1（二）有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念發(fā)展學(xué)生的空間觀念是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的一個重要目標(biāo)，也是“圖形與幾何”教學(xué)的核心目標(biāo)之一。在三維圖形與二維圖形的轉(zhuǎn)化過程中學(xué)生要經(jīng)歷對圖形的想象、重組和構(gòu)建的過程，在將數(shù)學(xué)或生活語言所描述的情景繪制成實(shí)際情景的過程中，學(xué)生的空間觀念將得到發(fā)展。2（三）有助于培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣3二、“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容和編排（一）圖形與幾何歷史簡介幾何學(xué)起源于埃及尼羅河泛濫后土地重新測量的需要；4古埃及地理位置

埃及是古代文明的發(fā)祥地之一。“埃及是尼羅河賜予的禮物”，尼羅河由南向北縱貫埃及，在紅海、利比亞沙漠和撒哈拉沙漠之間滋潤出一條狹長的綠洲，在這里產(chǎn)生了古埃及文明。5幾何這個詞最早來自于希臘語“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε?ν”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術(shù)。后來拉丁語化為“geometria”。英語「geometry」幾何「geo」代表的是土地，「metrein」指的是測量。6中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創(chuàng)。7利瑪竇利瑪竇

(MatteoRicci;1552

1610)意大利傳教士1606年與徐光啟合作翻譯《幾何原本》前6卷。8徐光啟徐光啟（1562?1633）嘉靖41年?崇禎6年字子先，號玄扈，上海徐家匯人。1606年與利瑪竇合作翻譯《幾何原本》前6卷。首先引進(jìn)「幾何」一詞。9在人們獲得了直線、圓等形的概念以后，而進(jìn)一步利用筆直的木棍作出直線，利用樹杈作出圓形的時候，他們已經(jīng)基本上掌握了這些圖形的性質(zhì)。在西安半坡遺址中，發(fā)現(xiàn)圓、正方形的房屋地基（圖8-），并在出土的陶器碎片上發(fā)現(xiàn)了大量的幾何圖形（圖8-）。1011古代埃及的數(shù)學(xué)吉薩金字塔(公元前2600年)（剛果，1978）1213（2）中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展?jié)h像磚伏羲女媧執(zhí)規(guī)矩圖14女媧伏羲執(zhí)規(guī)矩圖黃帝時代隸首作數(shù)15中國考古文物上的幾何圖案16測量幾何量必須有一個單位，即“量具”。最早的量具是很粗糙的，那時候最簡單、最方便的量具莫過于人體的某一部分。我國古代常用“步”作為長度單位。在西方，也有類似的例子。例如，英文中呎的原意足（foot），碼（yard）則來源于腰圍（gyrgand）之長等。17幾何符號的出現(xiàn)簡化了復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，使得數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用成為可能。18第一學(xué)段的主要內(nèi)容是：認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形，感受平移、旋轉(zhuǎn)、對稱現(xiàn)象，學(xué)習(xí)描述物體相對位置的一些方法，進(jìn)行簡單的測量活動，建立初步的空間觀念。第二學(xué)段的主要內(nèi)容是：了解一些簡單幾何體和平面圖形的基本特征，進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形變換和確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念。（二）小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)內(nèi)容19事實(shí)上，小學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容經(jīng)歷了從偏重求積計算發(fā)展到增加圖形的概念和性質(zhì)、從偏重知識傳授轉(zhuǎn)變到重視空間觀念的培養(yǎng)的變化過程。20（三）“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容的編排特點(diǎn)“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容不是嚴(yán)格按照知識的邏輯順序呈現(xiàn)，而以圖形的認(rèn)識為主線，根據(jù)兒童的生理和心理特征，按圖形內(nèi)容的邏輯關(guān)系來構(gòu)建內(nèi)容體系。采用“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用于拓展、反思”的基本模式展現(xiàn)內(nèi)容，而不是“公理定義—定理性質(zhì)—例題—習(xí)題”的結(jié)構(gòu)形式。211.“圖形的認(rèn)識”教學(xué)內(nèi)容的編排特點(diǎn)“圖形的認(rèn)識”的編排順序是：感知立體圖形—辨認(rèn)平面圖形—角和直角—長方形、正方形的認(rèn)識—銳角和鈍角—認(rèn)識線段、射線和直線—角—相交和平行一認(rèn)識平行四邊形和梯形—三角形—長方體和正方體—圓—圓柱和圓錐。22一年級設(shè)置了認(rèn)識三維立體圖形（如長方體、正方體、圓柱體、球體）的教學(xué)內(nèi)容；二至四年級編排了認(rèn)識二維平面圖形（角、線段、直線、射線、長方形、正方形、三角形、四邊形）的教學(xué)內(nèi)容；而五、六年級的教學(xué)內(nèi)容既包括長方體、正方體、圓柱、圓錐等三維幾何體的特征性質(zhì)也包括二維平面圖形圓的認(rèn)識。23教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)大都采用直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何的方式，設(shè)置的情境貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活和日常經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生獲得對簡單的幾何體和平面圖形的直觀經(jīng)驗(yàn)，逐步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。242.“測量”教學(xué)內(nèi)容編排的特點(diǎn)“測量”的教學(xué)內(nèi)容不是單純的圖形面積和體積的計算，而是強(qiáng)調(diào)對量的實(shí)際意義的理解，讓學(xué)生在參與測量的過程中，自己選擇測量的工具和測量方法，從而進(jìn)一步掌握有關(guān)測量的知識和技能。253.“圖形的運(yùn)動”教學(xué)內(nèi)容編排的特點(diǎn)“圖形的運(yùn)動”教學(xué)內(nèi)容突出了與生活的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)活動經(jīng)驗(yàn)的積累。

4.“圖形與位置”教學(xué)內(nèi)容編排的特點(diǎn)“圖形與位置”教學(xué)內(nèi)容的編排采用了辨認(rèn)方向——確定位置——描述路線的順序。26

三、“圖形與幾何”的教學(xué)要求（一）關(guān)注“圖形與幾何”知識的形成過程一般地說，在“圖形與幾何”教學(xué)過程中，教師針對圖形、測量、位置、變換等原發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行教學(xué)加工，設(shè)計一個學(xué)生可接受、可操作、可實(shí)現(xiàn)、可理解的的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生去揭示或感受知識發(fā)生的前提或原因，使其認(rèn)識和了解數(shù)學(xué)的概念、公式、例題以及應(yīng)用產(chǎn)生的背景和發(fā)展的過程。271.創(chuàng)設(shè)問題情景，展現(xiàn)知識的發(fā)現(xiàn)過程創(chuàng)設(shè)問題情景，就是要為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膶?shí)際問題和知識背景，提出符合學(xué)生認(rèn)知水平的思考問題，經(jīng)過學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、比較，作出猜想，為“圖形與幾何”知識的形成奠定感性基礎(chǔ)。以“角”這一概念的教學(xué)為例，首先設(shè)置摸紙片的活動，“布袋里有五個硬紙片（圖8-），你能從布袋里把某個硬紙片摸出來嗎？”通過摸紙片，讓學(xué)生初步感受角的形狀特征。28角——（視頻）292.增加實(shí)驗(yàn)操作，再現(xiàn)結(jié)論的探究過程如一年級小學(xué)生在直觀認(rèn)識正方形時，通過自己動手對折正方形紙片，能夠認(rèn)識到正方形“四邊相等”這一特征。又如，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和時，通過撕角、拼角把三角形紙片上的三個內(nèi)角拼成一個平角，證明了三角形的內(nèi)角和是180°。303.精心設(shè)計問題，揭示解決問題的思維過程數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，通過問題的解決來啟迪和發(fā)展學(xué)生的思維，在完成“圖形與幾何”知識學(xué)習(xí)的同時，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。三角形的面積計算（視頻）31（二）“圖形與幾何”的實(shí)際背景1.生活實(shí)際背景“圖形與幾何”教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和己有的知識出發(fā)，充分利用現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際背景去理解知識；對稱（李彬課件）322.生產(chǎn)實(shí)踐背景結(jié)合生產(chǎn)實(shí)踐和生活實(shí)際去教學(xué)，探索知識發(fā)生、發(fā)展的背景，使學(xué)生靈活掌握和應(yīng)用所學(xué)的知識，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。如計算做一個油箱用多少鐵皮應(yīng)求六個面的面積，計算粉刷游泳池需要求四周和底面的五個面的面積，333.幾何發(fā)展史背景例如：教學(xué)“圓的認(rèn)識”時介紹一下圓周率的演變發(fā)展的過程，特別介紹圓周率的計算過程。34（三）重視直觀感性材料的作用1.實(shí)物直觀2.模型直觀3.圖像直觀35四、小學(xué)生幾何思維的發(fā)展

在20世紀(jì)50年代末，范希爾夫婦（PierrevanHiele&DinavanHiele）在格式塔心理學(xué)和皮亞杰發(fā)生認(rèn)識論的基礎(chǔ)上提出了幾何思維水平的理論。從整體上把幾何思維分為五個層次，即視角辨認(rèn)層次、分析層次或描述層次、非形式的演繹層次、形式演繹層次以及嚴(yán)密性層次；并提出了相應(yīng)的教學(xué)策略。3637為了更準(zhǔn)確地反映小學(xué)生幾何思維的發(fā)展，應(yīng)在范·希爾夫婦所說的五個水平上再增加一個新的水平——水平0(前認(rèn)知)。38介紹小學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展階段。1.水平0：前認(rèn)知學(xué)生能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，但因感覺活動的缺乏，他們可能只注意形狀直觀特征的某些部分，不能認(rèn)識到其中的組成部分。392.水平1：視覺對小學(xué)生而言，他們能按照外觀識別圖形，在心理上把這些圖形表示為直觀圖形，例如學(xué)生可能會因?yàn)椤叭切蜗袢髦危L方形像門”區(qū)分三角形和長方形。然而，學(xué)生不關(guān)心圖形的幾何性質(zhì)和本質(zhì)特征，因此不能正確區(qū)分正方形和菱形，而認(rèn)為兩種圖形是“相等”的。403.水平2：分析學(xué)生開始分析圖形的組成要素，能借助觀察、測量、畫圖和建模等手段經(jīng)驗(yàn)地建立圖形的性質(zhì)特征，并依據(jù)性質(zhì)特征識別圖形，但不能解釋圖形的某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也不能識別不同類圖形之間的關(guān)系。例如，無論三角形在形狀上有多大的差異，學(xué)生都通過三條邊和三個角的特征性質(zhì)，準(zhǔn)確地識別各種形態(tài)的三角形，但是沒有構(gòu)建邊和角的聯(lián)系，即不能理解三角形內(nèi)角越大，對應(yīng)邊越長的性質(zhì)。414.水平3：非形式化演繹學(xué)生能形成抽象的定義，開始注意圖形與圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，進(jìn)一步探索圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，因而能分層次地將圖形進(jìn)行分類，并使用公式與定義對這些類別進(jìn)行非形式化的論證。42第二節(jié)圖形與幾何概念與技能教學(xué)一、圖形的認(rèn)識（一）空間觀念的理解1.空間觀念的基本成分《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對空間觀念培養(yǎng)作了如下描述：“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等”。43在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，空間觀念主要包含如下基本成分。（1）圖形的識別與理解能力（2）圖形的分解與組合能力（3）圖形的建構(gòu)與探索能力（4）對圖形的運(yùn)動與變換的欣賞（5）利用幾何直觀解決問題能力44密鋪的例子452.小學(xué)生空間觀念發(fā)展的心理特點(diǎn)（1）直觀性小學(xué)生的認(rèn)知水平基本上處于“具體運(yùn)算階段”，認(rèn)識幾何圖形主要通過動手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、畫一畫等活動），尤其是低年級學(xué)生，對圖形的感知往往偏重于對象的直觀性較強(qiáng)的屬性特征，對那些不太明顯的屬性特征和比較抽象的幾何概念的理解比較困難。46（2）描述性小學(xué)生往往傾向于用日常用語來描述幾何概念，對于精確的、嚴(yán)格的幾何概念，往往很難理解。但需要注意，直觀具體的日常語言描述幾何概念具有兩面性。47一方面，當(dāng)日常用語與科學(xué)概念一致時，有助于學(xué)生逐步建立空間觀念，如對“三角形”的描述，會更多地借用日常經(jīng)驗(yàn)中的“三角”，或?qū)Α罢叫巍泵枋鰹椤胺綁K”，并會用這種描述來作為圖形的識別圖式。另一方面，當(dāng)日常用語與科學(xué)概念不一致時，會影響準(zhǔn)確科學(xué)的幾何概念的形成，從而干擾正確的空間觀念的建立。如學(xué)生容易受到日常用語“角是尖的”這一概念的干擾，對于平角和周角的認(rèn)識產(chǎn)生困難，并且學(xué)生在實(shí)物中往往指著頂點(diǎn)說”角”，影響了“從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形”這一角的概念的形成。48（3）漸進(jìn)性小學(xué)生形成幾何概念、理解圖形性質(zhì)以及維數(shù)的認(rèn)識，都需要一個逐步發(fā)展的漸進(jìn)過程。首先，小學(xué)生對幾何概念的理解不是一步到位的，而是一個漸進(jìn)的過程，這個過程與小學(xué)生空間思維水平發(fā)展的階段性相關(guān)。其次，小學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)?zāi)軌虬l(fā)現(xiàn)幾何對象的性質(zhì)特征，但是對于不同對象的性質(zhì)特征關(guān)系的理解往往比較困難。再次，小學(xué)生維數(shù)的認(rèn)識也是漸進(jìn)的過程，從二維空間發(fā)展到三維空間是相當(dāng)困難的。49（4）標(biāo)準(zhǔn)性雖然標(biāo)準(zhǔn)圖形有利于小學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)特征，但是標(biāo)準(zhǔn)圖形的呆板、單一，會在學(xué)生頭腦中形成思維定勢，忽視了事物的變化發(fā)展，混淆了幾何圖形的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征。因此，在教學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)圖形和變式圖形要結(jié)合運(yùn)用，使用標(biāo)準(zhǔn)圖形，喚起學(xué)生生活中已有的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對圖形本質(zhì)特征的認(rèn)識。503.小學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)首先，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)。教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識”——切土豆其次，空間觀念在發(fā)展的過程中逐步形成。再次，空間觀念的形成需要自主探索與合作交流的氛圍。51（二）一般幾何圖形的認(rèn)識1.影響小學(xué)生認(rèn)識幾何圖形的因素（1）原有經(jīng)驗(yàn)（2）圖形的綜合性與線性的文字表征相比，幾何圖形往往帶有更多的相關(guān)或背景因素。在概念的形成過程中，一個常見的障礙是“把不重要但卻是一般的特征看作為概念的重要特征”。由此導(dǎo)致的錯誤包括：①角必須有一條水平的射線；②直角是指向右邊的；52（3）視覺信息的表征小學(xué)生最初是以視覺辨認(rèn)幾何圖形，而不是用形體特征去分析，因此視覺信息的表征是影響小學(xué)生形體概念發(fā)展的一個重要因素。研究表明，大多數(shù)學(xué)生表達(dá)視覺信息都有一段困難時期，尤其當(dāng)任務(wù)是由二維工具（如紙和筆）表達(dá)三維情景（如由小的磚塊搭成的大樓）或反過來，這種維度上的差異會導(dǎo)致視覺上的“失真”，并引起直覺上的誤解，如把正方體的上、下、左、右四個面看成是平行四邊形。532.一般幾何圖形認(rèn)識的教學(xué)策略（1）借助直觀，逐步抽象，解釋幾何圖形的基本特征（2）運(yùn)用變式，多方理解，強(qiáng)化幾何圖形的基本特征（3）重視幾何圖形分類的價值54（三）特殊幾何圖形認(rèn)識1.角的認(rèn)識（1）角的形成與發(fā)展數(shù)學(xué)中角的概念可以分成以下三個方面來說明：①角是一雙定出兩個方向間的差量之射線；②角是自同一端點(diǎn)射出的兩射線圍出的一個平面區(qū)域；③角是一射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個程度的量。55小學(xué)階段，角的認(rèn)識內(nèi)容包括：初步認(rèn)識角，了解直角、銳角、鈍角、平角和周角，以及了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。56（2）認(rèn)識角的教學(xué)策略①設(shè)計層次性活動，建立角的表象找角活動。摸角活動。發(fā)明角活動。臨摹角活動。57②提供多樣化的角，加深對角的理解③理解角的概念要與角的大小、度量、畫法、分類緊密結(jié)合起來582.平行的認(rèn)識（1）平行的概念歐幾里得：平行線是同一平面內(nèi)的直線向兩個方向無限延長，不論哪個方向都不會相交。①永不相交。②等距離。③在同一平面內(nèi)，同時垂直于第三條直線的兩條直線，此兩條直線會互相平行。59（2）平行概念教學(xué)的策略①借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)平行意義的理解②增強(qiáng)變式圖形練習(xí)，強(qiáng)化平行概念的掌握③縱橫交錯，組建知識體60

（五）識圖和作圖技能教學(xué)1．識圖技能小學(xué)生識圖技能可以分為相互關(guān)聯(lián)的3個二級子項(xiàng)：圖形形狀、位置關(guān)系和度量關(guān)系。①對圖形形狀的識別——直線型（三角形、四邊形及多邊形等）；曲線型（圓及扇形等）。②對圖形位置關(guān)系的識別——直線型（平行、相交、垂直等）。③對圖形度量的識別——長度、角度、面積、大小關(guān)系的辨認(rèn)等。612.作圖技能運(yùn)算、作圖、推理是三種基本的數(shù)學(xué)活動，因此“能算、會作圖和會推理”是三種基本的數(shù)學(xué)技能。62

二、測量（一）長度測量我國小學(xué)“圖形與幾何”中關(guān)于長度測量的教學(xué)內(nèi)容，包括對毫米、厘米、分米、米、千米的認(rèn)識，以及簡單計算，量線段的長度和畫線段(限整厘米)。63（二）面積測量在小學(xué)階段，我們主要討論平面圖形的面積。有關(guān)面積的概念，在數(shù)學(xué)教材中一般采用如下幾種描述方式：①平面上一個封閉圖形所包圍部分的大?。虎谖矬w的表面或圍成的平面圖形的大?。虎鄱攘科矫婊蚯嫔弦粔K區(qū)域的大小。64數(shù)學(xué)家給出的面積概念是：所謂平面多邊形的“面積”，是指使每一多邊形跟滿足下列條件的一個量相對應(yīng)：①兩個全等的多邊形有相同的面積，不論它們在空間所占的位置如何；②兩多邊形(沒有任何公共內(nèi)點(diǎn))之和的面積，等于這兩個多邊形的面積之和；③約定邊長等于單位長度的正方形作為面積的單位。65（三）體積測量體積是對“物體”大小的量度，憑直覺就能理解。在數(shù)學(xué)教材中寫道：“物體所占空間的大小，叫做物體的體積”，這并不是嚴(yán)格的定義，只是一種解釋，對學(xué)生理解“體積”其實(shí)沒有多少幫助。因?yàn)槭裁词恰翱臻g”，比體積更難懂，有可能會越說越糊涂。實(shí)際上，我們要做是告訴學(xué)生，物體運(yùn)動后體積不變，不重疊的兩物體之并的體積是原來兩物體的體積之和，A包含B則A的體積比B大等等體積的特征。這是度量物體體積的基本依據(jù)。66三、圖形的運(yùn)動目前世界各國幾何課程的一個普遍現(xiàn)象是：特別重視變換和對稱思想，許多國家從小學(xué)一年級開始涉及各種圖形變換。67（一）“圖形的運(yùn)動”相關(guān)概念1．平移在平面中，將一個圖形沿某一方向移動一定的距離得到另一個圖形，這樣的圖形變換稱作平移。其基本特征是不改變圖形的形狀和大??；由平移得到的圖形上的所有點(diǎn)與原圖上的所有的點(diǎn)不僅是一一對應(yīng)的關(guān)系，而且對應(yīng)點(diǎn)的連線方向相同、長度也相等，即平移前后圖形對應(yīng)點(diǎn)之間的連線相互平行且相等。因此，確定平移變換需要兩個因素：一是方向，二是距離。682．旋轉(zhuǎn)在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點(diǎn)沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，得到另一個圖形，這樣的圖形變換稱作旋轉(zhuǎn)。其基本特征是不改變圖形的形狀和大??；圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等，各組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)的角度。因此，確定旋轉(zhuǎn)變換需要的三個要素：旋