等閡假版隱

一、等積模型

①等底等高的兩個三角形面積相等：

②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；

兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖"ZE；

反之，^^S&ACD=S&BCD,則可知直線46平行于CO.

④等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半：

⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.

二、共角定理（鳥頭定理）

兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的爽積之比.

三、蝴蝶定理

任意四邊形中的比例關系（“蝴蝶定理”）：

①Sj：S2=S4：S3或者S|XS3=S2XS4②4O：OC=（S]+S2）:（S4+Sj

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四

邊形的面積關系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系.

梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）：

①，：S3="2:b2

②51:22

Sy:S2:S4=a:b:ab:ab.

③S的對應份數(shù)為（”+b）.

四、相似模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

ADAEDEAF

①ABACBCAG.

②S△山：SgBC=AFAG.

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似）,

與相似三角形相關的常用的性質(zhì)及定理如下：

⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比：

⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

⑶連接三角町兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半.

相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉(zhuǎn)化的工具.

在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形.

五、共邊定理（燕尾定理）

有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。

SNPAB="

S~QM

共邊定理：設直線AB與PQ交于點M,則'QAB

特殊情況：當PQ〃AB時，易知APAB與4QAB的高相等，從而SZ\PAB=SZ\QAB

后初題弱圖

一、鳥頭定理

.I.,111…三角形DEF的面積KYA

【例1】如圖16-4,已知.AE=-AC,CD=-BC,BF=-AB,那么三角形ABC的面積等于多少?

【鞏固】如圖，在△48C中，延長44至。，使40=44,延長4。至￡,使CE=、BC,*是力C的中

2

點，若△48C的面積是2,則△￡）￡*尸的面積是多少？

二、三角形相似模型

［例2］如圖，三角形PDW的面積是8平方厘米，長方形/8CO的長是6厘米，寬是4厘米，"是8c

的中點，則三角形，4尸力的面積是平方厘米.

【鞏固】如圖，三角形48。的面枳為60平方厘米，D、E、產(chǎn)分別為各邊的中點，那么陰影部分的面積

是平方厘米.

【例3】如圖，已知S/uac=14,點。，瓦尸分別在48,8C,C4上，且4D=2,BD=5,4F=FC,

S四邊形。詆=S—BE則$4ABE是多少？

【鞏固】如圖，48co為正方形，/M=N8=OE=R7=lcm且MN=2cm,請問四邊形PQRS的面積為

多少？

三、蝴蝶模型

【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形08c的面積是%?小,問三角形40。的面積是多少？

【鞏固】如圖，梯形48CD中，MOB、AC。。的面積分別為1.2和2.7,求梯形48CZ）的面積.

【例S】如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則

三角形1的面積為.

【鞏固】如圖，正方形48。面積為3平方厘米，M是力。邊上的中點.求圖中陰影部分的面積.

【例6】在下圖的正方形/16C。中，￡是4。邊的中點，力￡與8。相交于尸點，三角形8樣的面積為1

平方厘米，那么正方形44co面積是平方厘米.

【鞏固】右圖中力8。。是梯形，力是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影

部分的面積是平方厘米.

［例7］上是平行四邊形/也的CO邊上的一點，BD、HE相交于點E已知三角形的面積是6,

三角形DEF的面積是4,求四邊形BCEF的面積為多少？

【鞏固】如圖所示，8。、。尸將長方形/8C。分成4塊，40匹產(chǎn)的面積是5平方厘米，ACEO的面積是

10平方厘米.問：四邊形48痔的面積是多少平方厘米？

【例8】如圖所示，BD、C”將長方形48CQ分成4塊，的面積是4平方厘米，ACEQ的面枳是

6平方厘米.問：四邊形力8M的面積是多少平方厘米？

【鞏固】如圖，長方形ABCD被CE、。尸分成四塊，己知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那

么余下的四邊形O“5C的面積為平方厘米.

【例9】正方形43co的邊長為6,E是夕C的中點（如圖）。四邊形OECO的面積為。

【鞏固】如圖，長方形48CO中，力。8是直角三角形且面積為54,。。的長是16,08的長是9.那么四

邊形OECD的面積是.

四、燕尾定理

【例10］如右圖，面積為1的中，BD:DE:EC=\:2:\,CF:FG:GA=］:2:\,AH:H/:IB=\:2:\,

求陰影部分面積.

【鞏固】如圖，A/1BC的面積為1,點。、E是8。邊的三等分點，點/、G是4。邊的三等分點，那么

四邊形的面積是多少？

【隨練1】四個面積為1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積.

【隨練2】已知圖中每個正六邊形的面積都是1,則圖中虛線圍成的五邊形46CQE的面枳是.

II

溫今

【作業(yè)1］僅用下圖這把刻度尺，最少測量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面積比。

【作業(yè)2】如圖，正方形/8CQ中,E、F、G、〃分別為各邊的中點，J為GQ的中點，EJ交CD于八

已知正方形/4CZ）邊長為10“〃，則圖中陰影部分的面積是cm2.

【作業(yè)3】如圖，三角形48C的面積是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形月8c被分成9部分,

請寫出這9部分的面積各是多少？

【作業(yè)4】如圖，S...ABC=\,BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE,AF=FG.求

【作業(yè)