平面坐標(biāo)系動點找規(guī)律

模型原理

這類問題往往將變換、函數(shù)、相似等知識結(jié)合在一起，常涉及到轉(zhuǎn)化、整體和數(shù)形結(jié)合等方法，具有很強的綜

合性，解決這類問題的關(guān)鍵是要注意觀察和分析圖形.

1.函數(shù)與平移

⑴一次函數(shù)y=kx+b(k，O)的平移

左加右減，上加下減，一次函數(shù)解析式為y=k(x±m(xù))+b±n

(2)反比例函數(shù)y=手0)的平移

左加右減，上加下減，反比例函數(shù)解析式為y=^±n

(3)二次函數(shù)y=a(x-/i)2+fc(a0)的平移

左加右減，上加下減，二次函數(shù)解析式為y=a(x-h+m)2+k+n

2.函數(shù)與對稱

⑴一次函數(shù)y=kx+b(k/))的對稱

①關(guān)于x軸對稱后的解析式為y=-kx-b②關(guān)于y軸對稱后的解析式為y=-kx+b

③關(guān)于原點中心對稱后的解析式為y=kx-b

(2)反比例函數(shù)y=其k中0)的對稱

①關(guān)于x軸對稱后的解析式為y=-：②關(guān)于y軸對稱后的解析式為y={

③關(guān)于原點對稱后的解析式為y=1

(3)二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá)

①關(guān)于x軸對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于X軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c;

②關(guān)于y軸對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax2-bx+c

③關(guān)于原點對稱

yax2+bx+c:關(guān)于原點中心對稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c

真題精煉

1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B在x軸上,(OA=OB=4,連接AB，過點O作。414B于

點4],過點41作4遇1J.x軸于點.B]；過點作-L4B于點4,過點42作^2^2-L%軸于點殳;過點殳作

殳4148于點4過點心作々為1%軸于點/；；按照如此規(guī)律操作下去,則點4023的坐標(biāo)為.

A\

B,B2ByBX

2如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標(biāo)為(1,1),-A41是以點B為圓心，BA

為半徑的圓?。挥?是以點。為圓心，。為為半徑的圓弧，一44是以點C為圓心，C4為半徑的圓弧，

-44是以點A為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B,O,C,A為圓心按上述作法得到的曲線.A

"1"2“3,445,…稱為正方形的“漸開線"I則點人2023的坐標(biāo)是______

3在平面直角坐標(biāo)系中，點.&、4、4、44…?在X軸的正半軸上，點名、B?、4??在直線y=三%(%20)

上，右點4的坐標(biāo)為(2,0),且4△A/i/z、△①殳①、△A3B3/4,,均為等邊二角形.則點.^2023的縱坐標(biāo)為

4如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數(shù)字提取

出來組成有序數(shù)對：(3,5),(7,10),(13,17),(21,26),(31,37)……如果單把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排

列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請寫出第n個數(shù)

對：______

37

212019181736

22765,1635

2381534

2491433

251011121332

262728293031

5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線1：y=V3x-與x軸交于點.以。久為邊作正方形點J

在y軸上，延長C/i交直線1于點.4，以為邊作正方形?2c2的,點C2在y軸上,以同樣的方式依次作正

方形3c3c2,…'正方形2202382023c2023c2022,則點殳023的橫坐標(biāo)是_____

6已知，△。公&公仆心力5,△46出“81…都是邊長為2的等邊二角形，按下圖所小擺放.點①,"3145”"都在X

軸正半軸上，且.A2A3==AgAg=11?=1,則點42023的坐標(biāo)是-

7如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點按如下規(guī)律依序排列：(0,0),(1,0),(0,1)規(guī)律,

則(6,7)是第個點.

8如圖，在第一象限內(nèi)的直線1:y=上取點.使。4=1,以。4為邊作等邊ACMiBi，交x軸于點B1；

過點當(dāng)作x軸的垂線交直線1于點.4，以。4為邊作等邊△O&B2,交x軸于點沒過點殳作x軸的垂線交直線1

于點4，以。4為邊作等邊，△。4邑,,交x軸于點B3；……，依次類推，則點A2o22的橫坐標(biāo)為

9如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半

軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)(60。,那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標(biāo)

為()

A（-|--V3）既（|，-竽）C.（-V3?V3）D（_|-1）

10如圖,在平面直角坐標(biāo)系中A(-l,l),B(-l,-2),C(3,-2),D(3,l),一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度

沿-…循環(huán)爬行，問第2021秒瓢蟲在()處.

5.(-L-2)C.(l--2)0.(3,一2)

11在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△20E3如圖放置，點A的坐標(biāo)為（1,0）,每一次將△AOB3繞著點O逆時針

方向旋轉(zhuǎn)60。，，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△&。4，，第二次旋轉(zhuǎn)后得到…，依次

類推，則A?。？1的坐標(biāo)為（）.

4(—22020,_bX22020)B.(22021，_百X22021)

C,(22°20,_8義22°20)D.(_22。21,_舊x22021)

12在直角坐標(biāo)系中，點為從原點出發(fā)，沿如圖所示的方向運動，到達(dá)位置的坐標(biāo)依次為：42（1，0），

4(L1)；4(—L1),4(—1，—1)，4(2,—1),4(2,2),…..若到達(dá)終點,4/506,—505),貝［|n的值為.

1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=OB=4,連接AB,過點O作OA11AB

于點Ai,過點Ai作AiBt1x軸于點Bi;過點Bi作&A?1AB于點A2過點A?作A?B?1z軸于點B2過點

B2作B2A31AIB于點A3過點A3作A3B31x軸于點B3；……；按照如此規(guī)律操作下去，則點A2o23的坐標(biāo)

為.

【答案】(4-

【解析】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B在z軸上，0A=0B=4,

/?△OAB是等腰直角三角形，.40BA=45。,

VOA11AB,

.?.△OAiB是等腰直角三角形，

同理可得:△OAiBt,△AiBiB均為等腰直角三角形,

???A】(2,2),

根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形.

依次可得:42(3,1)4(4-衿),4(4—5德),

由此可推出：點A2023的坐標(biāo)為(4-9

故答案為：(4-?蔡)

【標(biāo)注】【知識點】規(guī)律探究

2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標(biāo)為(1,1),AAi是以點B為圓心，BA為

半徑的圓弧；硒是以點0為圓心，OAi為半徑的圓弧，A2A3是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧，ASA4

是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B,O,C,A為圓心按上述作法得到的曲線AA.A^A^….稱

為正方形的“漸開線”，則點A2023的坐標(biāo)是.

【答案】(-2023,1)

【解析】：A點坐標(biāo)為(1,1),且Ai為A點繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90。所得,

?'?Ai點坐標(biāo)為(2,0).

又；A?為Ai點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90。所得，

:.A?點坐標(biāo)為(0.-2),

又：A3為A2點繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90。所得，

:?卜3點坐標(biāo)為(-3,1),

又A1為A3點繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90。所得，

??A4點坐標(biāo)為(1,5),

由此可得出規(guī)律：A□為繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90。，且半徑為1、2、3、…、n,每

次增加1.

：2023+5=505...3,

故A2023為以點C為圓心，半徑為2022的A2022順時針旋轉(zhuǎn)90。所得

故A2023點坐標(biāo)為(-2023,1).

因此正確答案為：(-2023,1).

【標(biāo)注】【知識點】規(guī)律探究

3在平面直角坐標(biāo)系中，點A］、Az、A3、A4…在x軸的正半軸上，點Bi、B2、B3…在直線y=>0)

上,右點Ai的坐標(biāo)為(2,()),_§,△AiBiA?、△A?B2A3、△A3B3A4…均為寺邊二角形.貝(］點B?o23的縱坐標(biāo)為

【答案］22°22V3

【解析】

【分析】

過點Ai作AiM±x軸,交直線y=yx(x>0)于點M，過點Bx作B1C±x軸于點C冼求出NA】OM=30°,

再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得.4/1=。4=2,然后解直角三角形可得當(dāng)C的長，即可得點

B］的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點B2,B3,B4的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得.

【詳解】

解：如圖,過點Ai作A1M±x軸,交直線=苧％(%>0)于點M，過點Bi作BiC±x軸于點C

??A(2,0),

AOAi=2,

當(dāng)x=2時y=季即X,甯4M=手

tan^&OM==今

???乙名OM=30°,

「△AiBiA2是等邊三角形.

=60°,i41i42=A/i，

???Z-OBrAr=30°=Z-A1OM,

A1B1=OAr=2,

.--BrC=sin60。=2x與即點Bx的縱坐標(biāo)為2x當(dāng)

同理可得：點B2的縱坐標(biāo)為22x當(dāng)，

點B3的縱坐標(biāo)為23xf,

點B4的縱坐標(biāo)為24xf,

歸納類推得：點B□的縱坐標(biāo)為2。xf=2n-^n為正整數(shù))，

2022

則點B2023的縱坐標(biāo)為22023-1b=2^3,

故答案為：22。22口

【點睛】

本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識點，正確歸納類

推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

4如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數(shù)字提取

出來組成有序數(shù)對:(3,5),(7,10),(13,17),(21,26),(31,37)……如果單把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起

來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請寫出第n個數(shù)對:.

________-37

2120191817

2276516

23811415

249b出4

2510111213

262728293031

【答案】(九之+71+1，層+2幾+2)

【解析】每個數(shù)對的第一個數(shù)分別為3,7,13,21,31,…

即2x3+1,3x4+1,4x5+1,5義6+1,….

則第n個數(shù)對的第一個數(shù)為：兀(九+1)+1=彥+幾+1,

每個數(shù)對的第二個數(shù)分別為5,10,17,26,37,…，

即：22+1;32+1;42+1;52+1;62+1,…,

則第n個數(shù)對的第二個數(shù)為：(幾+1)2+1=彥+2幾+2,

第n個數(shù)對為：(污+幾+1，荏2+2九+2),

故答案為：(污+n+l'n2+2n+2).

【標(biāo)注】【知識點】數(shù)列找規(guī)律-其他數(shù)列規(guī)律

5如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線1y=遮％-百與x軸交于點Ai,以O(shè)Ai為邊作正方形A】BiCi。，點

。在y軸上.延長GBi交直線1于點A?以O(shè)iA2為邊作正方形A?B2O2O1,點C?在y軸上，以同樣的方式依次

作正方形A3B3C5C2，…,正方形A2023B2023c2023c2022廁點B2023的橫坐標(biāo)是______.

【解析】當(dāng)y=o時，0=V3x-b，解得x=l,

???點A2(1,0),

四邊形A】BiCiO是正方形,

???0Ar—A1B1—0Cr—1,

?點B](1,1).

.?.點段的橫坐標(biāo)是1,

當(dāng)y=l時，1=V3x-遍，解得x=1+y,

.,.點a?(i+苧i),

四邊形A2B2C2Ci是正方形，

J3

A2B2=C1C2=A2C1=1+—,

后殳(1+爭2+苧)即點B2的橫坐標(biāo)是1+,

當(dāng)y=2+爭寸2+y=V3x-V3解得%=|(V3+2),

?點入律+》+?)

:四邊形A3B3C3C2是正方形，

???A3B3—c2c3=43c2=+y

2

+=1+

；?點B3的橫坐標(biāo)是vl(T).……以此類推，

則點Bz023的橫坐標(biāo)是(1+乎)

Z6\202

故答案為：(1+f)

【標(biāo)注】【知識點】一次函數(shù)與找規(guī)律

【知識點】坐標(biāo)系基礎(chǔ)

【知識點】正方形的性質(zhì)

6.A.2,A，3,A，3，…都在z軸正半軸上，且=A2A3—A3A0—■■■=1,則點A203的坐標(biāo)是

【答案】(2023,V3

【解析】如圖，過點A1A,A7,AI0,Ai3,...A2O23分別作x軸的垂線,

???AAXA2O是邊長為2的正三角形，

22

OB=BA2=1,&B=V2-l=V3,

；?點A?的橫坐標(biāo)為1.

由題意可得，點A2的橫坐標(biāo)為2,點A3的橫坐標(biāo)為3,點A4的橫坐標(biāo)為4,,因此點A2o23的橫坐標(biāo)

為2023,

2023+3=674……1,而674是偶數(shù)，

點A2023在第一象限，

*e?點A?023的縱坐標(biāo)為V3

即點A2023(2023,V^),

故答案為：(2023,V3).

【標(biāo)注】【知識點】規(guī)律探究

7如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點按如下規(guī)律依序排列：(0,0),(1,0),(0,1)

規(guī)律.則(6,7)是第個點.

【答案】99

【解析】橫縱坐標(biāo)和是0的有1個點，橫縱坐標(biāo)和是1的有2個點，橫縱坐標(biāo)和是2的有3個點，

橫縱坐標(biāo)和是3的有4個點......橫縱坐標(biāo)和是n的有(n+1)個點，

6+7=13,

???1+2+???+12+13=|x13x(13+1)=91,

橫縱坐標(biāo)和是13的有14點,分別為:(13,0)、(12,1)、(11,2),(10,3)、(9,4)、(8,5)、(7,6)、(6,7)、(5,8)、(4,9)、(3,

10)、(2,11)、(1,12)、(0,13).

，(6,7)是第91+8=99個點.

故答案為：99.

8如圖,在第一象限內(nèi)的直線1：y=次比上取點A［，使OA］=1以O(shè)A］為邊作等邊△OAiBI，交x軸于點B

1；過點Bi作z軸的垂線交直線1于點A2,以O(shè)Az為邊作等邊△OA2B2,交z軸于點B2；過點B2作x軸的

垂線交直線1于點A3,以O(shè)A3為邊作等邊△OA3B3,交z軸于點B3；……,依次類推，

則點A2022的橫坐標(biāo)為

【答案】22020

【解析】解:過點A1作AiCJ_z軸于點C,點B?作B3A&_Lx軸父直線1于點A4,

VAOAiBi是等邊三角形QA]=1,

A1B1—OB】=0Ar=1,

11

OC=^0Br

???點A]的橫坐標(biāo)為I，BP2-\

VAOA2B2是等邊三角形，A2Bl1z軸QB1=1,

???點A2的橫坐標(biāo)為1,即2°,OA2=4殳

OB2—2OB]=2x1=2,

?■?A。4殳是等邊三角形,A3B21x軸，

???點A3的橫坐標(biāo)為2,R2],。/=A3B3

???OB3—2。殳=2x2=4,

VAOA4B4是等邊三角形,A4B31Z軸，

???點A4的橫坐標(biāo)為4,即22,

以此類推，點A—的橫坐標(biāo)為2-2,

.當(dāng)n=2022時，點A2°22的橫坐標(biāo)為22020

9.如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半

軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°,那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標(biāo)

為（）.

【答案】A

【解析】如圖，連接AD,BD,

在正六邊形ABCDEF中,AB=l,AD=2,/ABD=90。，

BD=yjAD2-AB2=V22-l2=V3,

在RtAAOF中,AF=1,NOAF=60。，

ZOFX=30°,

11

OA=-AF==

22

??.OB=OA+AB=

2

."G西.

將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°,

**?6次一個循環(huán)，

V2025-6=337...3,

經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的D3的坐標(biāo)相同，

與D3關(guān)于原點對稱，

經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標(biāo)(-1，-8)，

故選A

10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中A(-1,1),B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1),一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿A

—B一C—D—AT?…循環(huán)爬行，問第2021秒瓢蟲在()處.

A.(3,l)B.(-1,-2)C.(l,-2)D.(3,-2)

【答案】A

［解析］VA(-1,1),B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1),

；.AB=CD=3,AD=BC=4,

/.Ci°BABOD=2(AB+AD)=14.

：2021=288x(14+2)+1.5+2+1.5,

...第2021秒瓢蟲在點D處，

此時點瓢蟲的坐標(biāo)為(3,