拋物線綜合試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.拋物線\(y=2x^{2}\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,\frac{1}{8})\)B.\((0,\frac{1}{2})\)C.\((\frac{1}{8},0)\)D.\((\frac{1}{2},0)\)2.拋物線\(y^{2}=-8x\)的準(zhǔn)線方程是（）A.\(x=2\)B.\(x=-2\)C.\(y=2\)D.\(y=-2\)3.拋物線\(y=x^{2}\)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.44.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為\(y\)軸，且過(guò)點(diǎn)\((-4,5)\)的拋物線方程是（）A.\(y^{2}=\frac{16}{5}x\)B.\(y^{2}=-\frac{16}{5}x\)C.\(x^{2}=\frac{16}{5}y\)D.\(x^{2}=\frac{32}{5}y\)5.拋物線\(y^{2}=4x\)上一點(diǎn)\(P\)到焦點(diǎn)\(F\)的距離是\(10\)，則\(P\)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A.9B.8C.6D.46.拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，過(guò)\(F\)且傾斜角為\(60^{\circ}\)的直線交拋物線于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，則\(|AB|\)等于（）A.8B.\(\frac{16}{3}\)C.12D.\(\frac{20}{3}\)7.拋物線\(x^{2}=2py(p\gt0)\)的焦點(diǎn)為\(F\)，其準(zhǔn)線與雙曲線\(\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{3}=1\)相交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，若\(\triangleABF\)為等邊三角形，則\(p\)等于（）A.\(6\)B.\(4\)C.\(3\)D.\(2\)8.若拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)上一點(diǎn)\(M\)到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為\(10\)和\(6\)，則\(p\)的值為（）A.2B.18C.2或18D.4或169.拋物線\(y=ax^{2}\)的準(zhǔn)線方程是\(y=2\)，則\(a\)的值為（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(-\frac{1}{8}\)C.8D.-810.已知拋物線\(C\)：\(y^{2}=x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，\(A(x_{0},y_{0})\)是\(C\)上一點(diǎn)，\(|AF|=\frac{5}{4}x_{0}\)，則\(x_{0}\)等于（）A.1B.2C.4D.8二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.對(duì)于拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)B.準(zhǔn)線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離D.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為\(p\)2.以下拋物線中，焦點(diǎn)在\(x\)軸正半軸上的有（）A.\(y^{2}=8x\)B.\(y^{2}=-8x\)C.\(x^{2}=8y\)D.\(x^{2}=-8y\)3.已知拋物線\(y^{2}=4x\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.其焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,0)\)B.準(zhǔn)線方程是\(x=-1\)C.拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3D.拋物線上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為24.設(shè)拋物線\(y^{2}=12x\)上一點(diǎn)\((m,n)\)，則（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((3,0)\)B.若\(m=3\)，則\(n=\pm6\)C.準(zhǔn)線方程為\(x=-3\)D.該拋物線的通徑長(zhǎng)為125.拋物線\(x^{2}=-2py(p\gt0)\)的性質(zhì)是（）A.焦點(diǎn)在\(y\)軸負(fù)半軸上B.準(zhǔn)線方程為\(y=\frac{p}{2}\)C.拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線距離相等D.當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大6.已知拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)弦\(AB\)，\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，則（）A.以\(AB\)為直徑的圓與準(zhǔn)線相切B.\(y_{1}y_{2}=-p^{2}\)C.\(x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4}\)D.\(|AB|=x_{1}+x_{2}+p\)7.以下關(guān)于拋物線的說(shuō)法，正確的有（）A.拋物線是軸對(duì)稱圖形B.拋物線\(y=ax^{2}\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,\frac{1}{4a})\)C.過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之積為\(\frac{p^{2}}{4}\)（\(p\)為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離）D.拋物線的離心率為18.已知拋物線\(y^{2}=4x\)，過(guò)點(diǎn)\((0,-2)\)的直線與拋物線相交于\(M\)，\(N\)兩點(diǎn)，設(shè)\(MN\)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為\(t\)，則（）A.直線斜率不為0B.當(dāng)直線斜率為1時(shí)，\(t=5\)C.\(t\geqslant1\)D.當(dāng)\(t=2\)時(shí)，直線方程為\(y=x-2\)或\(y=-x-2\)9.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)上一點(diǎn)\(P(x_{0},y_{0})\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.\(|PF|=x_{0}+\frac{p}{2}\)（\(F\)為焦點(diǎn)）B.若\(y_{0}^{2}=2px_{0}\)且\(x_{0}\gt0\)，則\(P\)在拋物線上C.到焦點(diǎn)\(F\)距離最小的點(diǎn)是頂點(diǎn)D.過(guò)\(P\)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)為\(2|y_{0}|\)10.對(duì)于拋物線\(x^{2}=4y\)，下列結(jié)論成立的是（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,1)\)B.準(zhǔn)線方程為\(y=-1\)C.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為3，則其縱坐標(biāo)為2D.過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最小值為4三、判斷題（每題2分，共20分）1.拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.（）2.拋物線\(x^{2}=-4y\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((0,-1)\)。（）3.拋物線\(y=2x^{2}\)的準(zhǔn)線方程是\(y=-\frac{1}{8}\)。（）4.拋物線\(y^{2}=2px(p\neq0)\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)。（）5.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為\(x\)軸且過(guò)點(diǎn)\((2,-\sqrt{2})\)的拋物線方程是\(y^{2}=-x\)。（）6.過(guò)拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，則\(|AB|\geqslant4\)。（）7.拋物線\(x^{2}=ay(a\neq0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((0,\frac{a}{4})\)。（）8.若拋物線\(y^{2}=-2px(p\gt0)\)上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，點(diǎn)到\(x\)軸距離為3，則\(p=4\)。（）9.拋物線\(y^{2}=16x\)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為9，則該點(diǎn)橫坐標(biāo)為7。（）10.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)為\(2p\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求拋物線\(y^{2}=12x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程。答：對(duì)于拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，這里\(2p=12\)，即\(p=6\)。焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)即\((3,0)\)，準(zhǔn)線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)即\(x=-3\)。2.已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為\(x\)軸，且過(guò)點(diǎn)\((-4,4)\)，求拋物線方程。答：設(shè)拋物線方程為\(y^{2}=-2px(p\gt0)\)，將點(diǎn)\((-4,4)\)代入得\(4^{2}=-2p\times(-4)\)，即\(16=8p\)，解得\(p=2\)，所以拋物線方程為\(y^{2}=-4x\)。3.拋物線\(x^{2}=-8y\)上一點(diǎn)\(P\)到焦點(diǎn)的距離是\(5\)，求\(P\)點(diǎn)縱坐標(biāo)。答：對(duì)于拋物線\(x^{2}=-2py(p\gt0)\)，這里\(2p=8\)，\(p=4\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)\((0,-2)\)，準(zhǔn)線方程\(y=2\)。設(shè)\(P\)點(diǎn)縱坐標(biāo)為\(y_{0}\)，由拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，可得\(2-y_{0}=5\)，解得\(y_{0}=-3\)。4.已知拋物線\(y^{2}=8x\)，過(guò)焦點(diǎn)\(F\)且垂直于\(x\)軸的直線交拋物線于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求\(|AB|\)。答：拋物線\(y^{2}=8x\)中，\(2p=8\)，\(p=4\)，焦點(diǎn)\(F(2,0)\)。過(guò)\(F\)且垂直\(x\)軸直線為\(x=2\)，代入\(y^{2}=8x\)得\(y^{2}=16\)，\(y=\pm4\)，則\(|AB|=|4-(-4)|=8\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.拋物線的定義在實(shí)際問(wèn)題中有哪些應(yīng)用示例？答：在汽車大燈設(shè)計(jì)中，利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，把燈泡放在焦點(diǎn)處，光線經(jīng)拋物線反射后平行射出；在衛(wèi)星接收天線制作上，天線制成拋物面，讓衛(wèi)星信號(hào)平行入射到拋物面上，反射后匯聚到焦點(diǎn)處的接收器，從而增強(qiáng)信號(hào)接收。2.探討如何根據(jù)拋物線的方程快速得出其關(guān)鍵幾何性質(zhì)（焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等）？答：對(duì)于拋物線\(y^{2}=2px(p\neq0)\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)\((\frac{p}{2},0)\)，準(zhǔn)線方程\(x=-\frac{p}{2}\)；\(y^{2}=-2px\)，焦點(diǎn)\((-\frac{p}{2},0)\)，準(zhǔn)線\(x=\frac{p}{2}\)；\(x^{2}=2py\)，焦點(diǎn)\((0,\frac{p}{2})\)，準(zhǔn)線\(y=-\frac{p}{2}\)；\(x^{2}=-2py\)，焦點(diǎn)\((0,-\frac{p}{2})\)，準(zhǔn)線\(y=\frac{p}{2}\)。通過(guò)方程形式直接套用規(guī)律得出。3.討論直線與拋物線相交時(shí)，如何利用韋達(dá)定理解決弦長(zhǎng)問(wèn)題？答：設(shè)直線方程\(y=kx+b\)，與拋物線方程聯(lián)立消去\(y\)得關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)。若交點(diǎn)\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，由韋達(dá)定理\(x_{1}+x_{2}=-\frac{a}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)。弦長(zhǎng)\(|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)。4.分析拋物線中焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，并說(shuō)明其重要性。答：焦點(diǎn)弦性質(zhì)：焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，則\(y_{1}y_{2}=-p^{2}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4}\)，\(|AB|=x_{1}+x_{2