經(jīng)濟數(shù)學(xué)競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\(x>-1\)B.\(x\geq-1\)C.\(x<-1\)D.\(x\leq-1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x\)D.\(2\)4.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x\)D.\(2\)5.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式\(\vertA\vert=\)（）A.-2B.2C.10D.-106.方程組\(\begin{cases}x+y=1\\x-y=3\end{cases}\)的解為（）A.\(x=2,y=-1\)B.\(x=-1,y=2\)C.\(x=1,y=0\)D.\(x=0,y=1\)7.已知隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，則\(P(X\leq0)=\)（）A.0B.0.5C.1D.0.258.函數(shù)\(y=3x+5\)在區(qū)間\([1,3]\)上的定積分\(\int_{1}^{3}(3x+5)dx=\)（）A.22B.24C.26D.289.設(shè)\(A\)、\(B\)為兩個事件，且\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(AB)=0.2\)，則\(P(A\cupB)=\)（）A.0.8B.0.6C.0.4D.0.210.邊際成本函數(shù)\(MC=2x+1\)，當產(chǎn)量\(x=10\)時的邊際成本為（）A.20B.21C.22D.23二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的等價條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.函數(shù)在\(x_0\)處有切線D.函數(shù)在\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)極限存在4.下列積分計算正確的是（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\inte^xdx=e^x+C\)C.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln\vertx\vert+C\)5.關(guān)于矩陣運算，正確的有（）A.\(A+B=B+A\)B.\((AB)C=A(BC)\)C.\(k(A+B)=kA+kB\)D.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)6.線性方程組\(Ax=b\)的解的情況有（）A.有唯一解B.有無窮多解C.無解D.以上都不對7.隨機變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)具有的性質(zhì)有（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.單調(diào)不減8.下列屬于離散型隨機變量的是（）A.某射手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B.某城市一天內(nèi)的交通事故次數(shù)C.某電器的使用壽命D.一袋面粉的重量9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，下列說法正確的是（）A.駐點可能是極值點B.極值點一定是駐點C.拐點處二階導(dǎo)數(shù)為0D.二階導(dǎo)數(shù)為0的點可能是拐點10.經(jīng)濟數(shù)學(xué)中常用的優(yōu)化問題有（）A.利潤最大化B.成本最小化C.產(chǎn)量最大化D.收益最大化三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處連續(xù)。（）2.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點。（）3.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）4.矩陣的乘法滿足交換律。（）5.線性方程組\(Ax=0\)一定有解。（）6.隨機變量的數(shù)學(xué)期望一定存在。（）7.概率為0的事件是不可能事件。（）8.函數(shù)\(y=x^3\)的二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}=6x\)。（）9.邊際收益等于邊際成本時，利潤達到最大。（）10.若\(A\)、\(B\)為互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)極限的定義。答：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)\(\delta\)，使得當\(x\)滿足不等式\(0<\vertx-x_0\vert<\delta\)時，對應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(\vertf(x)-A\vert<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當\(x\tox_0\)時的極限。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)，\(y^\prime>0\)；\(0<x<2\)，\(y^\prime<0\)；\(x>2\)，\(y^\prime>0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。3.簡述矩陣可逆的條件。答：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充分必要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，此時\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^{}\)，\(A^{}\)是\(A\)的伴隨矩陣。4.簡述數(shù)學(xué)期望和方差的意義。答：數(shù)學(xué)期望反映隨機變量取值的平均水平；方差衡量隨機變量取值相對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度，方差越大，取值越分散，方差越小，取值越集中在期望附近。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系。答：若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f^\prime(x)>0\)，則函數(shù)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)<0\)，則函數(shù)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)為判斷函數(shù)單調(diào)性提供了有力工具，可據(jù)此確定函數(shù)增減區(qū)間。2.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩的關(guān)系。答：設(shè)線性方程組\(Ax=b\)，\(r(A)\)為系數(shù)矩陣\(A\)的秩，\(r(\overline{A})\)為增廣矩陣\(\overline{A}\)的秩。當\(r(A)=r(\overline{A})=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）有唯一解；\(r(A)=r(\overline{A})<n\)有無窮多解；\(r(A)\neqr(\overline{A})\)無解。3.討論定積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用。答：定積分在經(jīng)濟學(xué)中可用于計算總成本、總收益、總利潤等。通過邊際函數(shù)積分可得總量函數(shù)。如已知邊際成本函數(shù)，對其在一定產(chǎn)量區(qū)間積分可得該區(qū)間的總成本，為企業(yè)決策提供成本收益分析依據(jù)。4.討論隨機變量獨立性的判定方法及意義。答：判定方法：對于離散型隨機變量，聯(lián)合分布律等于邊緣分布律乘積則獨立；連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合概率密度等于邊緣概率密度乘積則獨立。意義：隨機變量獨立時，可簡化概率計算，分析各變量相互影響程度，在風(fēng)險評估、保險精算等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。答案一、單項選擇題1.A2.