀理解，補全證明過程及推理依據．如圖，點分別在上，，于點，，求證：．證明：（______），（______），（______），（已知），（______），（已知），______（______）（______）（______）．5．閱讀理解：我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，如圖1，在四邊形中，，，，分別是邊，，，的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形．(1)（填空）判斷圖1中的中點四邊形的形狀為______，菱形的中點四邊形的形狀是______；(2)如圖2，在四邊形中，點在上且和為等邊三角形，，，，分別為，，，的中點，試判斷四邊形的形狀并證明．(3)若四邊形的中點四邊形為正方形，的最小值為4，求的長．6．課題學習：平行線的“等角轉化”功能．閱讀理解：（1）如圖1，已知點A是外一點，連接，求的度數．閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作，_______，，，．運用猜想：（2）如圖2，已知，請直接寫出的度數：_______；拓展探究：（3）已知，點A、B在上，C、D在上，且點C在點D的右側，，平分，平分，所在的直線交于點E，點E在直線與之間．①如圖3，點B在點A的左側，若，求的度數．②如圖4，若，，時，請將圖形補充完整，并求度數．（用含n的代數式表示）7．已知直線，直線分別與、相交于、．【閱讀理解】（1）如圖1，、分別平分和，求證：．請在下面的括號里填寫相應的依據．解：、分別平分和，可設，（），，（），．又，．，即．【推廣應用】（2）如圖2，點在射線上，點在射線上，、分別平分和，若，，請模仿（1）設元的方法，求和的度數．【拓展提升】（3）如圖3，點在線段上，點是直線上的動點（不與重合），、分別平分和，設，請直接用含的代數式表示的度數．8．【閱讀理解】小明用了如下的方法計算出的值．如圖1，在中，，作線段的垂直平分線交于點，連接，則，．設，則，．【拓展應用】如圖2，矩形為某建筑物的主視圖，小麗在該建筑物的右側點處用地面測角儀（忽略其高度，下同）測得頂點的仰角為，由于某個原因，的長度無法測量，于是小麗又到它的左側點處測得頂點的仰角為，同時測得的長度為5米．(1)請模仿小明的方法，求出的值；(2)求出建筑物的高度．參考數據：，，．9．【閱讀理解】在中，，過點B、C分別作l的垂線，垂足分別為點D．(1)特例體驗，如圖①，若直線，，則線段_____，_____，_____；(2)規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉a，則線段和的數量關系為_____．（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉α，與線段相交于點H，請?zhí)骄烤€段和的數量關系并說明理由；(3)嘗試應用：在圖③中，延長線段交線段于點F，若，求的長．10．閱讀理解：材料一：對于線段和點，定義：若，則稱點為線段的“等距點”；特別地，若且，則稱點是線段的“完美等距點”．材料二：在平面直角坐標系中，我們通常用下面的公式求兩點間的距離，如果，，那么．解決問題：如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點是直線上一動點．(1)已知3個點：，則這三點中，線段的“等距點”是________，線段的“完美等距點”是________；(2)若，點在軸上，且是線段的“等距點”，求點的坐標；(3)當，是否存在這樣的點，使點是線段的“等距點”，也是線段的“完美等距點”？若存在，請直接寫出所有符合的點的坐標；若不存在，請說明理由．11．【閱讀理解】在平面直角坐標系中，我們把橫，縱坐標相等的點叫做“不動點”，例如，都是“不動點”．【遷移應用】在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線表達式及拋物線上“不動點”的坐標；(2)如圖，將拋物線沿直線折疊得到新的圖象，若恰好有個“不動點”，求的值；(3)如圖，點為“不動點”，點是拋物線上的點，試探究：在第一象限是否存在這樣的點，，使？若存在，求出所有符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．12．【閱讀理解】定義：在同一平面內，有不在同一直線上的三點A、B、C，連接，設，，則我們把稱為點A到點C關于點B的“度比坐標”，把稱為點C到點A關于點B的“度比坐標”．【遷移運用】如圖，在y軸的右側，直角繞原點O按順時針方向旋轉，的兩邊分別與函數，的圖象交于A，B兩點．(1)如圖1，若點A到點B關于點O的“度比坐標”為，求雙曲線的解析式；(2)如圖2，若點A到點B關于點O的“度比坐標”為，連接交x軸于點C，點C到點A關于點O的“度比坐標”為，；①點D在第一象限，點D到點A關于點O的“度比坐標”為，連接，求m的值及四邊形的面積；②將直線向右平移，分別交于點E，交于點F，問：是否存在某一位置使？若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．13．閱讀理解：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點是的中點，則從點向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖1，在上截取，連接，，，．是的中點，．任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖2，已知等腰三角形內接于，，，點為上一點，，于點，求的周長．14．閱讀理解：(1)【學習心得】小趙同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．我們把這個過程稱為“化隱圓為顯圓”．這類題目主要是兩種類型．①類型一，“定點+定長”：如圖1，在中，，，D是外一點，且，求的度數．解：若以點A（定點）為圓心，（定長）為半徑作輔助圓，則點C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到_____；②類型二，“定角+定弦”：如圖，中，，，，P是內部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為_______；(2)【問題解決】如圖3，在矩形中，已知，，點P是邊上一動點（點P不與B，C重合），連接，作點B關于直線的對稱點M，則線段的最小值為________；(3)【問題拓展】如圖4，在正方形中，，動點E，F分別在邊上移動，且滿足．連接和，交于點P．點E從點D開始運動到點C時，點P也隨之運動，請直接寫出點P的運動路徑長．15．【閱讀理解】某市電力公司對居民用電設定如下兩種收費方式：方式一：“分檔”計算電費（見表一），按電量先計算第一檔，超過的部分再計算第二檔，依次類推，最后求和即為總電費；方式二：“分檔+分時”計算電費（見表一、表二），即總電費等于“分檔電費、峰時段增加的電費、谷時段減少的電費的總和”．表一：分檔電價居民用電分格用電量（度）電價（元/度）第一檔0.5第二檔0.55第三檔0.8表二：分時電價峰時段電價差領（元/段）峰時段（08：00-22：00）（每度電在各檔電價基礎上加價0.03元）谷時段（22：00-次日08：00）（每度電在各占電價基礎上降低0.2元）如：某用戶該月用電總量500度，其中峰時段用電量300度，谷時段用電量200度，若該用戶選擇方式二繳費，則總電費為：（元）．【問題解決】已知小明家4月份的月用電量相當于全年的平均月用電量，現從他家4月份的日用電量數據中隨機抽取7天作為樣本，制作成如圖表：(1)若從上述樣本中隨機抽取一天，求所抽取的日用電量為15度以上的概率；(2)若每月按30天計，請通過樣本數據計算月用電費，幫小明決定選擇哪一種方式繳費合算？日用電量峰點占比統(tǒng)計表編號A1A2A3A4A5A6A7每日峰時段用電量占比注：每日峰時段用電量占比=參考答案1．(1)A(2)(3)4【分析】本題考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根據方程組的解的情況，求參數的范圍，掌握“友好解”的定義，是解題的關鍵：（1）求出方程的解，不等式的解集，根據“友好解”的定義，判斷即可；（2）兩個方程相減后，結合不等式，得到關于k的不等式，求解即可；（3）求出方程的解，不等式的解集，根據“友好解”的定義，求出m的范圍，進而求出m的最小整數值即可．【詳解】（1）解：解得，解得，∴方程的解是同時也是不等式的解，∴是“友好解”，故選A．（2）解，得，∵關于、的方程組的解是不等式的“友好解”，∴解得．（3）由，得，解得．由得∵方程的解是不等式的“友好解”∴，解得，∴的最小整數值為42．(1)；(2)．【分析】本題考查了公式法因式分解法和分組分解法的應用，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）仿照進行分解即可；（）仿照進行分解即可；【詳解】（1）解：；（2）解：．3．（1）見解析；（2）【分析】本題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵．（1）根據平行線的判定與性質求解即可；（2）根據（1）的方法過點作直線，進而根據平行線的判定與性質求解即可．【詳解】（1）解：過點作直線，兩直線平行，內錯角相等已知，，平行于同一條直線的兩條直線平行兩直線平行，內錯角相等（2）解：過點作直線，，，，，，，，°．4．已知；垂直的定義；直角三角形的兩個銳角互余；同角的余角相等；；兩直線平行，內錯角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行【分析】先證明，進而證明，由平行線的性質得到，則，即可證明．【詳解】證明：（已知），（垂直的定義），（直角三角形的兩個銳角互余），（已知），（同角的余角相等），（已知），（兩直線平行，內錯角相等），（等量代換），（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；垂直的定義；直角三角形的兩個銳角互余；同角的余角相等；；兩直線平行，內錯角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，垂直的定義，同角的余角相等，直角三角形的兩個銳角互余，靈活運用所學知識是解題的關鍵．5．(1)平行四邊形；矩形(2)菱形，證明見解析(3)【分析】（1）連接，由三角形中位線定理可推出，則可證明四邊形是平行四邊形；同理可證明四邊形為平行四邊形，由菱形的性質得到，則，即可證明平行四邊形為矩形（2）連接、，由等邊三角形的性質得出，，，證出，由證明，得出，由三角形中位線定理得出，，，，，得出，，證出四邊形是平行四邊形；再得出，即可得出結論；（3）連接交于O，連接，當點O在上（即M、O、N共線）時，最小，最小值為的長，再證明即可求得答案．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵，，，分別是邊，，，的中點，∴分別是的中位線，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；如圖，四邊形是菱形時，連接各邊中點，得到四邊形，根據中位線性質得到，，∴，同理可得，∴四邊形為平行四邊形，又∵四邊形是菱形，∴，則，∴平行四邊形為矩形；（2）解：四邊形為菱形．證明如下：連接，，如圖2所示：∵和為等邊三角形，，，，∴，，在和中，，，，，，，分別是邊，，，的中點，是的中位線，是的中位線，是的中位線，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；，，四邊形為菱形；（3）解：如圖3，連接交于O，連接、，當點O在上（即M、O、N共線）時，最小，最小值為的長，∴的最小值，∵四邊形是正方形，∴，∵M，E分別是的中點，∴，同理可得，∴；又∵M，N分別是的中點，∴，，∴，∴的最小值，同理可得的最小值，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∵N，F分別是的中點，∴，∴；∴，∴．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，利用前面得出的結論解決新問題是解題的關鍵．6．（1）；；（2）；（3）①；②補全圖形見解析，【分析】（1）由“兩直線平行，內錯角相等”可得結果；（2）過作，利用“兩直線平行，同旁內角互補”可以求得結果；（3）①過作，利用角平分線的概念求得，，再利用“兩直線平行，內錯角相等”導角即可；②過作，利用角平分線的概念求得，，再利用平行線的性質求角即可．【詳解】解：（1），，（兩直線平行，內錯角相等）；故答案為：；；（2）過作，，，，，，，，故答案為：；（3）①過作，，，，平分，，，平分，，，，；②如圖，過作，，，，平分，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質、平行線的傳遞性以及角平分線的概念，作出輔助線構造平行線導角是解決本題的關鍵．7．（1）角平分線的定義；兩直線平行，同旁內角互補（2），（3）或【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，外角的性質，三角形內角和定理．（1）根據角平分線的定義和平行線的性質可得答案；（2）先由外角的性質得，由角平分線的定義得，再由平行線的性質得，由外角的性質得，最后由角平分線的定義得；（3）分兩種情況討論：當點在點的右邊時；當點在點的左邊時，畫出圖形分別求解即可．【詳解】解：（1）、分別平分和，可設，（角平分線的定義），，（兩直線平行，同旁內角互補），．又，，，即．故答案為：角平分線的定義；兩直線平行，同旁內角互補；（2）∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴；（3）分以下兩種情況：當點在點的右邊時，如圖3所示：∵、分別平分和，∴可設，，∵，∴，∴，∵，∴；當點在點的左邊時，如圖所示：∵、分別平分和，∴可設，，∴，∴，∵，∴；綜上所述：的度數為或．8．(1)(2)米【分析】本題考查了有關仰俯角的解直角三角形的實際應用，涉及勾股定理，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識點，難度較大，解題的關鍵在于添加輔助線．（1）作，連接，作的垂直平分線交于點，連接，則四邊形是平行四邊形，由線段垂直平分線的性質以及三角形的外角定理得到，由，設，則，設，在中，由勾股定理得，解得：，由即可求解；（2）設，作的垂直平分線交于點，連接，則導角可得，設，在中由勾股定理得到，解得：，可得，再由即可求解．【詳解】（1）解：如圖，作，連接，作的垂直平分線交于點，連接，由題意得：，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵的垂直平分線交于點，∴，∴，∴，由題意得：，∵，∴設，則，設，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴；（2）解：∵，∴設，作的垂直平分線交于點，連接，則，∴，∴，設，在中，，∴，解得：，∵，∴，∴，答：建筑物的高度為米．9．(1)1，1，2；(2)（Ⅰ）；（Ⅱ），理由見解析；(3)．【分析】本題主要考查了直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、正切的定義等知識點；靈活運用相關性質是解題的關鍵．（1）由等腰直角三角形及平行線的性質可得，然后根據等腰三角形的性質即可解答；（2）（Ⅰ）先根據即可得出，然后根據全等三角形的性質及線段的和差即可解答；（Ⅱ）方法同（Ⅰ）；（3）先求得，再根據正切的定義和勾股定理可得，再代入即可解答．【詳解】（1）解：在中，，∴，∵直線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：1，1，2；（2）解：（Ⅰ），理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（Ⅱ），理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：由（2）知；∵，∴，∴，在中，，∴，∴．10．(1)和；(2)或(3)或【分析】本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，靈活應用兩點之間的距離公式和勾股定理是解題的關鍵．（1）依據兩點之間的距離公式分別計算各點到O，A的距離，根據等距點和完美等距點做出判斷；（2）設出H點的坐標，根據等距點的定義，利用兩點之間的距離公式列出方程可得結論；（3）假定存在，設出N點的坐標，根據等距點的定義，利用兩點之間的距離公式列出方程可得結論，【詳解】（1）解：∵，，∴，∴B為等距點．∵，，∴，∴C為等距點．∵，，∴，∴D不為等距點．∵，∴，，，，∴C為完美等距點，故答案為：B和C；C；（2）在上，，，，，或，設的坐標為，或，，，或，解得：或．的坐標為或；（3）因為是的等距點，設點的坐標為，，為線段的“完美等距點”，，為等腰直角三角形，①如圖1，，，，，，，則，，，解得：，當時，

點的坐標為

②，，，，，，

則，，，解得：，當時，，

點的坐標為，點的坐標為或．11．(1)，，(2)(3)存在，或【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵：（1）待定系數法求出函數解析式，令，求出不動點即可；（2）當直線和折疊的部分拋物線只有一個交點時，滿足題設要求，相當于折疊前拋物線和直線只有一個交點，則直線、關于直線設該直線和軸的交點為對稱，則是的中點，即可求解；（3）分當點在拋物線內部和點在拋物線外部，兩種進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，∴，把代入，得：，∴，∴，當時，，解得：或，∴拋物線上“不動點”的坐標為：，；（2）由題意，設“不動點”所在的直線表達式為：，如圖直線，當直線和折疊的部分拋物線只有一個交點時，滿足題設要求，相當于折疊前拋物線和直線只有一個交點，則直線、關于直線設該直線和軸的交點為對稱，則是的中點，聯立和原拋物線得：，則，則，∴直線，當時，，∴，∵是的中點，∴，把代入，得：；（3）存在，理由：∵，，，∴，，，則，即為直角三角形，且，，∴，，∴，設點，①當點在拋物線內部時，過點作軸，交軸于點，作于點，則：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即：，∵在拋物線上，∴，解得：或（舍去），∴點．②當點在拋物線外部時，同法可得：，∴，解得：或（舍去）；∴；綜上：或．12．(1)(2)①，②【分析】（1）過點A、點B作y軸的垂線，垂足分別為M、N，證明兩個三角形相似，利用相似三角形的性質求出的面積，進而求出比例系數即可；（2）按照（1）的方法求出反比例函數解析式，再求出點C和點A坐標，①根據點D到點A關于點O的“度比坐標”求出點D坐標即可；②根據表示出平移后與反比例函數交點坐標，代入反比例函數解析式即可．【詳解】（1）解：過點A、點B作y軸的垂線，垂足分別為M、N，∴，∵點A到點B關于點O的“度比坐標”為，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵點A在圖象上，∴，∴，∴，，∵，∴，∴反比例函數解析式為．（2）解：∵點A到點B關于點O的“度比坐標”為，∴，，過點A、點B作y軸的垂線，垂足分別為H、G，類似（1）的方法可知，且相似比是1，∴，，∴反比例函數解析式為，∵點C到點A關于點O的“度比坐標”為，∴，∴，∵，∴，，則點A坐標為，點B坐標為，由點A坐標和點B坐標求得直線的解析式為，當時，，，點D在第一象限，點D到點A關于點O的“度比坐標”為，∴，，∴，，過點D作的垂線，垂足為L，∴，∵，∴，，四邊形的面積為，②存在某一位置使；過點E、點F作x軸的垂線，垂足分別為Q、R，因為直線向右平移，分別交于點E，交于點F，所以，設，則，，，，，，，，∴，解得，，（舍去），，所以點E坐標為．【點睛】本題考查了反比例函數和新定義，解題關鍵是準確理解“度比坐標”，熟練運用反比例函數的性質和相似三角形的性質求解．13．(1)見解析；(2)的周長為．【分析】本題主要考查了圓綜合題，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形解決問題．（1）如圖1，在上截取，連接，，，，首先證明，進而得出，再利用等腰三角形的性質得出，即可得出答案；（2）如圖2所示在上截取，首先通過等腰直角三角形利用勾股定理得，再證明，進而得出，以及，