2025年高二升高三數(shù)學暑假培優(yōu)講義第14講雙曲線含答案第14講雙曲線【知識點梳理】知識點一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.知識點詮釋：1．雙曲線的定義中，常數(shù)應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2．若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；3．若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；4．若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；5．若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點二：雙曲線的標準方程6．當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；7．當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標準方程統(tǒng)一為：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上。知識點詮釋：8．當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式。此時，雙曲線的焦點在坐標軸上。9．雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。10．雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。11．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。知識點三：求雙曲線的標準方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。知識點四：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線（a＞0，b＞0）的簡單幾何性質(zhì)范圍雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標滿足x≤-a或x≥a.對稱性對于雙曲線標準方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。頂點①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。②雙曲線的焦點總在實軸上。③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。③等軸雙曲線，所以離心率。漸近線經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。知識點四：雙曲線兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。知識點五：雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設為.知識點六：雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。雙曲線，如圖：（1）實軸長，虛軸長,焦距，（2）離心率：；（3）頂點到焦點的距離：，；【題型歸納目錄】題型一：雙曲線的定義、條件題型二：求雙曲線的標準方程題型三：雙曲線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題型六：求雙曲線的離心率題型七：求雙曲線離心率的取值范圍題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：雙曲線中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【典型題】題型一：雙曲線的定義、條件例1．（2022·上海·同濟大學第一附屬中學高二階段練習）已知點的坐標滿足，則動點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線例2．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二階段練習（文））平面上有兩個定點A，B及動點P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線”，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線例5．（2022·四川省資陽中學高二開學考試（文））已知定點，，M是上的動點，關于點M的對稱點為N，線段的中垂線與直線交于點P，則點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線例6．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））當時，方程所表示的曲線是（

）A．焦點在軸的橢圓 B．焦點在軸的雙曲線C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線例7．（2022·全國·高二課時練習）方程，若兩實數(shù)異號，則它的圖像是（

）．A．圓，且圓心在軸上 B．橢圓，且焦點在軸上C．雙曲線，且焦點在軸上 D．雙曲線，且焦點在軸上例8．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二學業(yè)考試）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（

）A． B． C． D．例9．（2021·西藏·拉薩中學高二階段練習）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（

）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，則和所表示的曲線只可能是下圖中的（

）A． B．C． D．例11．（2021·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，雙曲線的圖象大致是（

）A． B．C． D．題型二：求雙曲線的標準方程例12．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．例13．（2022·黑龍江·鐵人中學高二階段練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．例14．（2022·廣東汕尾·高二期末）中心在原點的雙曲線C的右焦點為，實軸長為2，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國·高二期末）已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點為，則雙曲線的標準方程為______．例16．（2022·上海市寶山中學高二期中）若雙曲線的一個焦點坐標為，實軸長為6，則它的標準方程是_______.例17．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線中心在原點，且以橢圓的焦點為頂點，焦距長為16，則雙曲線標準方程為______．例18．（2022·全國·高二課時練習）已知焦點?，雙曲線上的一點P到?的距離差的絕對值等于6，雙曲線的標準方程為___________.例19．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩點，的雙曲線的標準方程為______．例20．（2022·全國·高二課時練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為___________.例21．（2022·全國·高二課時練習）求以橢圓的焦點為頂點，以橢圓長軸的頂點為焦點的雙曲線方程.例22．（2022·全國·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)，，焦點在x軸上；(2)焦點為?，經(jīng)過點.例23．（2022·全國·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點為，，且雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2；(2)焦點在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點；(3)經(jīng)過點，.例24．（2022·全國·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦距為6，頂點為，；(2)頂點為，，虛軸長為2；(3)實軸長和虛軸長相等，且經(jīng)過點．例25．（2022·全國·高二課時練習）求與橢圓有相同焦點，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方程.題型三：雙曲線的綜合問題例26．（2022·安徽·高二階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例27．（2022·新疆·烏魯木齊101中學高二期中（文））設，是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且，則的面積等于（

）A．6 B．12 C． D．例28．（2022·河南·舞陽縣第一高級中學高二階段練習（理））已知，分別為雙曲線的左、右焦點，若點到該雙曲線漸近線的距離為1，點P在雙曲線上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．例29．（2022·江西撫州·高二階段練習（理））已知點和是雙曲線的兩個焦點，過點作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．例30．（2022·四川·射洪中學高二期中）直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例31．（2022·江西撫州·高二階段練習（文））雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．2例32．（2022·廣東·大埔縣虎山中學高二階段練習）已知雙曲線是其左右焦點.圓，點P為雙曲線C右支上的動點，點Q為圓E上的動點，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8題型四：軌跡方程例33．（2022·河南洛陽·高二期末（文））在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例34．（2022·河南·高二階段練習（理））已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（

）A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1例35．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二階段練習（文））一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓的軌跡方程是（

）A．（） B．（）C． D．例36．（2022·河北邢臺·高二期末）設，，，則動點P的軌跡方程為______，P到坐標原點的距離的最小值為______．例37．（2022·全國·高二課時練習）已知平面內(nèi)兩定點，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是___________.例38．（2022·全國·高二課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．例39．（2022·全國·高二單元測試）若動圓與兩定圓及都外切，則動圓圓心的軌跡方程是___________.例40．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.例41．（2022·遼寧遼陽·高二期末）設，則動點P的軌跡方程為________．例42．（2022·四川樂山·高二期末（理））從雙曲線上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.例43．（2022·江蘇·高二）已知，，若點滿足，則P點的軌跡是什么，并求點P的軌跡方程.例44．（2022·全國·高二課時練習）已知，兩點，動點P滿足直線PA和直線PB的斜率之積為1，求動點P的軌跡方程，并指出其軌跡的圖形.例45．（2022·江蘇·高二課時練習）已知點M(x,y)到定點F(c,0)的距離和它到定直線l：x＝的距離之比是常數(shù)(c>a>0)，求點M的軌跡方程．例46．（2022·江蘇·高二課時練習）求下列動圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切．例47．（2022·江蘇·高二課時練習）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直線AB，AC的斜率之積為求頂點A的軌跡方程．例48．（2022·江蘇·高二課時練習）已知定圓和的半徑分別為1和2，，動圓M與圓內(nèi)切，且與圓外切．試建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗鰟訄A圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線．例49．（2022·全國·高二課時練習）如果過點的直線與過點的直線相交于點M，而且兩直線斜率的乘積為a，其中．(1)求點M的軌跡方程；(2)討論M的軌跡是何種曲線．例50．（2022·黑龍江·大慶市東風中學高二開學考試）雙曲線，?為其左右焦點，是以為圓心且過原點的圓.(1)求的軌跡方程；(2)動點在上運動，滿足，求的軌跡方程.題型五：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例51．（2022·江西撫州·高二階段練習（文））雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．2例52．（2022·上海理工大學附屬中學高二期中）雙曲線與雙曲線具有共同的（

）A．實軸 B．虛軸 C．焦點 D．漸近線例53．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線方程下列說法中正確的有（

）A．焦點坐標B．該雙曲線的圖象過點C．焦距為10D．雙曲線上存在點P，使得且例54．（2022·江蘇·高二）設表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為（

）.A． B．2k C． D．例55．（2022·河南·舞陽縣第一高級中學高二階段練習（文））已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的一條漸近線的斜率可能是（

）A． B． C． D．例56．（2022·江蘇·高二）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．例57．（多選題）（2022·福建廈門·高二期末）曲線，則（

）A．C上的點滿足， B．C關于x軸、y軸對稱C．C與x軸、y軸共有3個公共點 D．C與直線只有1個公共點例58．（多選題）（2022·廣東茂名·高二期中）在平面直角坐標系xoy中，已知雙曲線，則（

）A．實軸長為B．漸近線方程為C．離心率為2D．過雙曲線的右焦點且傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，則例59．（2022·北京市第五中學高二期中）雙曲線的一條漸近線方程為，則______________，雙曲線的焦距為_____________．例60．（2022·江蘇·高二）雙曲線=1的右焦點F到其中一條漸近線的距離為________.例61．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的焦距是______．例62．（2022·全國·高二課時練習）若三個點，，中恰有兩個點在雙曲線上，則___________.例63．（2022·湖北省羅田縣第一中學高二階段練習）已知直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，若三角形ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為_________.例64．（2022·河南·濮陽一高高二期中（理））若雙曲線C的方程為，記雙曲線C的左、右頂點為A，B．弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB交點為M，其軌跡為曲線T，則曲線T的離心率為________．例65．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．例66．（2022·上海市崇明中學高二期中）與雙曲線有相同的漸近線，且過點的雙曲線的標準方程為_________.例67．（2022·全國·高二期末）與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線方程為______．例68．（2022·全國·高二課時練習）求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點的坐標、離心率和漸近線方程：(1)；(2)．題型六：求雙曲線的離心率例69．（2022·江蘇·高二）若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例70．（2022·江蘇·高二）若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3例71．（2022·江蘇·高二）中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的一條漸近線過點，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例72．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線C的頂點為，，虛軸的一個端點為B，且是一個等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．例73．（2022·江西·上高二中模擬預測（理））已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．例74．（2022·四川·成都七中高二階段練習（文））已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于M，N兩點，且，則此雙曲線的離心率為（

）A．5 B． C． D．例75．（2022·山西·懷仁市大地學校高中部高二階段練習）雙曲線的右焦點為，雙曲線C的一條漸近線與以為直徑的圓交于點（異于點O），與過F且垂直于軸的直線交于，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．3 C．5 D．例76．（2022·湖北·高二階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點作平行于其中一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例77．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，，線段與雙曲線的左支相交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．例78．（2022·河南洛陽·高二階段練習（文））橢圓:=1（）的中心在坐標原點，為左焦點，為右頂點，為短軸的端點，當丄時，橢圓的離心率為，我們稱此類橢圓為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率為（

）A． B．C． D．例79．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的焦點為，，雙曲線的焦點為，，若四邊形是正方形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例80．（2022·北京市第十二中學高二期中）已知橢圓與雙曲線焦點重合，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例81．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高二階段練習）已知，是雙曲線的左?右焦點，過作斜率為的直線，分別交軸和雙曲線右支于點，，且，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．例82．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習（文））已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．例83．（2022·廣東·潮州市綿德中學高二階段練習）已知雙曲線C：，為坐標原點，為雙曲線的左焦點，若的右支上存在一點，使得外接圓的半徑為，且四邊形為菱形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．例84．（2022·陜西·長安一中高二期末（理））已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．例85．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高二期中（文））已知雙曲線（a>0，b>0）的一條漸近線方程為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．題型七：求雙曲線離心率的取值范圍例86．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．例87．（2022·河南·高二階段練習（文））已知雙曲線的左，右焦點分別為，點，若C的右支上的任意一點M滿足，則C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．例88．（2022·江西贛州·高二階段練習（文））圓上有四個點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．例89．（2022·河北·臨城中學高二開學考試）已知雙曲線的焦距大于，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例90．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二期末（文））過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于A，兩點，若雙曲線的對稱中心不在以線段為直徑的圓內(nèi)部，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例91．（2022·湖南邵陽·高二期末）設為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．例92．（2022·廣東廣州·高二期末）已知，是雙曲線的左，右焦點，經(jīng)過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例93．（多選題）（2022·江蘇·高二）已知雙曲線，則（

）A．雙曲線的焦點在軸上B．雙曲線的焦距等于C．雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于D．雙曲線的離心率的取值范圍為例94．（2022·黑龍江·大慶外國語學校高二期末）已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____．例95．（2022·廣西·昭平中學高二階段練習（理））已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過作軸的垂線與雙曲線交于，兩點，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.例96．（2022·云南·會澤縣實驗高級中學校高二階段練習）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點?，曲線和在第一象限相交于點P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.例97．（2022·河南鄭州·高二期末（文））若點P為雙曲線上任意一點，則P滿足性質(zhì)：點P到右焦點的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點Q，使得Q到左焦點的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．例98．（2022·廣西·賓陽中學高二期末（文））已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，P為兩曲線的一個公共點，且（O為坐標原點）．若，則的取值范圍是______．例99．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））雙曲線與直線相交于兩個不同的點，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.例100．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高二階段練習（文））若雙曲線的左、右焦點為、，若在其漸近線上存在一點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為______．例101．（2022·河南·高二階段練習（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點是圓上一個動點，且線段的中點在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________．題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍例102．（2022·甘肅·民勤縣第一中學高二期末（理））雙曲線的離心率的取值范圍為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例103．（2022·北京市第五十七中學高二期末）已知橢圓和雙曲線的離心率之積為，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A． B． C． D．例104．（2022·新疆·哈密市第一中學高二期末（理））若雙曲線的離心率，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例105．（2022·河南三門峽·高二期末（文））若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2例106．（2021·云南文山·高二期末（理））若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例107．（2021·江蘇·高二單元測試）已知雙曲線的離心率為2，分別是雙曲線的左、右焦點，點，，點為線段上的動點，當取得最大值和最小值時，的面積分別為，則（

）A．4 B．8 C． D．例108．（2021·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學高二期中（理））雙曲線的離心率為2，則k的值為（

）A．-35 B．19 C．-5 D．12例109．（多選題）（2022·浙江衢州·高二階段練習）已知曲線：，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點，則例110．（多選題）（2022·云南·江川一中高二階段練習）已知橢圓與雙曲線有共同的左右焦點，，設橢圓和雙曲線其中一個公共點為P，且滿足，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則關于和，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．例111．（多選題）（2022·湖北·武漢市黃陂區(qū)第一中學高二階段練習）已知橢圓與雙曲線，有公共焦點（左焦點），（右焦點），且兩條曲線在第一象限的交點為，若△是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，且，則（

）A． B．C． D．例112．（2022·陜西西安·高二期末（理））焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.例113．（2022·山西·運城市景勝中學高二階段練習）若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長的取值范圍為___________.例114．（2022·江蘇·高二）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.題型九：雙曲線中的范圍與最值問題例115．（2022·廣東·大埔縣虎山中學高二階段練習）已知雙曲線是其左右焦點.圓，點P為雙曲線C右支上的動點，點Q為圓E上的動點，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8例116．（2022·河南宋基信陽實驗中學高二階段練習（理））已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為，，過C的右支上一點P作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若的最小值為，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．例117．（2022·廣東茂名·高二期末）已知橢圓1（a＞b＞0）與雙曲線1（m＞0，n＞0）具有相同焦點F1、F2，P是它們的一個交點，且∠F1PF2，記橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，則3e12+e22的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5設|PF1|＝s，|PF2|＝t，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m與c的關系，結(jié)合離心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．【詳解】設|PF1|＝s，|PF2|＝t，P為第一象限的交點，由橢圓和雙曲線的定義可得s+t＝2a，s－t＝2m，解得s＝a+m，t＝a－m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2，∴，可得，即有，即，可得則3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，當且僅當，即，取得最小值3．故選：B．例118．（2022·甘肅·民勤縣第一中學高二期末（文））已知點P是雙曲線上的動點，過原點O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例119．（2022·陜西·西安中學高二期末（理））已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6例120．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）設F是雙曲線的左焦點，，P是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．9例121．（2022·全國·高二期末）若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．例122．（2022·甘肅·蘭州一中高二期末（文））橢圓與雙曲線有相同的焦點，，離心率互為倒數(shù)，為橢圓上任意一點，則角的最大值為（

）A． B． C． D．例123．（多選題）（2022·河北邯鄲·高二期末）已知雙曲線的上?下焦點分別為，，點P在雙曲線C的上支上，點，則下列說法正確的有（

）A．雙曲線C的離心率為B．的最小值為8C．周長的最小值為D．若內(nèi)切圓的圓心為M，則M點的縱坐標為3例124．（2022·湖南·長沙市南雅中學高二期中）設雙曲線C：的左焦點和右焦點分別是，，點A是C右支上的一點，則的最小值為___________.例125．（2022·廣東珠?！じ叨谀┮阎p曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是________.例126．（2022·重慶市清華中學校高二階段練習）已知為雙曲線的右支上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為________.例127．（2022·全國·西北工業(yè)大學附屬中學高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線的離心率e的最大值為________．例128．（2022·全國·高二課時練習）若方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)a的取值范圍是______．例129．（2022·全國·高二課時練習）若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___________.例130．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線，P是雙曲線上一點.(1)求證：點到雙曲線兩條漸近線的距離的乘積是一個定值.(2)已知點，求的最小值.例131．（2022·江蘇·高二課時練習）已知點A(3,2),F(2,0)，點P在雙曲線x2－＝1上．(1)當|PA|＋|PF|最小時，求點P的坐標；(2)求|PA|＋|PF|的最小值．則|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2≥|AF′|－2＝.所求|PA|＋|PF|的最小值為.題型十：焦點三角形例132．（2022·新疆·烏魯木齊101中學高二期中（文））設，是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且，則的面積等于（

）A．6 B．12 C． D．例133．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的左?右焦點分別是?，過的弦AB與其右支交于A?B兩點，，則的周長為（

）A． B． C． D．例134．（2022·河北·衡水市第二中學高二期中）已知雙曲線：的上、下焦點分別為，，為雙曲線上一點，且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．例135．（2022·重慶·高二期末）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，且，點是的右支上一點，且，，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．例136．（2022·重慶·西南大學附中高二期末）已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8例137．（2022·吉林·梅河口市第五中學高二開學考試）已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的周長為（

）A． B． C． D．例138．（2022·江西贛州·高二期末（理））設雙曲線與橢圓：有公共焦點，.若雙曲線經(jīng)過點，設為雙曲線與橢圓的一個交點，則的余弦值為（

）A． B． C． D．例139．（2022·天津和平·高二期末）雙曲線的兩個焦點分別是，點是雙曲線上一點且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．例140．（2022·全國·高二）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，線段的長為5，若，那么的周長是（

）A．16 B．18 C．21 D．26例141．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的右焦點為，是雙曲線的左支上一點，，則的周長的最小值為（

）A． B．C． D．例142．（2022·天津南開·高二期末）過雙曲線的右焦點有一條弦是左焦點，那么的周長為（

）A．28 B． C． D．例143．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線交雙曲線右支于A、B兩點，若是等腰三角形，且，則的周長為（

）A． B． C． D．第14講雙曲線【知識點梳理】知識點一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.知識點詮釋：1．雙曲線的定義中，常數(shù)應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2．若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；3．若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；4．若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；5．若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點二：雙曲線的標準方程6．當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；7．當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標準方程統(tǒng)一為：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上。知識點詮釋：8．當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式。此時，雙曲線的焦點在坐標軸上。9．雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。10．雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。11．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。知識點三：求雙曲線的標準方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。知識點四：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線（a＞0，b＞0）的簡單幾何性質(zhì)范圍雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標滿足x≤-a或x≥a.對稱性對于雙曲線標準方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。頂點①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。②雙曲線的焦點總在實軸上。③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。③等軸雙曲線，所以離心率。漸近線經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。知識點四：雙曲線兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。知識點五：雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設為.知識點六：雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。雙曲線，如圖：（1）實軸長，虛軸長,焦距，（2）離心率：；（3）頂點到焦點的距離：，；【題型歸納目錄】題型一：雙曲線的定義、條件題型二：求雙曲線的標準方程題型三：雙曲線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題型六：求雙曲線的離心率題型七：求雙曲線離心率的取值范圍題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：雙曲線中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【典型題】題型一：雙曲線的定義、條件例1．（2022·上?！ね瑵髮W第一附屬中學高二階段練習）已知點的坐標滿足，則動點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表示的幾何意義，結(jié)合雙曲線定義，可判斷答案.【詳解】點的坐標滿足,即動點,到定點距離減去到的距離，差等于4，即,且，故動點P的軌跡是雙曲線的一支，故選：B例2．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二階段練習（文））平面上有兩個定點A，B及動點P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線”，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】若，則點P的軌跡是一條射線，故甲推不出乙；若點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線，則或，其中，為雙曲線的實半軸長，故不是定值，故乙推不出甲，故選：D.例3．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義即可求解.【詳解】解：由題意，因為，所以由雙曲線的定義知，當時，動點的軌跡為雙曲線，故選：C.例4．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【解析】【分析】由題意得到A，B兩個哨所的距離差為定值，小于A，B兩個哨所之間的距離，滿足雙曲線的定義，可解.【詳解】設炮彈爆炸點為P，則，故炮彈爆炸點的軌跡是雙曲線.故選：D.例5．（2022·四川省資陽中學高二開學考試（文））已知定點，，M是上的動點，關于點M的對稱點為N，線段的中垂線與直線交于點P，則點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圖分析點P到，的距離只差可知.【詳解】由題意及圖可知，，因為O、M分別為的中點，所以，所以故點P的軌跡是以，為焦點，2為實軸長的雙曲線.故選：A例6．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））當時，方程所表示的曲線是（

）A．焦點在軸的橢圓 B．焦點在軸的雙曲線C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線【答案】D【解析】【分析】化簡方程，然后判斷表示的曲線即可．【詳解】當ab＜0時，方程化簡得，∴方程表示雙曲線．焦點坐標在y軸上；故選：D．例7．（2022·全國·高二課時練習）方程，若兩實數(shù)異號，則它的圖像是（

）．A．圓，且圓心在軸上 B．橢圓，且焦點在軸上C．雙曲線，且焦點在軸上 D．雙曲線，且焦點在軸上【答案】D【解析】【分析】把變形為即可得到答案.【詳解】解：因為異號，所以，.方程變形為：，進而變形為：.此方程是焦點在軸上的雙曲線的標準方程.故選：D.【點睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的辨析，屬于基礎題.例8．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二學業(yè)考試）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由方程確定，求出后得離心率，列不等式可得范圍．【詳解】由題意雙曲線的離心率為，，．故選：C．例9．（2021·西藏·拉薩中學高二階段練習）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（

）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【答案】B【解析】【分析】就不同的取值結(jié)合曲線方程的形式逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，當m＞n＞0時，有，方程化為，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，由m＝n＞0，方程變形為，該方程表示半徑為的圓，故B錯誤；對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為，故C正確；對于D，當m＝0，n＞0時，方程變?yōu)閚y2＝1表示兩條直線，故D正確．故選：B.例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，則和所表示的曲線只可能是下圖中的（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】分別討論，、，、，三種情況時和所表示的曲線，結(jié)合排除法即可得正確選項.【詳解】因為，當，時，不表示任何曲線，當，時，表示焦點在軸上的雙曲線，直線表示過第一、三、四的直線，故選項D正確；當，時，表示焦點在軸上的雙曲線，直線表示過第一、二、四的直線，故選項B不正確；當，時，表示橢圓，直線表示過第一、二、三的直線，故選項A、C不正確；故選：D.例11．（2021·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，雙曲線的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線特征，直接判斷選項.【詳解】A是橢圓的圖象，B是圓的圖象，C是直線的圖象，D是雙曲線的圖象.故選：D題型二：求雙曲線的標準方程例12．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出a,b即可求得答案.【詳解】由題意，，則，結(jié)合條件可知，雙曲線的標準方程為.故選：C.例13．（2022·黑龍江·鐵人中學高二階段練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的焦點坐標，利用雙曲線的定義可求得的值，再由可求得的值，結(jié)合雙曲線的焦點位置可求得雙曲線的標準方程.【詳解】橢圓的焦點坐標為，設雙曲線的標準方程為，由雙曲線的定義可得，，，，因此，雙曲線的方程為.故選：C.例14．（2022·廣東汕尾·高二期末）中心在原點的雙曲線C的右焦點為，實軸長為2，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進行求解即可．【詳解】解：設雙曲線的方程為．由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：．故選：D．例15．（2022·全國·高二期末）已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點為，則雙曲線的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)列出方程組得出標準方程.【詳解】因為漸近線為，所以，解得即雙曲線的標準方程為故答案為：例16．（2022·上海市寶山中學高二期中）若雙曲線的一個焦點坐標為，實軸長為6，則它的標準方程是_______.【答案】【解析】【分析】求得，由此求得雙曲線的標準方程.【詳解】由于雙曲線的一個焦點坐標為，所以雙曲線的焦點在軸上，，實軸長，，所以雙曲線的標準方程是.故答案為：例17．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線中心在原點，且以橢圓的焦點為頂點，焦距長為16，則雙曲線標準方程為______．【答案】【解析】【分析】化橢圓方程為標準方程，求出焦點坐標，從而可得，再根據(jù)雙曲線的焦距可得，再求出，即可得解.【詳解】解：橢圓化為標準方程，則橢圓的交點坐標為，設雙曲線標準方程為，則，由題意雙曲線的焦距，則，所以，所以雙曲線標準方程為.故答案為：.例18．（2022·全國·高二課時練習）已知焦點?，雙曲線上的一點P到?的距離差的絕對值等于6，雙曲線的標準方程為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合焦點坐標，即可求得，從而解得其標準方程.【詳解】因為雙曲線的焦點為?，故可設其方程為，且，根據(jù)雙曲線的定義，由題可得：，即，故，則所求所曲線方程為：.故答案為：.例19．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩點，的雙曲線的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設出雙曲線方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】設雙曲線方程為，依題意有，解得，所以所求雙曲線的標準方程為：.故答案為：例20．（2022·全國·高二課時練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為___________.【答案】【解析】【分析】由橢圓的標準方程可知，橢圓的焦點在軸上并求出焦點，由此可設雙曲線的標準方程為，將點代入，即可求出結(jié)果.【詳解】∵橢圓的焦點為，∴所求雙曲線的焦點為，設雙曲線方程為，把代入，得，解得或（舍），∴雙曲線的標準方程為．故答案為：.例21．（2022·全國·高二課時練習）求以橢圓的焦點為頂點，以橢圓長軸的頂點為焦點的雙曲線方程.【答案】【解析】【詳解】橢圓∴a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9且橢圓焦點在y軸上∴雙曲線的焦距是2×5＝10，實軸長為2×3＝6，虛軸長為8即a＝3，b＝4，c＝5∵焦點在y軸上∴雙曲線方程為：例22．（2022·全國·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)，，焦點在x軸上；(2)焦點為?，經(jīng)過點.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法去求滿足條件的雙曲線的標準方程；（2）待定系數(shù)法去求滿足條件的雙曲線的標準方程.(1)由題設知，，，由，得.因為雙曲線的焦點在x軸上，所以所求雙曲線的標準方程為；(2)由已知得，且焦點在y軸上.因為點在雙曲線上，所以點A與兩焦點的距離的差的絕對值是常數(shù)2a，即，則，.因此，所求雙曲線的標準方程是.例23．（2022·全國·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點為，，且雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2；(2)焦點在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點；(3)經(jīng)過點，.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）設出雙曲線方程，根據(jù)，結(jié)合雙曲線定義，即可求得結(jié)果；（2）設出雙曲線方程，根據(jù)，即可求得結(jié)果；（3）設出雙曲線方程，待定系數(shù)，即可求得雙曲線方程.(1)因為雙曲線的焦點在軸上，故可設方程為：，又焦點為，，故可得，又雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2，即，則，又.故雙曲線方程為：.(2)因為雙曲線焦點在軸上，故可設雙曲線方程為，又其焦距為10，故可得；又該雙曲線過點，則，故，故雙曲線方程為：.(3)不妨設雙曲線方程為：，因其過點，，故可得，聯(lián)立方程組可得：，故所求雙曲線方程為：.例24．（2022·全國·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦距為6，頂點為，；(2)頂點為，，虛軸長為2；(3)實軸長和虛軸長相等，且經(jīng)過點．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）設雙曲線方程，由題意可求得，繼而求得，可得答案；（2）設雙曲線方程，由題意可求得，可得答案；（3）設雙曲線方程，由題意可求得，將點的坐標代入方程中，求得，可得答案；(1)設雙曲線的標準方程為，則，故，所以雙曲線的標準方程為；(2)設雙曲線的標準方程為，則，故，所以雙曲線的標準方程為；(3)若設雙曲線的標準方程為，其中，即，將代入雙曲線方程，得：，故，所以雙曲線的標準方程為；若設雙曲線的標準方程為，其中，即，將代入雙曲線方程，得：，解得，不合題意，所以雙曲線的標準方程為；例25．（2022·全國·高二課時練習）求與橢圓有相同焦點，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方程.【答案】【解析】【分析】設出所求雙曲線的方程，待定系數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】設所求雙曲線方程為：，因為其過點，故可得：，整理得，即，解得（舍）或，故所求雙曲線方程為：.題型三：雙曲線的綜合問題例26．（2022·安徽·高二階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知條件畫出曲線，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】曲線由三段曲線組成，分別是：雙曲線?圓?雙曲線，其中是那兩段雙曲線的漸近線，曲線如下圖所示，，其中代表曲線C上任一點到直線的距離，距離的最大值即為圓的半徑，雙曲線無限趨近于漸近線，由此可知距離，故的取值范圍為，故選：.例27．（2022·新疆·烏魯木齊101中學高二期中（文））設，是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且，則的面積等于（

）A．6 B．12 C． D．【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出及，再求出焦距即可計算作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，半焦距，因此，，因，由雙曲線定義得，解得，，顯然有，即是直角三角形，所以的面積.故選：A例28．（2022·河南·舞陽縣第一高級中學高二階段練習（理））已知，分別為雙曲線的左、右焦點，若點到該雙曲線漸近線的距離為1，點P在雙曲線上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離結(jié)合條件求出，然后由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得出，由條件求出,，結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，因為點到該雙曲線漸近線的距離為1，所以．由題意，則

（1）由余弦定理可得（2）將（1）代入（2）可得．因為，所以，，所以，故的面積為．故：D例29．（2022·江西撫州·高二階段練習（理））已知點和是雙曲線的兩個焦點，過點作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不妨取雙曲線的一條漸近線為，利用點到直線的距離公式求出，再求出的方程，聯(lián)立求出的坐標，即可得到，再根據(jù)，即可求出漸近線方程；【詳解】解：依題意不妨取雙曲線的一條漸近線為，，，所以到直線的距離，又的斜率為，所以的方程為，由，解得，即，所以，因為，所以，即，即，又，所以，所以漸近線方程為；故選：B例30．（2022·四川·射洪中學高二期中）直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用“點差法”求出l的斜率，再驗證作答.【詳解】設點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2.故選：C例31．（2022·江西撫州·高二階段練習（文））雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的方程求出焦點坐標和漸近線方程，再利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果【詳解】由，得，漸近線方程為，由雙曲線的對稱性，不妨取雙曲線的右焦點，一條漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為，故選：C例32．（2022·廣東·大埔縣虎山中學高二階段練習）已知雙曲線是其左右焦點.圓，點P為雙曲線C右支上的動點，點Q為圓E上的動點，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設知，，，，圓的半徑由點為雙曲線右支上的動點知，∴∴.故選：A題型四：軌跡方程例33．（2022·河南洛陽·高二期末（文））在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得．【詳解】解：如圖設與圓的切點分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．例34．（2022·河南·高二階段練習（理））已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（

）A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義求解【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A例35．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二階段練習（文））一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓的軌跡方程是（

）A．（） B．（）C． D．【答案】D【解析】【分析】結(jié)合圓相切時滿足的條件以及雙曲線的定義即可求出結(jié)果.【詳解】設動圓的半徑為，由題意知，圓的圓心坐標為，半徑為4．動圓與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，所以，所以，即動點到兩定點的距離之差為常數(shù)4，所以點在以，為焦點的雙曲線上，所以，，所以，所以動圓的軌跡方程是．故選：D.例36．（2022·河北邢臺·高二期末）設，，，則動點P的軌跡方程為______，P到坐標原點的距離的最小值為______．【答案】

l【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到動點的軌跡方程，從而求出到坐標原點的距離的最小值；【詳解】解：因為，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支．因為，，所以，，，所以動點P的軌跡方程為．故P到坐標原點的距離的最小值為．故答案為：；；例37．（2022·全國·高二課時練習）已知平面內(nèi)兩定點，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是___________.【答案】【解析】【分析】直接由定義判斷出M的軌跡是雙曲線，再由待定系數(shù)法求方程即可.【詳解】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，設雙曲線方程為，由可得，故點M的軌跡方程是.故答案為：.例38．（2022·全國·高二課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．【答案】(或).【解析】【分析】設直線為聯(lián)立雙曲線，根據(jù)交點情況有求m范圍，再應用韋達定理求出弦的中點坐標，進而確定其軌跡方程，注意范圍.【詳解】設直線為，與雙曲線交點為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點為，所以弦的中點的軌跡方程為(或).故答案為：(或)例39．（2022·全國·高二單元測試）若動圓與兩定圓及都外切，則動圓圓心的軌跡方程是___________.【答案】【解析】【分析】求出兩個圓的圓心和半徑，設動圓圓心為的半徑為，，結(jié)合雙曲線的定義即可求解.【詳解】設圓為可得圓心，半徑，設圓為可得圓心，半徑，且，設動圓圓心為，半徑為，因為動圓同時與圓外切和圓外切，所以，，所以，所以點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，所以，，，所以動圓的圓心的軌跡方程為：.故答案為：.例40．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)動圓同時與圓及圓外切，即可得到幾何關系，再結(jié)合雙曲線的定義可得動點的軌跡方程.【詳解】由題，設動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：例41．（2022·遼寧遼陽·高二期末）設，則動點P的軌跡方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得答案.【詳解】因為，所以動點P的軌跡是焦點為A，B，實軸長為4的雙曲線的上支．因為，所以，所以動點P的軌跡方程為．故答案為：.例42．（2022·四川樂山·高二期末（理））從雙曲線上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，設，進而根據(jù)中點坐標公式及點P在已知雙曲線上求得答案.【詳解】由題意，設，則，則，即，因為，則，即的軌跡方程為.例43．（2022·江蘇·高二）已知，，若點滿足，則P點的軌跡是什么，并求點P的軌跡方程.【答案】當時，軌跡是直線，軌跡方程為：；當時，軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，軌跡方程為；當時，軌跡是射線，軌跡方程為；當時，點不存在.【解析】【分析】分，，和，由分別求軌跡方程即可.【詳解】當時，易知，即點在的垂直平分線上，故P點的軌跡是直線，軌跡方程為：；當時，由，知P點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，設雙曲線方程為，又知，故軌跡方程為；當時，由知P點的軌跡是射線，軌跡方程為；當時，顯然滿足的點不存在.綜上：當時，軌跡是直線，軌跡方程為：；當時，軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，軌跡方程為；當時，軌跡是射線，軌跡方程為；當時，點不存在.例44．（2022·全國·高二課時練習）已知，兩點，動點P滿足直線PA和直線PB的斜率之積為1，求動點P的軌跡方程，并指出其軌跡的圖形.【答案】軌跡方程為，軌跡圖形為雙曲線（除去兩個頂點）【解析】【分析】設，根據(jù)斜率的乘積可得軌跡方程及圖形.【詳解】設，則，其中.故即，軌跡圖形為雙曲線（除去兩個頂點）.例45．（2022·江蘇·高二課時練習）已知點M(x,y)到定點F(c,0)的距離和它到定直線l：x＝的距離之比是常數(shù)(c>a>0)，求點M的軌跡方程．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩點間距離公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意知點M到定點和定直線的距離之比是常數(shù)，所以，即(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得．因此，點M的軌跡方程為．例46．（2022·江蘇·高二課時練習）求下列動圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）分析可知圓心的軌跡是以點、分別為上、下焦點的雙曲線的下支，求出、的值，可得出圓心的軌跡方程；（2）分析可知圓心的軌跡是以點、分別為左、右焦點的雙曲線的左支，求出、的值，可得出圓心的軌跡方程.(1)解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為，則圓與圓外離，設圓的半徑為，由題意可得，所以，，所以，圓心的軌跡是以點、分別為上、下焦點的雙曲線的下支，設圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心的軌跡方程為.(2)解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為，則圓與圓外離，設圓的半徑為，由題意可得，所以，，所以，圓心的軌跡是以點、分別為左、右焦點的雙曲線的左支，設圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心的軌跡方程為.例47．（2022·江蘇·高二課時練習）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直線AB，AC的斜率之積為求頂點A的軌跡方程．【答案】．【解析】【分析】設出點坐標，利用直線的斜率乘積列方程，化簡求得的軌跡方程.【詳解】設A(x，y)，則，根據(jù)題意有，化簡得∴頂點A的軌跡方程為．例48．（2022·江蘇·高二課時練習）已知定圓和的半徑分別為1和2，，動圓M與圓內(nèi)切，且與圓外切．試建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線．【答案】，點軌跡為以為焦點的雙曲線的左支.【解析】【分析】以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立空間直角坐標系，根據(jù)題意得到（常數(shù)），結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.【詳解】由題意，定圓和的半徑分別為1和2，且，以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，設動圓的圓心為，半徑為，因為動圓M與圓內(nèi)切，且與圓外切，則滿足，所以（常數(shù)）且，根據(jù)雙曲線的定義，可得點軌跡為以為焦點的雙曲線的一支，且，可得，所以，所以所求軌跡方程為，即點軌跡為以為焦點的雙曲線的左支.例49．（2022·全國·高二課時練習）如果過點的直線與過點的直線相交于點M，而且兩直線斜率的乘積為a，其中．(1)求點M的軌跡方程；(2)討論M的軌跡是何種曲線．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）設，根據(jù)題意，列出方程，化簡即可得答案.（2）分別分析、、和時方程的性質(zhì)，分析即可得答案.(1)由題意得兩直線斜率存在，且都不為0，設點，則，整理得：點M的軌跡方程為(2)由（1）可得點M的軌跡方程為，當時，點M的軌跡方程為焦點在x軸，實軸為12，虛軸為的雙曲線，且；當時，點M的軌跡方程為焦點在x軸，長軸為12，短軸為的橢圓，且；當時，點M的軌跡方程為焦點在y軸，長軸為12，短軸為的橢圓，且；當時，點M的軌跡方程為以原點為圓心，半徑為6的圓，且.例50．（2022·黑龍江·大慶市東風中學高二開學考試）雙曲線，?為其左右焦點，是以為圓心且過原點的圓.(1)求的軌跡方程；(2)動點在上運動，滿足，求的軌跡方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由雙曲線的右焦點作為圓心，以半焦距為半徑的圓，可以直接寫出圓的標準方程即可.（2）求解軌跡方程求誰設誰，設，用點M的坐標表示點P的坐標，帶入方程即可得到答案