2025年云南省八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)競賽試題及答案一、選擇題（每題4分，共16分）1.若實數(shù)\(a\)滿足\(a^2-2a+1=0\)，則\(a\)的值為A.1B.-1C.0D.無法確定2.已知三角形的三邊長分別為3、4、5，則這個三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.無法確定3.若一個數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)除以6的余數(shù)是A.0B.1C.2D.34.下列函數(shù)中，定義域為實數(shù)集的是A.\(y=\sqrt{x}\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=x^2-1\)D.\(y=\log_2(x)\)5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(P(2,-3)\)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A.\((2,3)\)B.\((-2,-3)\)C.\((2,-3)\)D.\((-2,3)\)二、填空題（每題4分，共16分）6.若\(a=-\frac{1}{2}\)，則\(3a^2+2a-5\)的值為__________。7.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的第三項為9，公差為2，則該數(shù)列的第一項為__________。8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(1,2)\)到點(diǎn)\(B(3,4)\)的距離為__________。9.若函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,0)\)，則另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為__________。10.若等腰三角形的底邊長為8，腰長為6，則該三角形的周長為__________。三、解答題（每題10分，共30分）11.解下列方程組：\[\begin{cases}2x+3y=12\\3x-2y=4\end{cases}\]12.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的第四項為7，公差為3，求該數(shù)列的前10項和。13.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(1,2)\)關(guān)于直線\(y=x\)的對稱點(diǎn)為\(B(x,y)\)，求點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)。四、應(yīng)用題（每題10分，共20分）14.小明騎自行車去圖書館，騎行的速度是每小時15公里，當(dāng)他騎行了30分鐘后，遇到了一場突如其來的大雨。由于雨勢較大，小明決定找一個地方避雨，他在避雨的地方停留了20分鐘。避雨結(jié)束后，小明繼續(xù)騎行，此時他的速度降為每小時10公里。如果小明最終在1小時后到達(dá)圖書館，求小明從家到圖書館的總距離。15.小華有一個長方體木塊，長、寬、高分別為5cm、3cm和2cm。他需要將這個木塊切割成若干個相同的小正方體，每個小正方體的邊長為1cm。請計算小華最多可以切割出多少個小正方體？五、證明題（每題10分，共20分）16.證明：對于任意實數(shù)\(a\)和\(b\)，都有\(zhòng)((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。17.證明：在等腰三角形中，底角相等。六、綜合題（每題10分，共20分）18.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((h,k)\)。若\(a=1\)，\(h=2\)，\(k=-3\)，求該二次函數(shù)的解析式。19.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(P(2,3)\)和點(diǎn)\(Q(-1,4)\)分別位于直線\(y=x+1\)的兩側(cè)。求過點(diǎn)\(P\)和點(diǎn)\(Q\)的直線與直線\(y=x+1\)的交點(diǎn)坐標(biāo)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：\(a^2-2a+1=(a-1)^2=0\)，所以\(a=1\)。2.A解析：根據(jù)勾股定理，\(3^2+4^2=5^2\)，所以是直角三角形。3.A解析：3的倍數(shù)除以6，余數(shù)只能是0，因為6是3的倍數(shù)。4.C解析：\(y=x^2-1\)的定義域為所有實數(shù)。5.A解析：點(diǎn)\(P(2,-3)\)關(guān)于x軸對稱，y坐標(biāo)取相反數(shù)，得到\((2,3)\)。二、填空題6.-\(\frac{19}{4}\)解析：\(3a^2+2a-5=3(-\frac{1}{2})^2+2(-\frac{1}{2})-5=-\frac{19}{4}\)。7.5解析：\(a_3=a_1+2d\)，所以\(9=a_1+2\times3\)，解得\(a_1=5\)。8.5解析：\(\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)。9.(3,0)解析：\(y=x^2-4x+3\)的另一個根可以通過因式分解或使用求根公式得到，\((x-1)(x-3)=0\)，所以另一個根是3。10.20解析：等腰三角形的周長是底邊加上兩倍的腰長，\(8+2\times6=20\)。三、解答題11.解下列方程組：\[\begin{cases}2x+3y=12\\3x-2y=4\end{cases}\]解：將第一個方程乘以2，第二個方程乘以3，得到：\[\begin{cases}4x+6y=24\\9x-6y=12\end{cases}\]相加消去\(y\)，得到\(13x=36\)，解得\(x=\frac{36}{13}\)。將\(x\)的值代入第一個方程，得到\(2(\frac{36}{13})+3y=12\)，解得\(y=-\frac{4}{13}\)。所以方程組的解是\(x=\frac{36}{13}\)，\(y=-\frac{4}{13}\)。12.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的第四項為7，公差為3，求該數(shù)列的前10項和。解：\(a_4=a_1+3d\)，所以\(7=a_1+3\times3\)，解得\(a_1=-2\)。前10項和\(S_{10}=\frac{n}{2}(a_1+a_{10})\)，其中\(zhòng)(a_{10}=a_1+9d\)，所以\(S_{10}=\frac{10}{2}(-2+(-2+9\times3))=5\times25=125\)。13.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(1,2)\)關(guān)于直線\(y=x\)的對稱點(diǎn)為\(B(x,y)\)，求點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)。解：點(diǎn)\(A\)關(guān)于直線\(y=x\)的對稱點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)滿足\(x=2\)，\(y=1\)，因為直線\(y=x\)是45度角的對角線，所以對稱點(diǎn)的坐標(biāo)互換。四、應(yīng)用題14.小明騎自行車去圖書館，騎行的速度是每小時15公里，當(dāng)他騎行了30分鐘后，遇到了一場突如其來的大雨。由于雨勢較大，小明決定找一個地方避雨，他在避雨的地方停留了20分鐘。避雨結(jié)束后，小明繼續(xù)騎行，此時他的速度降為每小時10公里。如果小明最終在1小時后到達(dá)圖書館，求小明從家到圖書館的總距離。解：小明騎行了30分鐘，即0.5小時，速度為15公里/小時，所以騎行了\(15\times0.5=7.5\)公里。避雨20分鐘，即0.3333小時，速度為0公里/小時，所以沒有額外距離。避雨結(jié)束后，騎行了1小時，速度為10公里/小時，所以騎行了\(10\times1=10\)公里。總距離為\(7.5+10=17.5\)公里。15.小華有一個長方體木塊，長、寬、高分別為5cm、3cm和2cm。他需要將這個木塊切割成若干個相同的小正方體，每個小正方體的邊長為1cm。請計算小華最多可以切割出多少個小正方體？解：長方體的體積為\(5\times3\times2=30\)立方厘米，小正方體的體積為\(1\times1\times1=1\)立方厘米。所以小華最多可以切割出\(30\)個小正方體。五、證明題16.證明：對于任意實數(shù)\(a\)和\(b\)，都有\(zhòng)((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。解：展開左邊的平方，得到\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，這與右邊相等，所以等式成立。17.證明：在等腰三角形中，底角相等。解：設(shè)等腰三角形為\(\triangleABC\)，其中\(zhòng)(AB=AC\)。由于\(\triangleABC\)是等腰三角形，所以\(\angleABC=\angleACB\)。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，\(\angleABC+\angleBAC+\angleACB=180^\circ\)，代入\(\angleABC=\angleACB\)，得到\(2\angleABC+\angleBAC=180^\circ\)，所以\(\angleABC=\angleACB\)。六、綜合題18.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((h,k)\)。若\(a=1\)，\(h=2\)，\(k=-3\)，求該二次函數(shù)的解析式。解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為\(y=a(x-h)^2+k\)，代入\(a=1\)，\(h=2\)，\(k=-3\)，得到\(y=(x-2)^2-3\)。展開得到\(y=x^2-4x+4-3\)，所以解析式為\(y=x^2-4x+1\)。19.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(P(2,3)\)和點(diǎn)\(Q(-1,4)\)分別位于直線\(y=x+1\)的兩側(cè)。求過點(diǎn)\(P\)和點(diǎn)\(Q\)的直線與直線\(y=x+1\)的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：點(diǎn)\(P\)和點(diǎn)\(Q\)的斜率是\(\frac{