離散數(shù)學概論試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪個是命題？（）A.x+1=2B.請開門！C.2是偶數(shù)D.明天會下雨嗎答案：C2.集合\(A=\{1,2,3\}\)的冪集元素個數(shù)是（）A.3B.6C.8D.9答案：C3.關(guān)系\(R\)是等價關(guān)系，不具有的性質(zhì)是（）A.自反性B.反自反性C.對稱性D.傳遞性答案：B4.若\(A=\{a,b\}\)，\(B=\{1,2\}\)，則\(A×B\)的元素個數(shù)是（）A.2B.4C.6D.8答案：B5.命題公式\(\neg(p\toq)\)等價于（）A.\(p\land\negq\)B.\(p\to\negq\)C.\(\negp\landq\)D.\(\negp\toq\)答案：A6.無向圖\(G\)有5個頂點，8條邊，則其總度數(shù)為（）A.5B.8C.10D.16答案：D7.以下哪種圖一定是連通圖（）A.樹B.二部圖C.平面圖D.歐拉圖答案：A8.設(shè)\(A=\{1,2,3\}\)，\(f:A\toA\)，\(f(1)=2\)，\(f(2)=3\)，\(f(3)=1\)，則\(f\)是（）A.單射B.滿射C.雙射D.以上都不是答案：C9.一個群的單位元（）A.唯一B.有2個C.不存在D.個數(shù)不確定答案：A10.謂詞公式\(\forallx(P(x)\toQ(x))\)中，\(\forallx\)的轄域是（）A.\(P(x)\)B.\(Q(x)\)C.\(P(x)\toQ(x)\)D.整個公式答案：C二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下是合式公式的有（）A.\(p\landq\)B.\((p\toq)\veer\)C.\(p\negq\)D.\(\forallx(P(x))\)答案：ABD2.集合\(A=\{1,2,3,4\}\)，下列哪些是\(A\)的劃分（）A.\(\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\}\)B.\(\{\{1,2\},\{3,4\}\}\)C.\(\{\{1,2,3\},\{4\}\}\)D.\(\{\{1\},\{2,3,4\}\}\)答案：ABCD3.關(guān)系\(R\)具有自反性，則（）A.\((a,a)\inR\)對任意\(a\)屬于定義域B.\(R\)的關(guān)系矩陣主對角線元素全為1C.\(R\)的關(guān)系圖每個頂點有自回路D.\(R\)一定是等價關(guān)系答案：ABC4.下列哪些是歐拉圖的性質(zhì)（）A.連通圖B.每個頂點度數(shù)為偶數(shù)C.存在歐拉回路D.一定是平面圖答案：ABC5.對于命題公式\(p\land(q\veer)\)，下列說法正確的是（）A.成真賦值有多種B.可通過真值表判斷其類型C.等價于\((p\landq)\vee(p\landr)\)D.是矛盾式答案：ABC6.設(shè)\(A=\{a,b,c\}\)，以下哪些是\(A\)上的二元關(guān)系（）A.\(\{(a,a)\}\)B.\(\{(a,b),(b,c)\}\)C.\(A×A\)D.\(\varnothing\)答案：ABCD7.以下關(guān)于樹的說法正確的是（）A.無回路B.任意兩點間有唯一路徑C.邊數(shù)等于頂點數(shù)減1D.是連通圖答案：ABCD8.群\(G\)中元素\(a\)的階可能是（）A.1B.2C.3D.無限答案：ABCD9.下列哪些是邏輯等價的（）A.\(p\toq\)和\(\negp\veeq\)B.\(\neg(p\landq)\)和\(\negp\vee\negq\)C.\(p\land(q\veer)\)和\((p\landq)\veer\)D.\(p\leftrightarrowq\)和\((p\toq)\land(q\top)\)答案：ABD10.關(guān)于圖的連通分量，正確的是（）A.每個圖都有連通分量B.連通圖只有一個連通分量C.非連通圖有多個連通分量D.連通分量是極大連通子圖答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.“今天天氣真好！”是命題。（）答案：錯2.集合\(A\)包含于\(B\)，則\(A\)的元素個數(shù)一定小于\(B\)的元素個數(shù)。（）答案：錯3.對稱關(guān)系的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。（）答案：對4.有向圖中所有頂點入度之和等于出度之和。（）答案：對5.命題公式\(p\vee\negp\)是重言式。（）答案：對6.空集是任何集合的真子集。（）答案：錯7.一個圖是哈密頓圖一定是歐拉圖。（）答案：錯8.群中每個元素都有逆元。（）答案：對9.謂詞公式中量詞的轄域是唯一確定的。（）答案：對10.偏序關(guān)系一定是等價關(guān)系。（）答案：錯四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述集合的三種表示方法。答案：列舉法，如\(A=\{1,2,3\}\)；描述法，如\(A=\{x|x是偶數(shù)\}\)；圖示法，用文氏圖表示集合間關(guān)系。2.說明命題公式的成真賦值與成假賦值概念。答案：對于命題公式，當其中命題變元的一組取值使公式為真，這組取值就是成真賦值；使公式為假的取值就是成假賦值。3.簡述無向圖連通的定義。答案：無向圖中任意兩個頂點之間都存在路徑，則稱該無向圖是連通的。4.簡述等價關(guān)系與集合劃分的聯(lián)系。答案：集合\(A\)上的等價關(guān)系\(R\)可誘導出\(A\)的一個劃分，劃分中的塊是\(R\)的等價類；反之，\(A\)的一個劃分也能確定\(A\)上的一個等價關(guān)系。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論命題邏輯和謂詞邏輯的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：命題邏輯以命題為基本單位，不考慮命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)；謂詞邏輯深入到命題內(nèi)部分析。聯(lián)系：命題邏輯是謂詞邏輯基礎(chǔ)，謂詞邏輯包含命題邏輯，二者都用于邏輯推理和知識表示。2.討論圖論在實際生活中的應用實例。答案：如交通網(wǎng)絡(luò)，頂點代表地點，邊代表道路，可用于規(guī)劃路線；社交網(wǎng)絡(luò)，頂點是人，邊表示關(guān)系，能分析人際關(guān)系；電路設(shè)計中用圖表示電路結(jié)構(gòu)，方便分析和優(yōu)化。3.討論群的性質(zhì)在密碼學中的作用。答案：群的封閉性、結(jié)合律、單位元及逆元性質(zhì)，為密碼學提供了數(shù)學基礎(chǔ)。如在加密算法中利用群元素運算實現(xiàn)信息加密，利用逆元進行解密，保證信息安全和傳輸準確性。4.討論如何判斷一個關(guān)系是否為偏序