第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A(1,2)，B(?1,0)，則AB=(

)A.(0,2) B.(?2,2) C.(?2,?2) 2.化簡(jiǎn)：AB?DC?BC+A.2AD B.AD C.0→ 3.已知平面向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，|a?c|=|bA.582 B.622 C.4.計(jì)算：sin30°cos15A.12 B.?12 C.5.已知角A、B是?ABC的內(nèi)角，則“A<B”是“sinA<sinB”的A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要6.已知共面向量a,b,c滿足a=4,b+c=2a且b=b?cA.83 B.132 C.8 7.若非零向量a，b滿足a=2b，且a+b⊥aA.π4 B.π2 C.3π8.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星ABCDE中，AB=8，O是該正五角星的中心，則OA?AEA.?32 B.32 C.?64 D.64二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，下面對(duì)于定義在R上的函數(shù)y=f(x)，滿足?x,y∈R，有f(x+y)=f(x?y)+2f(y)cosxA.4π是f(x)的一個(gè)周期 B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)是偶函數(shù) D.10.某品牌新能源汽車2024年上半年的銷量如下表：月份t123456銷量y(萬(wàn)輛)11.712.413.813.214.615.3根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(

)A.銷量的極差為3.6 B.銷量的平均數(shù)為13.5

C.銷量的第40百分位數(shù)為13.8 D.銷量的中位數(shù)為13.211.已知?ABC且BA?BC=BA2，點(diǎn)P為線段BCA.∠B=π3

B.若P為線段BC的中點(diǎn)，則PA?PB=4

C.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，AB=(4,0),AD=(1,4),DC=(2,?A.BD=4 B.四邊形ABCD的面積為212

C.?ABC外接圓的周長(zhǎng)為2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.三棱錐P?ABC中，頂點(diǎn)P在平面ABC的射影為O，滿足OA+OB+OC=0，A點(diǎn)在側(cè)面PBC上的射影H是?PBC14.已知sin(α?β)cosα?cos(α?β)sinα=315.已知海島B在海島A的北偏東75°的方向上，且兩島的直線距離為30?n?mile.一艘海盜船以30?n?mile/?的速度沿著北偏東15°方向從海島B出發(fā)，同時(shí)海警船以303nmile/?的速度從海島A進(jìn)行追趕，經(jīng)過t小時(shí)后兩船相遇，則海警船的航行方向是北偏東

16.若平面有不共線的五點(diǎn)A，B，C，D，O，記OA=a，OB=b，OC=c，OD=?d，滿足a=b=2四、解答題：本題共6小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)已知向量a=(?1,0)，b=(m,1)，且a與(1)求a+2(2)若ka+b與a+218.(本小題10分)已知復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)z滿足3z+z(1)求z;(2)若z是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，求復(fù)數(shù)q+pi19.(本小題12分)已知兩個(gè)函數(shù)y=f(x)，x∈D1，y=F(x)，x∈D2若對(duì)任意的x1∈D(1)判斷函數(shù)G(x)=cosx，x∈0,π(2)若函數(shù)H(x)=log2x，x∈[m,n]是?(x)=(3)已知函數(shù)Q(x)=log2kxx2+4+14，x∈[0,m]，q(x)=sinπx?π320.(本小題10分在?ABC中，角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，(1)求A；(2)若b=2，a=23，求?21.(本小題12分)如圖，在正四棱錐P?ABCD中，所有棱長(zhǎng)均為a，點(diǎn)R是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是底面ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q到側(cè)面PAB,PBC,PCD,PDA的距離分別為d1(1)證明：平面PBC⊥平面BRD(2)求d1(3)記PQ與側(cè)面PAB,PBC,PCD,PDA所成的角分別為α,β,γ,δ，證明：cos2α+22.(本小題12分)定義：若非零向量OM=(a,b)，函數(shù)f(x)的解析式滿足f(x)=asinx+bcosx，則稱f(x)為OM(1)若向量OM為函數(shù)f(x)=2sinx+(2)若函數(shù)f(x)為向量OM=3,?1的“線性函數(shù)”，在?ABC中，(3)若函數(shù)f(x)為向量OM=3,1的“線性函數(shù)”，且當(dāng)x∈0,11π6參考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.A

9.ABD

10.AB

11.AC

12.BCD

13.36

14.?415.45°

16.317.解：(1)由已知向量a=(?1,0)，b=(m,1)，且a與則a?b=?所以b=(0,1)則a+2所以a+2(2)由(1)可得ka所以ka解得k=?18.解：(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，

則z=a?bi，

則3z+z=3(a+bi)+(a?bi)=4a+2bi=4+4i，

所以4a=42b=4，解得a=1，b=2，

故z=1+2i；

(2)∵z是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，

∴z是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的另一個(gè)根，

∴19.解：(1)G(x)=cosx，x∈0,π取x1=0∈0,π，因?yàn)間(0)=0所以G(x)=cosx，x∈0,π(2)由題意，對(duì)任意x1∈D1，存在唯一即Hx2=1?因?yàn)?(x)=2x，x∈[?2,?而H(x)=log2x在x從而log2m≤2log2n≥4(3)當(dāng)Q(x)是q(x)的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對(duì)任意的x1∈D1，存在唯一的即Qx2=1q當(dāng)q(x)是Q(x)的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對(duì)任意的x2∈D2，存在唯一的即1qx1=Qx所以Q(x)的值域與1q(x)值域相同(且值域中的數(shù)值一一對(duì)應(yīng))當(dāng)Q(x)是q(x)的“友好函數(shù)”時(shí)，因?yàn)閝?若存在x1∈?16,t使得所以當(dāng)x∈?16,t因?yàn)?q(x)在x∈?①當(dāng)k=0時(shí)，Q(x)=?②當(dāng)k<0時(shí)，Q(x)=log因?yàn)閗xx2+4③當(dāng)k>0時(shí)，Q(x)=若0<m≤2，則y=x+4從而Q(x)在(0,m]上單調(diào)遞增，故Q(x)從而x∈[0,m]時(shí)，因?yàn)镼(x)的值域與1q(x)值域相同，所以即t=16k=m4+1所以當(dāng)m=2時(shí)，m?k的最大值為1．若m>2，則y=x+4x在此時(shí)Q(x)值域與1q(x)綜上：t=16，m?k的最大值為20.解：(1)在?ABC中，由正弦定理可得3又sinC=所以3即3cosAsinB所以3cosA又A∈0,π(2)在?ABC中，由余弦定理可知cos即?12=解得c=2或c=?4(舍則?ABC的面積S=21.解：(1)因?yàn)樵谡睦忮FP?ABCD中，所有棱長(zhǎng)均為a，點(diǎn)R是棱PC的中點(diǎn)，所以PC⊥DR，又DR∩BR=R，DR,BR?平面BRD，所以PC又PC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面(2)設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則PO⊥設(shè)點(diǎn)P到平面ABCD的距離為?，因?yàn)樵谡睦忮FP?ABCD中，所有棱長(zhǎng)均為a，所以四個(gè)側(cè)面的正三角形的面積均為12a2又?=依題意可得VP?ABCD所以13即a2×(3)設(shè)平面PAB與PCD的交線為l，P∈l，過點(diǎn)Q作平面P′MN使得PP(即過點(diǎn)Q作MN//BC交AB于點(diǎn)M、交DC于點(diǎn)N，再在平面PAB內(nèi)作MP則AB⊥MN，又MN∩MP′=M，MN,M又AB//CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以又平面PAB與PCD的交線為PP′，AB?平面PAB所以PP′⊥設(shè)QH=m，P′M=a2所以P′M?所以d1=所以d1設(shè)OH=n，同上方法可得d2所以d1而PQ所以d1又PQ與側(cè)面PAB,PBC,PCD,PDA所成的角分別為α,β,γ,δ，則sinα=d1PQ，sinβ=而sin2所以cos222.解：(1)因?yàn)閒(x)=2sinx+π則OM=3(2)依題意，f(x)=由f(A)=3sin因0<A<π，則?π6因B+C=π?A，則又cosBcosC由正弦定理，BCsinA=代入①，可得AC?又由余弦定理，BC可得AC于是(AB+AC)2解得AB+AC=(3)f(x)=當(dāng)x∈0,11由f2(x)+(2?a)f(x)+a?3=0，得∴f(x)