朝廈版圖

本講中的行程問題是特殊場地行程問題之一。是多人(一般至少兩人)多次相遇或追及的過程解決

多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合

理的線段圖進(jìn)行分析。

一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：

路程和=相遇時(shí)間X速度和

路程差二追及時(shí)間X速度差

二、解環(huán)形跑道問題的一般方法：

環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行,

則每追上一圈相遇一次.這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。

環(huán)線型

同一出發(fā)點(diǎn)直徑兩端

同向：路程差nSnSS

相對(duì)(反向)：路程和nSnS-S

后做］題弱榜

【例1】兩輛電動(dòng)小汽車在周長為360米的圓形道上不斷行駛，甲車每分行駛20米.甲、乙兩車同時(shí)分

別從相距9()米的A,B兩點(diǎn)相背而行，相遇后乙車立即返回，甲車不改變方向，當(dāng)乙車到達(dá)B點(diǎn)

時(shí)，甲車過B點(diǎn)后恰好又回到A點(diǎn).此時(shí)甲車立即返回(乙車過B點(diǎn)繼續(xù)行駛)，再過多少分與

乙車相遇？

【鞏固】周長為400米的圓形跑道上，有相距1()()米的A,B兩點(diǎn).甲、乙兩人分別從A,3兩點(diǎn)同時(shí)相背

而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到A時(shí)，乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑

的速度和方向都不變，那么甲追上乙時(shí)，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米？

【例2】甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)A出發(fā)，沿周長6千米的同形跑道以相反的方向行駛.甲車每小時(shí)行駛

65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米.一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上

一車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離有多少米？

【鞏固】二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時(shí)同地同

向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時(shí)二人都要擊掌。問第十五次擊掌

時(shí)，甲走多長時(shí)間乙走多少路程？

【例31下如右圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長300米的正方形.甲、乙兩人分別從兩

個(gè)對(duì)角處沿逆時(shí)針方向同時(shí)出發(fā).如果甲每分走9Q米，乙每分走70米，那么經(jīng)過多少時(shí)間甲才

能看到乙？

【鞏固】如圖，一個(gè)長方形的房屋長13米，寬8米.甲、乙兩人分別從房屋的兩個(gè)墻角出發(fā)，甲每秒鐘

行3米，乙每秒鐘行2米.問：經(jīng)過多長時(shí)間甲第一次看見乙？

［例4］如圖，長方形ABCD中AB\BOB：4。位于4點(diǎn)的第一只螞蟻按力-4一C一j月的方向，位于C

點(diǎn)的第二只螞蟻按。的方向同時(shí)出發(fā)，分別沿著長方形的邊爬行。如果兩只螞蟻第

一次在8點(diǎn)相遇，則兩只螞蚊第二次相遇在()邊上。

(A)AB(B)BC9CD

【鞏固】甲、乙兩人從周長為160()米的正方形水池ABCI)相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)繞池邊沿

A-B-C-D-A的方向行走。甲每分行50米，乙每分行46米，甲、乙第一次在同一邊上行走，

是發(fā)生在出發(fā)后的第多少分？第一次在同一邊上行走了多少分？

［例5］在一個(gè)周長90厘米的圓上，有三個(gè)點(diǎn)將圓周三等分。A,B,C三個(gè)爬蟲分別在這三點(diǎn)上，它們每

秒依次爬行10厘米、5厘米、3厘米。如果它們同時(shí)出發(fā)按順時(shí)針方向沿圓周爬行，那么它們第

一次到達(dá)同一位置需多長時(shí)間？

【鞏固】如圖2,一個(gè)邊長為50米的正方形圍墻，甲、乙兩人分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿鬧墻按順時(shí)

針方向運(yùn)動(dòng)，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，則至少經(jīng)過秒甲、乙走到正方形的

同一條邊上。

［例6］如圖所示，大圈是4。0米跑道，由A到8的跑道長是200米，直線距離是50米。父子倆同時(shí)從A

點(diǎn)出發(fā)逆時(shí)針方向沿跑道進(jìn)行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到8點(diǎn)便沿直線泡。父親每100

米用20秒，兒子每100米用19秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時(shí)，第一次與父

親相遇？

【鞏固】如圖，學(xué)校操場的40。米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒

6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針方向跑,兩人同時(shí)從兩跑

道的交點(diǎn)A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí)，甲共跑了多少米？

【例7】三個(gè)環(huán)行跑道如圖排列，每個(gè)環(huán)行跑道周長為210厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從A、8兩地按箭

頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號(hào)環(huán)行跑道作“8”字形循環(huán)運(yùn)動(dòng)，乙爬蟲繞3,2號(hào)環(huán)行跑道

作“8”字形循環(huán)運(yùn)動(dòng)，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘20厘米和每分鐘15厘米，甲、

乙兩爬蟲第二次相遇時(shí)，甲爬蟲爬了多少厘米？

【鞏固】一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A,B,C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它

們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.人的速度是10厘米/秒，4的速度是5厘米/秒，C

的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？

［例8］下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)

出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問：當(dāng)小圓上甲蟲爬了，圈時(shí)，兩只甲

蟲首次相距最遠(yuǎn)？

【鞏固】如圖，兩個(gè)圓環(huán)形跑道，大圓環(huán)的周長為600米，小圓環(huán)的周長為400米。甲的速度為每秒6米，

乙的速度為每秒4米。甲、乙二人同時(shí)由A點(diǎn)起跑，方向如圖所示，甲沿大圓環(huán)跑一圈，就跑上

小圓環(huán)，方向不變，沿小圓環(huán)跑一圈，乂跑上大圓環(huán)，方向也不變；而乙只沿小圓環(huán)跑。問：甲、

乙可能相遇的位置距離4點(diǎn)的路程是多少？（路程按甲跑的計(jì)算）

［例9］甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時(shí)從跑道的同一地點(diǎn)向相反方向跑去。相遇后

甲比原來速度增加2米/秒，乙比原來速度減少2米/秒，結(jié)果都用24秒同時(shí)回到原地。求

甲原來的速度。

【鞏固】環(huán)形跑道周長是500米，甲、乙兩人從起點(diǎn)按順時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)。甲每分跑120米，乙每分跑

100米，兩人都是每胞200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分？

【例10］如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點(diǎn)背向出發(fā)跑步。跑道右半部分（粗線部分）

道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥濘

道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑卜.去.問：他們第99次迎面相遇的地方距A點(diǎn)還

有米。

【鞏固】甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，每人

跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，的第一圈時(shí)，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第

二圈時(shí)速度比第一圈提高了1/3；乙跑第二圈時(shí)速度提高了1/5.已知沿跑道看從甲、乙兩人第

二次相遇點(diǎn)到第一次相遇點(diǎn)的最短路程是190米，那么這條橢圓形跑道長多少米？

【例11］如圖3-5,正方形AECD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上時(shí)速是90千米，在BC上的時(shí)速是120

千米，在CD上的時(shí)速是60千米，在DA上的時(shí)速是80千米.從CD上一點(diǎn)P,同時(shí)反向各發(fā)出一輛

汽車,它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC的中點(diǎn)M,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB上一點(diǎn)

N相遇.問A至N的距離除以N至B的距離所得到的商是多少？

【鞏固】一條環(huán)形道路，周長為2千米.甲、乙、丙3人從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，每人環(huán)行2周.現(xiàn)有自行車

2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎.已知

甲步行的速度是每小時(shí)5千米，乙和丙步行的速度是每小時(shí)4千米，3人騎車的速度都是每小時(shí)

20千米.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種走法，使3個(gè)人2輛車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘？

【隨練1】卜圖是一個(gè)玩具火車軌道，A點(diǎn)有個(gè)變軌開關(guān)，可以連接6或者C小圈軌道的周長是1.5米,

大圈軌道的周長是3米.開始時(shí)，A連接心火車從月點(diǎn)出發(fā)，按照順時(shí)針方向在軌道上移動(dòng),

同時(shí)變軌開關(guān)每隔1分鐘變換一次軌道連接.若火車的速度是每分鐘1。米,則火車第10次向

至IJ/I點(diǎn)時(shí)用了秒鐘.

【隨練2】如圖所示，甲沿長為400米大圓的跑道順時(shí)針跑步，乙則沿兩個(gè)小圓八字形跑步（圖中給出跑動(dòng)

路線的次序：1-2-3-4-1-）o如果甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，且甲、乙二人的速度分

別是每秒3米和5米，問兩人第三次相遇的時(shí)間是出發(fā)后秒。

【隨練3】如圖，8時(shí)10分,有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距6（）米的A,B兩地順時(shí)針方向沿長方形

ABCD的邊走向D點(diǎn).甲8時(shí)20分至UD點(diǎn)后，丙、丁兩人立即以相同速度從D點(diǎn)出發(fā).丙由D向A

走去,8時(shí)24分與乙在E點(diǎn)相遇：丁由D向C走去，8時(shí)30分在F點(diǎn)被乙追上.問三角形BEF的

面積為多少平方米？

1

Q

【作業(yè)1】在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到

達(dá)B點(diǎn)，乂過8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？

【作業(yè)2】甲、乙、丙在湖邊散步，三人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，繞湖行走，甲速度是每小時(shí)5.4千米，乙速

度是每小時(shí)4.2千米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個(gè)小時(shí)后甲和丙相遇，

在過5分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？

【作業(yè)3】下圖是一個(gè)邊長90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)針每分行75米，乙順時(shí)

針每分行45米.兩人第一次在CD邊（不包括C,D兩點(diǎn)）上相遇，是出發(fā)以后的第幾次相遇？

【作業(yè)4】如圖是一個(gè)跑道的示意圖，沿AC8E4走一圈是400米，沿AC8D4走一圈是275米，其中A到8

的直線距離是75米.甲、乙二人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)練習(xí)長跑，甲沿AC8D4的小圈跑，每100米用

24秒，乙沿AC8EA的大圈跑，每100米用21秒，問：

⑴乙跑第幾圈時(shí)第一次與甲相遇？

（2）發(fā)多長時(shí)