2023-2024學(xué)年高一期中質(zhì)量檢測卷

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊第六章~第八章第3節(jié).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

2—47

1.復(fù)數(shù)1+,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共輾復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)z,從而可得結(jié)果.

2-4/(2-4i)(l")-2-6/

【詳解】由復(fù)數(shù)的運算法則可彳的=下=-1-3/,

(1+0(1-02

則該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(-L-3),該點位于第三象限，故選C.

【點睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解，掌

握純虛數(shù)、共軌復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)

數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.

2.已知向量汗=(m,2),6=(—3,1),若工〃B，則實數(shù)加=()

22,

A.—B.----C.6D.—6

33

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)公式求解即可.

【詳解】由五〃B,得lx加一(一3)x2=0,解得力=—6,

故選：D.

3.已知某圓柱的表面積是其下底面面積的4倍，則該圓柱的母線與底面直徑的比為()

A.1:1B.1：2C.1:3D.1：4

【答案】B

【解析】

【分析】由圓柱的表面積公式計算即可求解.

【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為廣，母線為/,則2無/+2兀"=4義兀/，

所以/=廠，所以_L=L,

2r2

故選：B.

4.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,若c=3,b=屈,C=60°,則A=()

A.45°B.75°C.105°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理求出8,即可求出A.

【詳解】由正弦定理得上;名，所以5垣3=則￡="義蟲=正，

sinesinoc322

因為c>〃，所以C>3,所以3=45°，

貝UA=180°—60°—45°=75°,

故選：B.

5.已知向量4=(-1,0)石=(2,2),若向量1在向量方上的投影向量為;IB,向量B在向量2上的投影向量

為月花，則()

11

A.-2B.2C.——D.-

一22

【答案】D

【解析】

【分析】利用數(shù)量積與單位向量表達投影向量，坐標(biāo)代入運算待定系數(shù)即可.

【詳解】由4=(—1,0),B=(2,2),得￡%=一2，同=1M=2后，

一口一一口一str口,-=五b(a-b)b-2b1Tme1

向量萬在向重B的投影向重為-x、-=———=——=—■-b,則2=—；

\b\\b\Id844

向量B在向量日上的投影向量為土2'&=支學(xué)=—24，則〃=—2,

|a||a||a\

所以Xfj.=—.

故選：D.

6.如圖，在AA3C中，已知NACB=120°,將AA5。以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為匕，以

Ar1

3C為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為匕，若匕=2%,則——=()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體定義可得形成的幾何體都可以看做一個大圓錐挖去一個小圓錐，再由錐體體積公式可

得結(jié)果.

【詳解】分別過頂點A3向?qū)呑鞔咕€，垂足分別為點。，石，如圖所示，

A

5^7a7cD

、、/

、、/

、、、、7/

E

i、c

設(shè)AC=Z>,BC=a,則CD=—6,AD=火仇CE=—1BRE口——

2222

則形成的幾何體都可以看做一個大圓錐挖去一個小圓錐,所以可得

.._11百丫（1）1f73Y1

2

Vj=§兀x［2x1/7+—6/1—§兀乂［2~［x5〃二-ab,

4

v1fV3,Y（1八1fA/3,Y1,

2

匕=3兀x乂［〃+5匕|一］兀xx—b=-ab；

4

ACb1

所以77=丁=2,即Hn---=—=—

KbBCa2

故選：A.

7.已知非零向量己石滿足萬?（萬+3萬）=萬?瓦|萬一2行|=|3萬一5|,則向量萬萬夾角的余弦值為（）

A.&B.BC.--D.

3663

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及平面向量夾角公式計算即可.

【詳解】由無（M+3方）=⑦5,得求=_2無B，

由卜一2,=3萬一可,得卜一2方『二,乙,整理得8益2-210-3/=0,

所以官=3求，則w=g同，

一Aa-b\a\2名

設(shè)向量。力的夾角為。，則cos”麗=而商.可.

故選：C.

8.已知某圓臺的體積為電1兀，其軸截面為梯形A3CD,AB=4,CD=2,則在該圓臺的側(cè)面上，從

3

點A到C的最短路徑的長度為（）

A.3&B.3垂＞C.6D.3幣

【答案】B

【解析】

【分析】先由體積公式與已知數(shù)據(jù)待定圓臺母線與高，再利用側(cè)面展開圖中距離求解最短路徑長即可.

【詳解】由圓臺軸截面為等腰梯形，故對邊A3,8不是母線，分別是下、上底面圓直徑.

故由AB=4,CD=2,得圓臺的下底面的半徑為H=2,上底面的半徑為r=1,

設(shè)圓臺的高為〃，由圓臺的體積為丫=巴亞兀，

3

得丫=!卜2+7?2+7?廠）兀丸=!（］2+22+1*2）兀丸=當(dāng)2兀，解得/z=20?

在梯形A3CD中，則3c=J（2-1）?+（2"）2=3,即母線長為3.

如圖，由圓臺性質(zhì)，延長交于點/>,

PCr_PC_1

由△PDC與相似，得---------解得PC=3.

PC+BCHPC+3-a

設(shè)該圓臺的側(cè)面展開圖的圓心角為a,

2兀

則3a=2兀廠=2兀，所以a=一

3

連結(jié)AC,PC,則從點A到C的最短路徑為線段AC,

12兀71

又在4c中，PC=3,PA=6,ZCPA=-x—=-,

233

由余弦定理得AC2=PA2+PC2-IPA-PCcos-

3

所以AC=小6?+32—2x6x3xg=3g.

222

驗證知，由PC=3,PA=6,AC=3VJ得，PA=AC+PC-

此時ACJ_PC,恰與扇形弧所在圓相切，滿足題意.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.一個多面體至少有4個面

B.圓柱的母線與它的軸可以不平行

C.用任意一個平面截球得到的截面都是一個圓面

D.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)多面體和旋轉(zhuǎn)體的定義判斷即可.

【詳解】對于A,多面體至少有4個面，故A正確；

對于B,圓柱的母線與它的軸平行，故B錯誤；

對于C,用任意的平面截一個球得到的截面都是一個圓面，故C正確;

對于D,滿足條件的幾何體可能是組合體，如圖所示，故D錯誤.

10.如圖，某旅游部門計劃在湖中心。處建一游覽亭，打造一條三角形。EQ游覽路線.己知是湖

岸上的兩條甬路，//18。=120。,3。=0.3]011,3石=0.5]011,/。。石=60°（觀光亭。視為一點，游覽路

線、甬路的寬度忽略不計），則（）

B.當(dāng)/。￡。=45°時，De=^km

20

C.AOEQ面積的最大值為絲叵km?

400

D.游覽路線。Q+QE最長為L4km

【答案】ACD

【解析】

【分析】運用正余弦定理解三角形即可判斷AB,在用余弦定理解三角形的同時結(jié)合基本不等式即可判斷C

D.

【詳解】在QBE中，由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD-BExcosl20°=0.49，

所以。E=0.7km,A正確；

八DQDE

在△OEQ中，由正弦定理./1q八=./ncq，

sinNDEQsin/DQE

得哈與罌箸7

=^^-km,B錯誤;

△DEQ中,由余弦定理，

0.72=DQ2+QE2-2DQQEx->2DQQE-DQQE=DQQE,

49

當(dāng)且僅當(dāng)DQ=QE時等號成立，所以DQ-QE4商，

則&DEQ的面積為gDQ-QEsin60°<km2,C正確；

由上可得0,2=DQ2+QE2-2。。?QEx3=(DQ+QE)2-3DQ-QE,

2

所以0,2?(DQ+QE)-3(DQ；。：=1(DQ+QE],

當(dāng)且僅當(dāng)DQ=QE時等號成立，所以。Q+QEK2x0.7=L4km,D正確.

故選：ACD.

——f-CL*b

11.已知兩個非零向量定義新運算。。5=:丁，則()

a

A當(dāng)同<W時，aQb>bQa

B.對于任意非零向量2，都有+。。

C.對于不垂直的非零向量及c,都有40[(B?c)d]=[Q(B,c)]0d

——2m——__

【答案】BD

【解析】

【分析】由定義新運算及數(shù)量積的定義分別判斷即可.

_7j.h團區(qū)ICOS，\b\COS0

【詳解】設(shè)。為向量力與B的夾角，由新運算可知，aQb=^=^-^—=1I,

a2\a\2\a\

-同cosd

對于A,由上可知二°、=回，

\b\

同cos8司

a\

則MOb—b=——,cos0,

同a\b

又同<w，

當(dāng)。為鈍角時，aQbOa<0.即MoB<Bo萬，故A錯誤;

a-(b+c

對于B,因為20但+,a-b+a^c

a2|5|2

一「一一a-ba-cd'b-\-d'C

aQb+aQc=——7+——不=-----------z——

同團\a\-

所以〃O(B+，=^o5+101,故B正確;

對于C,設(shè)加5=加(加為非零常數(shù))，

a-(md

1ma-dj丁0-：rnd-d

貝[b-c^d=aQ(md^=a\b-cjQa=maQd-———

\a\2

當(dāng)mwi時，?o(6句7抉［萬伍?磯G>7,故c錯誤;

-\b\cos02m-laicos6>

對于D,因為日0b=匚1—=——,b?5=0^—=2t,m,teN

n同3\b\

43

所以COS9e=一相1G[0,1],所以0,-

3

又機/eN,所以7加=0,所以機/中至少一個為。，則行上3，故D正確，

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.用斜二測畫法作一個水平放置的平行四邊形的直觀圖，若直觀圖是一個角為45°,邊長為2的菱形，則

原來的平行四邊形的面積為.

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則即可求解.

【詳解】根據(jù)斜二測畫法可知，原來的平行四邊形為一個矩形，且該矩形的寬為2,長為4,

故原來的平行四邊形的面積為2x4=8,

故答案為：8.

13.白銀比例是指事物各部分間存在著一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，其比值為1：、歷，具有很好的美感，在設(shè)計與

建筑領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.在矩形A3CZ)中，AB=叵BC>AB,從矩形A3CD中截取一個正方形ABEF,

剩下的矩形CDFE的寬EC與長8之比為白銀比例，則衣.而=.

【答案】V2-l##-l+V2

【解析】

【分析】利用白銀比例求解矩形中各邊長度，再用Z反而表示所求向量，進行數(shù)量積運算可得.

【詳解】如圖，由已知A3=A5得，CD=AB=正，

由白銀比例可知EC：CI)=1:J5，所以￡C=1，

則3C=AD=1+應(yīng)，則EC：AD=1:(&+1)=&—1,

又配=通+而，麗=配+①=(0-1)而-破

且網(wǎng)="畫=應(yīng)+1,翳花=0，

所以衣?而=(須+而)?[(后_1)而_通]=(后—2)通?赤—前2+(應(yīng)_1)礪2

=-(V2)2+(V2-1)x(1+V2)2=72-1.

故答案為：V2-1.

14.在四面體ABC。中，AB=5AD=3，AC=JIU，CD=1,8。=叱，BD=y/14>則四面

體ABCD的外接球的表面積為,四面體ABCD的體積為.

【答案】?.1471②.1

【解析】

【分析】勾股定理判斷出△A5。、△3CD為直角三角形，取2。的中點O,。為四面體A2C。的外接球

的球心，可求得四面體ABC。的外接球的表面積；將四面體A8CZ)補成直三棱柱ABC-A與。，根據(jù)

^ABCD=^B-ACD=^B-\AC~^A-AXBC求出體積.

【詳解】在四面體ABC。中，

AB=y^，AD=3,CD=1,BC=岳,BD=^14>

因為BI?=AB?+AE>2，所以△A3。為直角三角形，

因為=3。2+8>2,所以△3CD為直角三角形，取3。的中點。，

則。4=OS=OD=0C,所以。為四面體ABCD的外接球的球心，

則8。為四面體ABCD的外接球的直徑，

所以四面體ABCD的外接球的表面積為S=4兀［與］=(714)2兀=14兀;

將四面體A3。補成直三棱柱43C—人用。，如圖,

AC=AD=3,BC—y/13>AB=也,—CD—1,

所以4^2=A§2—?=4,AB=2,

所以=4§2+4。2,即

故四面體ABC。的體積為

%c?=%TC?=%-&4C=匕—ABC=gx；x2x3xl=L

【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相

等且為半徑；

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的；

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l—3i）為純虛數(shù)，z-z=-2i.

（1）求Z以及N；

_.3

⑵設(shè)4=,若閔=2血，求實數(shù)加的值.

z+3

【答案】（1）z=-3+i；z=-3-i

（2）1或5

【解析】

【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，根據(jù)純虛數(shù)概念求解；

（2）利用復(fù)數(shù)的乘除、乘方化簡，再由模的公式建立方程求解加.

【小問1詳解】

設(shè)2=。+歷（a,Z?wR）,則N=a—歷，

由2（1-31）=（4+人）（1-31）=（。+3/?）+（人一343為純虛數(shù),

得a+36=0①，且b—3awO,

由N—z=—2bi=—21）得—2b=-2②,

由①②解得a=-3,b=1,驗證知匕-3a=10w0,滿足題意.

所以z=-3+i,N=-3-i.

【小問2詳解】

z+m—i3m-3+2i（m—3+2i）-i,,.

由（1）可知，Zj=-―=----：---=----/.、.---=一2+（加一3）1,

z+3-1（―

由閔=2正，得J（—2y+（m—3>=2虛，

整理，得加2-6m+5=0,

解得m=1或機=5.

故實數(shù)小的值為1或5.

16.在AABC中，內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為,且sin?A+gsinBsinC=sin2B+sin2c.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若a=2Z?cosC,判斷AABC的形狀并說明理由.

7T

【答案】（1）-

6

（2）答案見解析

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化角為邊，再由邊的關(guān)系代入余弦定理可求角A;

(2)由已知條件結(jié)合余弦定理化角為邊化簡得b=c,求解三角形進而判斷形狀.

【小問1詳解】

在AABC中，因sin2A+^/3sinBsinC=sin25+sin2C>

222222

所以由正弦定理得a=b+c-乖品，b+c-a=辰c

由余弦定理得cosA='=4曳="，

2bc2bc2

兀

由0<AVTD,所以A=一.

6

【小問2詳解】

因為a=26cosc=2bx,

laba

兀5

故。2—02=0，即力=c,又A=—,則5=C=一兀，

612

所以AABC為等腰三角形.

17.如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,NA=60°,點。，石滿足蒞=2瓦，/=2恒AC邊上的中

線BM與DE交于點、0.設(shè)麗=萬，醞=B.

(1)用向量G石表示的,方方；

(2)求NMOE的大小.

【答案】(1)BM=b+3a^DE=3b+2a

(2)60°

【解析】

【分析】(1)利用平面向量的線性運算即可求解;

(2)利用平面向量的數(shù)量積公式即可求解.

【小問1詳解】

由汨=2加，正=2運可知，AD=-2a,AC=2b,

貝U麗=—32/=3石，

所以瓦=衣—亞=3B+2G；

又雨為AC邊上的中線，所以麗:=%而—通Z萬=5+31.

2

【小問2詳解】

由AB=3,AC=4得同=1,問=2,

又NA=60°,所以向量方與B的夾角為120°,則萬3=—1，

由圖形可知，NMOE的大小等于向量麗與瓦的夾角，

又匹=yl(3b+2a)2=sl9b2+12a-b+4a2=336-12+4=2a,

|W|=J(B+3商)2=ylb2+6a-b+9a2=J4-6+9=幣,

DE-BM=(3b+2ay(b+3a^=3b2+lla-b+6a2=12-11+6=1,

所以cosNMOE=2.里=廠71

\DE\\BM\2V7XV72

又NMOEG(0,TI),所以NMOE=60°.

18.如圖，一個圓錐挖掉一個內(nèi)接正三棱柱ABC-4用&（棱柱各頂點均在圓錐側(cè)面或底面上），若棱柱側(cè)

面BCG^i落在圓錐底面上.已知正三棱柱底面邊長為2百，高為2.

D

（1）求挖掉的正三棱柱AB。-的體積;

（2）求該幾何體的表面積.

【答案】（1）673

（2）4兀+4而兀+10百.

【解析】

【分析】（1）由三棱柱的體積公式計算即可；

（2）根據(jù)幾何圖形性質(zhì)解得圓錐底面圓半徑和圓錐高，利用圓錐表面積、矩形的面積公式計算即可.

【小問1詳解】

因為正三棱柱ABC-45cl的底面邊長為，高為2.

22

則SABC=1BC.sin|=1x（2^/3）x=373-

所以正三棱柱ABC-AxBxCi的體積V—3AAec,=3+x2=6A.

【小問2詳解】

在正三棱柱ABC-中，由（1）知，S4ABe=36,

S矩形附片=BB\-BC=2^3x2=4A/3,

設(shè)圓錐的底面圓圓心為。，則。是矩形BC。1用的中心，設(shè)圓。半徑為廠,

有2/=《BB；+BC?=,22+（2可=4，即r=2，

令3C的中點為E,連接AE,則AEL3C,

且AE//DO,AE=AB-sin-=2V3x—=3.OE=1,

32

于瞰

—=2,解得。0=6,

OE

則圓錐的母線長/=7r>O2+r2=V62+22=2A/W-

2

圓錐的底面圓面積H=7tr=An,側(cè)面積S2=nrl=71x2x2^/10=4&5兀，

三棱柱的表面積為S三棱柱=3S矩形BG+2x5aABC=4^X3+3A/3X2=1873,

所以該幾何體的表面積為：S=（S]-S矩形BG）+s2+（s三棱柱-S矩形BG）

=（4兀—4?。?4加兀+（186—4@=4兀+4而兀+10技

D

19.如果三角形的一個內(nèi)角等于另外一個內(nèi)角的兩倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，如在中，

若A=25，則為倍角三角形，其中角A叫做2倍角，角8叫做1倍角.

(1)利用正、余弦定理證明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所對邊的平方等于1倍角所對邊乘

以該邊與第三邊之和；

(2)記的內(nèi)角A5c的對邊分別為a,伍c.已知5=2。,25也5=35足