專題06二次函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（5大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念知識(shí)模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系知識(shí)模塊四二次函數(shù)與方程、不等式知識(shí)模塊五二次函數(shù)的應(yīng)用03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大考點(diǎn)）考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系考點(diǎn)三：二次函數(shù)含參問題考點(diǎn)四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化考點(diǎn)五：二次函數(shù)最值考點(diǎn)六：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系考點(diǎn)七：二次函數(shù)與不等式關(guān)系考點(diǎn)八：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)九：二次函數(shù)綜合04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（5大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略題目中的隱含條件易錯(cuò)點(diǎn)二:混淆二次函數(shù)的增減性與一次函數(shù)的增減性易錯(cuò)點(diǎn)三：考慮不全,導(dǎo)致出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)四：求最值時(shí)忽略自變量的取值范圍易錯(cuò)點(diǎn)五：忽略二次函數(shù)圖象中二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)導(dǎo)致出錯(cuò)知識(shí)模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng)。注意：如果已說明該函數(shù)為二次函數(shù),那么隱含條件為a≠0.知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)解析式的確定1.二次函數(shù)常見表達(dá)式名稱解析式適用范圍一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)已知拋物線上的無規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)注意:拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方ax2+bx+c=0的解相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.2.對(duì)未給定二次函數(shù)解析式,根據(jù)所給點(diǎn)坐標(biāo)選擇適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),可設(shè)為y=ax2(2)對(duì)稱軸是y軸(或頂點(diǎn)在y軸上),可設(shè)為y=ax2+c;(3)頂點(diǎn)在x軸上,可設(shè)為y=a(x-h)2;(4)拋物線過原點(diǎn),可設(shè)為y=ax2+bx.知識(shí)模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).注意：二次函數(shù)圖象的畫法(1)依據(jù)解析式列表、描點(diǎn)、連線畫出二次函數(shù)圖象;(2)利用配方法找出函數(shù)圖象頂點(diǎn);利用因式分解法或公式法找出圖象與x軸的交點(diǎn);利用一般式中的c值找出圖象與y軸的交點(diǎn),畫出簡易的函數(shù)圖象.基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(?b2a，最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，當(dāng)x=?b2a時(shí)y有最小值a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，當(dāng)x=?b2a時(shí)時(shí)y有最大值增

減

性a>0在對(duì)稱軸x=?b2a的左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸x=?a<0在對(duì)稱軸x=?b2a的左邊y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸x=?知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象變換1.二次函數(shù)的平移變換總結(jié)：拋物線的平移規(guī)律左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng)”方法一:(1)將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k);保持拋物線y=ax2的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到(h,k)處,方法二:將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移m(m>0)個(gè)單位,得拋物線y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m);(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移m(m>0)個(gè)單位,得拋物線y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)具體平移方法如下:平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號(hào)，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號(hào)知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的對(duì)稱性問題拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求其對(duì)稱軸.解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對(duì)稱.知識(shí)模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系關(guān)系符號(hào)圖象特征a決定拋物線的開口方向a>0開口向上|a|越大，拋物線的開口小．a(chǎn)<0開口向下a、b共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置b=0對(duì)稱軸是y軸ab>0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號(hào)))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．c=0拋物線經(jīng)過原點(diǎn)c>0拋物線與y軸交于正半軸c<0拋物線與y軸交于負(fù)半軸由b2-4ac確定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac=0拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)b2-4ac＜0拋物線與x軸沒有交點(diǎn)注意：當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c;當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c.若a+b+c>0,即當(dāng)x=1時(shí)y>0;若a-b+c<0,即當(dāng)x=-1時(shí),y<0.知識(shí)模塊四二次函數(shù)與方程、不等式知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c=0圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).b2-4ac與0的關(guān)系二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況b2-4ac>02個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=01個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac<00個(gè)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a大于0為例）不等式以a大于0為例圖象觀察方法解集ax2＋bx＋c>0的解集情況函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍x<x1或x>x2ax2＋bx＋c<0的解集情況函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍x1<x<x2知識(shí)模塊五二次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.注意：二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)二：方法技巧總結(jié)1.利用二次函數(shù)解決面積最值：利用圖形面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù),利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出最值，注意解題時(shí)必須結(jié)合自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性確定最值2.拋物線形問題：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題3.銷售利潤問題：根據(jù)“利潤=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))×銷量列出函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值4.利用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題：首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．5.利用二次函數(shù)解決存在性問題：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·安徽馬鞍山·二模）下列函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的值的增大而增大的是（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①②③對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立④若點(diǎn)，在拋物線上，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例5】（2024·貴州遵義·二模）已知函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，．若點(diǎn)在軸下方且時(shí)，則下列正確的是（）A． B．C． D．【典例6】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系【典例1】（2024·山東青島·三模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③m為任意實(shí)數(shù)，則；④；⑤若，且，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【典例2】（2024·湖北武漢·二模）函數(shù)、在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【典例3】（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在，之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有多少個(gè)（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4【典例5】（2024·山東青島·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線，則過點(diǎn)和點(diǎn)的直線一定不經(jīng)過（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例6】（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實(shí)根，，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）①；②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；③；④若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例7】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)三：二次函數(shù)含參問題【典例1】（2024·四川內(nèi)江·二模）若二次函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【典例2】（2024·山東菏澤·一模）若二次函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．無法確定【典例3】（2024·廣東廣州·一模）二次函數(shù)的圖象開口向．【典例4】（2023·浙江嘉興·中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過點(diǎn)，則t的值為多少？(2)當(dāng)時(shí)，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．【典例5】（2024·云南·二模）我們約定：若關(guān)于的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題．(1)若關(guān)于的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求，，的值．(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，，點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．①求函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸．②函數(shù)的圖象是否經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化【典例1】（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個(gè)單位長度后，經(jīng)過點(diǎn)，則．【典例3】（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位長度，所得拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)P、Q，則．【典例4】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個(gè)函數(shù)的圖像向下平移3個(gè)單位長度后得到的圖像經(jīng)過原點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方；③若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個(gè)函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【典例5】（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱．則下列說法正確的序號(hào)為．（少選得1分，錯(cuò)選得0分，選全得滿分）①②當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為3③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式一定成立④Px1,y1，Qx【典例6】（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【典例7】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)若，則_________，通過配方可以將其化成頂點(diǎn)式為_________；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，其中．若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；(3)若，將拋物線向上平移4個(gè)單位得到的新拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E為中點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接，．求證：．【典例8】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測(cè)）如果二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)為的圖象上，同時(shí)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，那么我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”．(1)若二次函數(shù)與二次函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，則_______．(2)如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將二次函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)新的二次函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，且的圖象的頂點(diǎn)為．①求二次函數(shù)的解析式；②點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【典例9】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，將拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，得到拋物線，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，求的值；(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線，分別交拋物線和于點(diǎn)M、N（M、N均不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【典例10】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過B、C、三點(diǎn)，其中，該函數(shù)圖像與x軸交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)D在線段上（與點(diǎn)O、B不重合）．①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則_________；②求t的取值范圍：③求的最大值．【典例11】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)五：二次函數(shù)最值【典例1】（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計(jì)算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說明理由．【典例2】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知在正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點(diǎn)G(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，求的值；(2)如圖2，若，求的長；(3)連接，求的最小值.【典例3】（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．【典例4】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【典例5】（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點(diǎn)E、B分別在邊上（端點(diǎn)除外），邊相交于點(diǎn)G，邊相交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)E是邊的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是________；(2)如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．【典例6】（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí)．【操作發(fā)現(xiàn)】小明作出了的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，然后將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①小明發(fā)現(xiàn)：與的位置關(guān)系是__________，請(qǐng)說明理由：【實(shí)踐探究】連接，與相交于點(diǎn)．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)確定時(shí)，線段的長存在最大值．請(qǐng)求出當(dāng)．時(shí)，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)分線段所成的比與點(diǎn)分線段DE所成的比始終相等．請(qǐng)予以證明．【典例7】（2024·重慶銅梁·一模）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)B，C，與y軸交于點(diǎn)A，其中．(1)求a，b的值；(2)如圖1，連接AB，點(diǎn)P是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作軸，垂足為點(diǎn)E，求的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足在（2）中求出的點(diǎn)P的坐標(biāo)，連接，將該拋物線向右平移，使得新拋物線y′恰好經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，點(diǎn)M是新拋物線上一點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．考點(diǎn)六：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系【典例1】（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【典例3】（2024·寧夏·中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是．【典例4】（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長為．

【典例5】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．素材1：為響應(yīng)全民健身號(hào)召，某校在校運(yùn)會(huì)上開展“8”字長繩比賽．圖1是繩甩到最高處時(shí)的示意圖，可以近似的看作一條拋物線，正在甩繩的甲、乙兩位隊(duì)員拿繩的手間距6米，到地面的距離均為1米．素材2：如圖2，身高為1.5米的小麗站在距點(diǎn)的水平距離為1米的點(diǎn)處，繩子甩到最高處時(shí)剛好通過她的頭頂點(diǎn)．(1)如圖3，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；(2)某班跳繩成員有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，繩子能否順利從每位跳繩成員頭頂越過？請(qǐng)說明理由．(3)身高為1.6米的跳繩成員至少站在離搖繩同學(xué)多遠(yuǎn)的地方，才能讓繩子順利從頭上越過？【典例6】（2024·云南昆明·一模）已知拋物線(1)求證：拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，求AB的長．【典例7】（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)________；(2)如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．①當(dāng)，且時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），過點(diǎn)P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點(diǎn)Q，連接．若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【典例8】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)求證：不論a為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的最大值與最小值之差為9，求此時(shí)函數(shù)的解析式；(3)若二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為直線，該函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l（直線l不過兩點(diǎn)）與二次函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)P．①求證：點(diǎn)P在一條定直線上；②若，請(qǐng)直接寫出滿足條件的直線l的解析式，不必說明理由．考點(diǎn)七：二次函數(shù)與不等式關(guān)系【典例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；③當(dāng)x>1時(shí)，隨的增大而減?。虎荜P(guān)于的一元二次方程的另一個(gè)根是；⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川眉山·二模）若拋物線經(jīng)過和兩點(diǎn)，開口向上，且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是．【典例3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，且），（1）若點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，則a的值為；（2）當(dāng)時(shí)，若，則函數(shù)值y的取值范圍是．【典例4】（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．考點(diǎn)八：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后停止，連接．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，為．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻，分別對(duì)應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④【典例2】（2024·黑龍江大慶·中考真題）“爾濱”火了，帶動(dòng)了黑龍江省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，農(nóng)副產(chǎn)品也隨之暢銷全國．某村民在網(wǎng)上直播推銷某種農(nóng)副產(chǎn)品，在試銷售的天中，第天且為整數(shù))的售價(jià)為(元千克)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．銷量(千克)與的函數(shù)關(guān)系式為，已知該產(chǎn)品第10天的售價(jià)為元千克，第天的售價(jià)為元千克，設(shè)第天的銷售額為(元)．(1)，_____；(2)寫出第天的銷售額與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求在試銷售的天中，共有多少天銷售額超過元？【典例3】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，灑水車沿著平行于公路路牙方向行駛，噴水口離地面豎直高度為．如圖②，可以把灑水車噴出水的內(nèi)、外邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．內(nèi)邊緣拋物線是由外邊緣拋物線向左平移得到，外邊緣拋物線的最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口．(1)求外邊緣拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求內(nèi)邊緣拋物線與軸的正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)要使灑水車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求的取值范圍．【典例4】（2024·甘肅蘭州·中考真題）在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離0341015202227豎直高度03.244.168987.043.24(1)根據(jù)上表，請(qǐng)確定拋物線的表達(dá)式；(2)請(qǐng)計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度．【典例5】（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)E在纜索上，，且，，求的長．【典例6】（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長為x(單位：m)，與墻平行的一邊長為y(單位：m)，面積為S(單位：)．(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；(2)矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．(3)當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？考點(diǎn)九：二次函數(shù)綜合【典例1】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為0、4．P為二次函數(shù)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線的下方，連接、．(1)求b、c的值；(2)求的面積的最大值．【典例2】（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線l．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖（乙），設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)M作交直線l于點(diǎn)N．若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【典例3】（2024·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，連接，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．記、、的面積分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．【典例4】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為；拋物線，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖像上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最小值．【典例5】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．【典例6】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)為AB中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點(diǎn)．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，且，求證：，，三點(diǎn)共線；②若直線AD，交于點(diǎn)，則無論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．【典例7】（2024·山東淄博·中考真題）如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其中，是方程的兩個(gè)根，拋物線與軸相交于點(diǎn)．(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知直線與，軸分別相交于點(diǎn)，．①設(shè)直線與相交于點(diǎn)，問在第三象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；②過拋物線上一點(diǎn)作直線的平行線．與拋物線相交于另一點(diǎn)．設(shè)直線，相交于點(diǎn)．連接，．求線段的最小值．易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略題目中的隱含條件1.如果函數(shù)y=k?3xk2?3k+2易錯(cuò)點(diǎn)二:混淆二次函數(shù)的增減性與一次函數(shù)的增減性2.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A則A.y易錯(cuò)點(diǎn)三：考慮不全,導(dǎo)致出錯(cuò)3.已知二次函數(shù)y=aA.3

B.?1

C.4

D.4或?1易錯(cuò)點(diǎn)四：求最值時(shí)忽略自變量的取值范圍4.已知0≤x≤2,則函數(shù)y=

A.有最小值C.有最小值1,有最大值7

D.無最小值也無最大值易錯(cuò)點(diǎn)五：忽略二次函數(shù)圖象中二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)導(dǎo)致出錯(cuò)5.已知二次函數(shù)y=ax2

專題06二次函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（5大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念知識(shí)模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系知識(shí)模塊四二次函數(shù)與方程、不等式知識(shí)模塊五二次函數(shù)的應(yīng)用03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大考點(diǎn)）考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系考點(diǎn)三：二次函數(shù)含參問題考點(diǎn)四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化考點(diǎn)五：二次函數(shù)最值考點(diǎn)六：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系考點(diǎn)七：二次函數(shù)與不等式關(guān)系考點(diǎn)八：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)九：二次函數(shù)綜合04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（5大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略題目中的隱含條件易錯(cuò)點(diǎn)二:混淆二次函數(shù)的增減性與一次函數(shù)的增減性易錯(cuò)點(diǎn)三：考慮不全,導(dǎo)致出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)四：求最值時(shí)忽略自變量的取值范圍易錯(cuò)點(diǎn)五：忽略二次函數(shù)圖象中二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)導(dǎo)致出錯(cuò)知識(shí)模塊一：二次函數(shù)的相關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng)。注意：如果已說明該函數(shù)為二次函數(shù),那么隱含條件為a≠0.知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)解析式的確定1.二次函數(shù)常見表達(dá)式名稱解析式適用范圍一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)已知拋物線上的無規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)注意:拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方ax2+bx+c=0的解相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.2.對(duì)未給定二次函數(shù)解析式,根據(jù)所給點(diǎn)坐標(biāo)選擇適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),可設(shè)為y=ax2(2)對(duì)稱軸是y軸(或頂點(diǎn)在y軸上),可設(shè)為y=ax2+c;(3)頂點(diǎn)在x軸上,可設(shè)為y=a(x-h)2;(4)拋物線過原點(diǎn),可設(shè)為y=ax2+bx.知識(shí)模塊二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).注意：二次函數(shù)圖象的畫法(1)依據(jù)解析式列表、描點(diǎn)、連線畫出二次函數(shù)圖象;(2)利用配方法找出函數(shù)圖象頂點(diǎn);利用因式分解法或公式法找出圖象與x軸的交點(diǎn);利用一般式中的c值找出圖象與y軸的交點(diǎn),畫出簡易的函數(shù)圖象.基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(?b2a，最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，當(dāng)x=?b2a時(shí)y有最小值a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，當(dāng)x=?b2a時(shí)時(shí)y有最大值增

減

性a>0在對(duì)稱軸x=?b2a的左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸x=?a<0在對(duì)稱軸x=?b2a的左邊y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸x=?知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象變換1.二次函數(shù)的平移變換總結(jié)：拋物線的平移規(guī)律左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng)”方法一:(1)將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k);保持拋物線y=ax2的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到(h,k)處,方法二:將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移m(m>0)個(gè)單位,得拋物線y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m);(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移m(m>0)個(gè)單位,得拋物線y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)具體平移方法如下:平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號(hào)，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號(hào)知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的對(duì)稱性問題拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求其對(duì)稱軸.解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對(duì)稱.知識(shí)模塊三二次函數(shù)與a，b，c之間的關(guān)系關(guān)系符號(hào)圖象特征a決定拋物線的開口方向a>0開口向上|a|越大，拋物線的開口小．a(chǎn)<0開口向下a、b共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置b=0對(duì)稱軸是y軸ab>0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號(hào)))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．c=0拋物線經(jīng)過原點(diǎn)c>0拋物線與y軸交于正半軸c<0拋物線與y軸交于負(fù)半軸由b2-4ac確定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac=0拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)b2-4ac＜0拋物線與x軸沒有交點(diǎn)注意：當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c;當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c.若a+b+c>0,即當(dāng)x=1時(shí)y>0;若a-b+c<0,即當(dāng)x=-1時(shí),y<0.知識(shí)模塊四二次函數(shù)與方程、不等式知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c=0圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).b2-4ac與0的關(guān)系二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況b2-4ac>02個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=01個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac<00個(gè)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a大于0為例）不等式以a大于0為例圖象觀察方法解集ax2＋bx＋c>0的解集情況函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍x<x1或x>x2ax2＋bx＋c<0的解集情況函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍x1<x<x2知識(shí)模塊五二次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.注意：二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)二：方法技巧總結(jié)1.利用二次函數(shù)解決面積最值：利用圖形面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù),利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出最值，注意解題時(shí)必須結(jié)合自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性確定最值2.拋物線形問題：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題3.銷售利潤問題：根據(jù)“利潤=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))×銷量列出函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值4.利用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題：首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．5.利用二次函數(shù)解決存在性問題：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點(diǎn)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移2個(gè)單位后，則拋物線變?yōu)椋嗷身旤c(diǎn)式則為，故選：A．【典例2】（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對(duì)稱軸為直線，該二次函數(shù)上所有的點(diǎn)滿足離對(duì)稱軸的距離越近，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也就越小，∵，，，而，，，∴點(diǎn)離對(duì)稱軸最近，點(diǎn)離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，∴；故選：D．【典例3】（2024·安徽馬鞍山·二模）下列函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的值的增大而增大的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性，對(duì)于一次函數(shù)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)大于0時(shí)，則y隨x的值的增大而增大，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，則y隨x的值的增大而減小，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)當(dāng)二次系數(shù)大于0時(shí)，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的值的增大而增大，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的值的增大而減小，當(dāng)二次系數(shù)小于0時(shí)，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的值的增大而減小，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的值的增大而增大，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、由于，則當(dāng)時(shí)，y隨x的值的增大而減小，不符合題意；B、由于，則當(dāng)時(shí)，y隨x的值的增大而增大，符合題意；C、由于，對(duì)稱軸為直線x=?1，則當(dāng)時(shí)，y隨x的值的增大而減小，不符合題意；D、由于，對(duì)稱軸為直線x=1，則當(dāng)時(shí)，y隨x的值的增大而增大，當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的值的增大而減小，不符合題意；故選：B．【典例4】（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①②③對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立④若點(diǎn)，在拋物線上，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號(hào)，由圖象可得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，即可得出，，，從而求出，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，計(jì)算即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，即可判斷③；根據(jù)即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，∴，，，∴，∴，故①正確；∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，由得：，∵，∴，∴，即，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，由圖象可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立，故③正確；∵點(diǎn)，在拋物線上，且，∴，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①③，共個(gè)，故選：B．【典例5】（2024·貴州遵義·二模）已知函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，．若點(diǎn)在軸下方且時(shí)，則下列正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．先畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象即可得．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象得，；故選：A．【典例6】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明．可得，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進(jìn)而可以求解判斷即可．【詳解】解：如圖，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，，．，，，設(shè)，則，，，，，．又，，，．．．．點(diǎn)、在軸的同側(cè)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，．．故選：B．考點(diǎn)二：判斷二次函數(shù)圖象a，b，c之間的關(guān)系【典例1】（2024·山東青島·三模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③m為任意實(shí)數(shù)，則；④；⑤若，且，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．根據(jù)圖象正確的獲取信息，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)開口方向，對(duì)稱軸，與軸的交點(diǎn)位置，進(jìn)行判斷；②利用對(duì)稱軸進(jìn)行判斷；③利用最值進(jìn)行判斷；④根據(jù)對(duì)稱性和圖象上的點(diǎn)，進(jìn)行判斷；⑤利用對(duì)稱性進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向上，則，∵對(duì)稱軸為直線，則，∴，故②正確拋物線與軸交于負(fù)半軸，則，∴，故①錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，取得小值，∴，當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)，則，故③正確，④∵拋物線關(guān)于對(duì)稱，∴和的函數(shù)值相同，即：，由圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于0，∴，故④正確；⑤當(dāng)關(guān)于對(duì)稱時(shí)：即：時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，即：，∴∴若，且，則；故⑤正確；綜上所述，正確的是②③④⑤，共4個(gè)，故選：C．【典例2】（2024·湖北武漢·二模）函數(shù)、在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的識(shí)別是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、與y軸的交點(diǎn)位置以及對(duì)稱軸的位置進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖象知，函數(shù)和函數(shù)的開口都向上，所以函數(shù)的開口一定向上，故C選項(xiàng)不符合題意；由圖象知，函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，函數(shù)的對(duì)稱軸也在y軸的右側(cè)，所以，函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸也在y軸的右側(cè)，故選項(xiàng)D不符合題意；函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且前者的絕對(duì)值小于后者的絕對(duì)值，所以，函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸相交，故選項(xiàng)A不符合題意，選項(xiàng)B符合題意．故選：B．【典例3】（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意列不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，∴的取值范圍是，故選：C．【典例4】（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在，之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有多少個(gè)（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸和一個(gè)交點(diǎn)求得另一個(gè)交點(diǎn)為，即可判斷②錯(cuò)誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點(diǎn)，即可判斷④正確．【詳解】解：由圖可知，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，，則，∵拋物線與軸的交點(diǎn)在，之間，∴，則，故①錯(cuò)誤；設(shè)拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)，∵對(duì)稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，解得，則，故②錯(cuò)誤；∵，，，∴，解得，故③正確；根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)和，直線過點(diǎn)和0,1，如圖，方程兩根為滿足，故④正確；故選：B．【典例5】（2024·山東青島·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線，則過點(diǎn)和點(diǎn)的直線一定不經(jīng)過（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，根據(jù)二次函數(shù)與y軸交于y軸的正半軸得到，根據(jù)對(duì)稱軸計(jì)算公式得到，即，則在x軸正半軸上；由二次函數(shù)頂點(diǎn)在第二象限，得到當(dāng)時(shí)，，再由二次函數(shù)與x軸無交點(diǎn)，得到，則點(diǎn)在第二象限，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)與y軸交于y軸的正半軸，∴，∵對(duì)稱軸是直線，∴，∴，∴，∴在x軸正半軸上；∵二次函數(shù)頂點(diǎn)在第二象限，∴當(dāng)時(shí)，，∵二次函數(shù)與x軸無交點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)在第二象限，∴經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線一定經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故選：C．【典例6】（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實(shí)根，，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）①；②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；③；④若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、拋物線與軸的交點(diǎn)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，由有兩實(shí)根，，可得，即可得，故可判斷①又拋物線的對(duì)稱軸是直線，進(jìn)而拋物線的頂點(diǎn)為c)，再結(jié)合，可得，故可判斷②；依據(jù)題意可得，又，進(jìn)而可得，從而可以判斷③；由，故，即對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，再結(jié)合，拋物線的對(duì)稱軸是直線，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：由題意，∵有兩實(shí)根，．∴得，．∴，故①正確．，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線．∴拋物線的頂點(diǎn)為．又，∴，即．∴．∴．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故②正確．∵，∴．又，，∴，故③錯(cuò)誤．，，∴對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．∵，拋物線的對(duì)稱軸是直線，又此時(shí)拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，，，∴，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的有①②共2個(gè)．故選：B．【典例7】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)圖像分別判斷，，的符號(hào)即可；②將點(diǎn)代入函數(shù)即可得到答案；③根據(jù)題意可得該函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，即可得到；④由，得到，，將代入函數(shù)得，從而推出當(dāng)時(shí)，該拋物線與直線的圖象無交點(diǎn)，即可判斷．【詳解】解：由題圖可知，，，故①正確；當(dāng)時(shí)，，即，故②正確；二次函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，多項(xiàng)式，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有最大值，即，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線的圖象無交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根，故④正確．綜上，①②④正確．故選：C．考點(diǎn)三：二次函數(shù)含參問題【典例1】（2024·四川內(nèi)江·二模）若二次函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的定義等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．由題意知，，令，則，由二次函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，可得，計(jì)算求解，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，，令，則，∵二次函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，∴，解得，，∴的取值范圍是且，故選：D．【典例2】（2024·山東菏澤·一模）若二次函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．無法確定【答案】B【分析】此題考查二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，這是容易出錯(cuò)的地方．由題意二次函數(shù)的解析式為：知，則，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，把代入二次函數(shù)，解出的值．【詳解】解：二次函數(shù)的解析式為：，∴，，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，，或，∵，．故選：B．【典例3】（2024·廣東廣州·一模）二次函數(shù)的圖象開口向．【答案】下【分析】本題考查二次函數(shù)的定義及性質(zhì)，先根據(jù)二次函數(shù)的定義求出解析式，再判斷開口方向即可．【詳解】∵為二次函數(shù)，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，∵，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下．故答案為：下．【典例4】（2023·浙江嘉興·中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過點(diǎn)，則t的值為多少？(2)當(dāng)時(shí)，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將坐標(biāo)代入解析式，求解待定參數(shù)值；（2）確定拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)待定參數(shù)分類討論，分，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，以及，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，求得相應(yīng)的t值即可得；（3）由關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得，且A在對(duì)稱軸左側(cè)，C在對(duì)稱軸右側(cè)；確定拋物線與y軸交點(diǎn)，此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合已知確定出；再分類討論：A，B都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，A，B分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，分別列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）將代入中，得，解得，；（2）拋物線對(duì)稱軸為．若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，，解得．，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，，解得（不合題意，舍去）綜上所述．（3）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且A在對(duì)稱軸左側(cè)，C在對(duì)稱軸右側(cè)拋物線與y軸交點(diǎn)為，拋物線對(duì)稱軸為直線，此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為且，解得．當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，，解得，當(dāng)A，B分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)到對(duì)稱軸的距離大于A到對(duì)稱軸的距離，解得綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題；存在待定參數(shù)的情況下，對(duì)可能情況作出分類討論是解題的關(guān)鍵．【典例5】（2024·云南·二模）我們約定：若關(guān)于的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題．(1)若關(guān)于的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求，，的值．(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，，點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．①求函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸．②函數(shù)的圖象是否經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)的值為，的值為，的值為；(2)①函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為；②函數(shù)的圖像過兩個(gè)定點(diǎn)，，理由見解析；【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；（1）根據(jù)題意得到即可解答；（2）①求出的對(duì)稱軸，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；【詳解】（1）解：由題意可知：，∴．答：的值為，的值為，的值為．（2）解：①∵點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，∴對(duì)稱軸為，∴，∴，∴對(duì)稱軸為．答：函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為．②，令，解得，∴函數(shù)的圖像過定點(diǎn)，．考點(diǎn)四：二次函數(shù)解析式的確定及圖象變化【典例1】（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)平移規(guī)律，上加下減，左加右減，可得頂點(diǎn)式解析式．【詳解】解∶拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物為，∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選∶D．【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個(gè)單位長度后，經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】2【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到，再整體代入變形后代數(shù)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移5個(gè)單位長度后得到，把點(diǎn)代入得到，，得到，∴，故答案為：2【典例3】（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位長度，所得拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)P、Q，則．【答案】1【分析】本題主要考查了二次函數(shù)平移規(guī)律，拋物線與x軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，求出拋物線的解析式．根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，求出拋物線的解析式，然后令，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出答案即可．【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位長度，所得拋物線的解析式為：，令，則，或，解得：或，，故答案為：1．【典例4】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個(gè)函數(shù)的圖像向下平移3個(gè)單位長度后得到的圖像經(jīng)過原點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方；③若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個(gè)函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【答案】①②④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的規(guī)律頂點(diǎn)平移后的函數(shù)解析式即可判斷①；確定拋物線與直線沒有交點(diǎn)，且開口向上即可判斷②；利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷③；求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷④．【詳解】解：將二次函數(shù)是常數(shù)）的圖象向下平移3個(gè)單位長度后得到，當(dāng)時(shí)，，平移后的函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，故①正確；當(dāng)時(shí)，則，令，即，，拋物線與直線沒有交點(diǎn)，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方；故②正確；二次函數(shù)是常數(shù)），開口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量增大而增大，故③錯(cuò)誤；，頂點(diǎn)為，，故④正確．故答案為：①②④．【典例5】（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱．則下列說法正確的序號(hào)為．（少選得1分，錯(cuò)選得0分，選全得滿分）①②當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為3③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式一定成立④Px1,y1，Qx【答案】①③④【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，拋物線的增減性的應(yīng)用，利用的應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．由二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱．可得，可得①符合題意；由，可得，結(jié)合，可得②不符合題意；由對(duì)稱軸為直線，結(jié)合，可得③符合題意；分三種情況分析④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，不滿足，不符合題意，舍去，可得④符合題意；【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，而二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱．∴，∴，故①符合題意；∴，∴，，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，故②不符合題意；∵，∴對(duì)稱軸為直線，∵，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，∴，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式一定成立，故③符合題意；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，滿足，∴，∴，當(dāng)時(shí)，不滿足，不符合題意，舍去，故④符合題意；綜上：符合題意的有①③④；故答案為：①③④．【典例6】（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對(duì)稱軸，即可判斷①，根據(jù)?1,1，兩點(diǎn)之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過?1,1得出，代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對(duì)稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，兩點(diǎn)，且．∴對(duì)稱軸為直線，，∵，∴，故①錯(cuò)誤，∵∴，即?1,1，兩點(diǎn)之間的距離大于又∵∴時(shí)，∴若，則，故②正確；③由①可得，∴，即，當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，∴∴∴∵，，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，而，∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,又，∴點(diǎn)Ax1,∴對(duì)稱軸解得：，故④正確．故答案為：②③④．【典例7】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)若，則_________，通過配方可以將其化成頂點(diǎn)式為_________；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，其中．若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；(3)若，將拋物線向上平移4個(gè)單位得到的新拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E為中點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接，．求證：．【答案】(1)2，(2)，理由見解析(3)證明見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式即可得的值，再利用完全平方公式進(jìn)行配方，化成頂點(diǎn)式即可得；（2）先求出，從而可得拋物線的對(duì)稱軸，再求出，得出點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，然后根據(jù)拋物線的開口向上即可得；（3）先分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得證．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且，∴將點(diǎn)代入得：，解得，則化成頂點(diǎn)式為，故答案為：2，．（2）解：，理由如下：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∵，∴，即，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，∴，∴，又∵，∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，又∵拋物線的開口向上，∴．（3）證明：若，則，將向上平移4個(gè)單位得到新拋物線，∵拋物線與直線交于點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入得：，∴，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，軸于點(diǎn)，，∴，，∴．【典例8】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測(cè)）如果二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)為的圖象上，同時(shí)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，那么我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”．(1)若二次函數(shù)與二次函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，則_______．(2)如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將二次函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)新的二次函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，且的圖象的頂點(diǎn)為．①求二次函數(shù)的解析式；②點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①；②存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（）根據(jù)“頂點(diǎn)相容函數(shù)”的定義得到該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再代入二次函數(shù)解析式得到即可解答；（）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分三種情況討論即可解答．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴將代入，得，解得．∴二次函數(shù)的解析式為,∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，∴將代入入得，∴符合要求，故答案為：；（2）解：①∵旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，∴的圖象的頂點(diǎn)必在二次函數(shù)的圖象上，∵的圖象是二次函數(shù)為的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，∴這兩個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，如圖，分別過作軸，軸，垂足分別為，在和中，∴，∴．當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)是的圖象的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)，把代入，解得，∴二次函數(shù)的解析式為為；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，；當(dāng)時(shí)，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，解得，綜上所述，存在一點(diǎn)，使得為直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，直角三角形的性質(zhì)，“頂點(diǎn)相容函數(shù)”的定義，理解“頂點(diǎn)相容函數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．【典例9】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，將拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，得到拋物線，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，求的值；(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線，分別交拋物線和于點(diǎn)M、N（M、N均不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，．【分析】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，準(zhǔn)確利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)平移規(guī)律即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立與得到，解得，即可求出答案；（3）由（1）可得，，與聯(lián)立得到，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，與聯(lián)立得到，則，得到，即可得到，得到定值．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，∴，解得，∴，∵拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，得到拋物線，∴即（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得到，則解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立與得到，解得，則（3）解：由（1）可得，，與聯(lián)立得到，，解得，此時(shí)∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在上，∴即點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)C和點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得到，則解得，∴直線的解析式為，與聯(lián)立得到，，整理得到，則，即，即，即為定值．【典例10】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2