第頁，共頁2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)階段性考試試題2025.4注意事項：1.答卷時，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】直接運用導(dǎo)數(shù)的減法運算法則和導(dǎo)數(shù)公式，對求導(dǎo)得，再將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】解：已知，則，所以.故選：B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的減法運算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及某點處的導(dǎo)數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2.等差數(shù)列中，為其前項的和，若，，則（）A.50 B.100 C.400 D.500【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差求和公式即可代入求解.【詳解】，故選：D3.已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間上的極大值點的個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】通過導(dǎo)函數(shù)的圖象得到導(dǎo)函數(shù)的符號，進而得到原函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷出極大值個數(shù).【詳解】極大值點在導(dǎo)函數(shù)的零點處，且滿足零點的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知極大值點共有3個.故選:B.4.我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C5.已知數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通過歸納得到數(shù)列的周期為3，即得解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以數(shù)列的周期為3，因為，所以.故選：B6.若函數(shù)有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，令，解出極值點，由的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)有三個不同零點，可得極大值大于零，極小值小于零，解出即可.【詳解】令，即，解得：或，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，、上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極小值：，當(dāng)時，取極大值：，有三個不同零點，∴，解得：，∴實數(shù)的取值范圍是：.故選：A.7.數(shù)學(xué)與文化有許多奇妙的聯(lián)系，如詩詞中有回文詩回文聯(lián)“上海自來水來自海上”，既可以順讀又可以逆讀數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如“343，12521”，兩位數(shù)的回文數(shù)11，22，33等，則三位數(shù)的偶數(shù)回文數(shù)的個數(shù)為（）A.40 B.45 C.50 D.54【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，先分析要求“三位數(shù)的偶數(shù)回文數(shù)”的個位和百位數(shù)字，可知其有4種情況，而對于十位數(shù)字，沒有限制，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，三位數(shù)的偶數(shù)回文數(shù)的個位和百位數(shù)字相同，必須為2、4、6、8中的1個，有4種情況，對于十位數(shù)字，沒有限制，有10種情況，則三位數(shù)的偶數(shù)回文數(shù)有個.故選：A.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)后討論單調(diào)性，再根據(jù)題意可得，進而解不等式即可.【詳解】由題知函數(shù)的定義域為，，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；因為函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以，，解得，所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前項和，且，則（）A. B.C. D.、均為的最大值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及其前項和的性質(zhì)，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，，所以，，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，故C錯誤；因為由題意得，，所以，，故D正確；故選：BD10.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】求出每個選項中函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，并驗證是否對任意的恒成立，由此可得出合適的選項.【詳解】對于A，，，當(dāng)時，，，，故在上不是凸函數(shù)；對于B，，對任意的，，故在上是凸函數(shù)；對于C，，對任意的，，故在上是凸函數(shù)；對于D，，對任意的，，故在上不是凸函數(shù).故選：BC11.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.單調(diào)遞減 B.在處取得極大值C.有兩個不同零點 D.在處的切線方程為【答案】BD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)探討單調(diào)性、極值及零點判斷ABC；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上遞增，在遞減，對于A，由函數(shù)在上遞增，得A錯誤；對于B，在處取得極大值，B正確；對于C，函數(shù)在上遞增，且，而當(dāng)時，恒有，函數(shù)只有1個零點，C錯誤；對于D，，因此在處切線方程為，D正確.故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與曲線相切，則______．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式計算即得.【詳解】由求導(dǎo)得，設(shè)切點為，則切線的斜率為，解得，則切點坐標(biāo)為，將代入直線，得，解得，所以.故答案為：13.已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，現(xiàn)從這三個班中任選1人去參加活動，則不同的選法共有_______________種.【答案】125【解析】【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得.【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選法共有種．故答案為：12514.數(shù)列的首項，且（為正整數(shù)），令，則______.【答案】【解析】【分析】由已知變形可得，可知數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，可求出的通項公式，進而可得出數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列的求和公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為數(shù)列的首項，且（為正整數(shù)），則，且，所以數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，故，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上最值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）最小值為，最大值為4【解析】【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合第一問求出最小值，再比較端點值求出最大值.【小問1詳解】定義域為R，，令得：或，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知：在處取得極小值，且為最小值，故，又因為，而，所以，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為416.已知是等差數(shù)列的前n項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．【答案】（1）；（2）n=4時取得最大值.【解析】【分析】（1）利用公式，進行求解；（2）對進行配方，然后結(jié)合由，可以求出的最大值以及此時的值.【詳解】（1）由題意可知：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，顯然成立，∴數(shù)列的通項公式；（2），由，則時，取得最大值28，∴當(dāng)為4時，取得最大值，最大值28．【點睛】本題考查了已知求，以及二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)的取值范圍求最大值是解題的關(guān)鍵.17.設(shè)數(shù)列的前項和為，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，求使對所有的都成立的最大正整數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用關(guān)系及等比數(shù)列的定義求通項公式，進而由等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列.（2）利用裂項相消法求，即得，將問題轉(zhuǎn)化為求解集，即可得的最大正整數(shù)值.【詳解】（1）依題意，，故，當(dāng)時，①，又②，②-①得：，又，即，所以，故為等比數(shù)列，則，所以，故，即是首項、公差均為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知：=，所以，由題設(shè)，，解得：，故所求最大正整數(shù)為5.18.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助與的關(guān)系，消去即可得；（2）借助錯位相減法求和即可得.【小問1詳解】由，則當(dāng)時，有，則，即，當(dāng)時，，即，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即；【小問2詳解】由，故，則，故，則，即，故.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【小問1詳解】因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】方法一