第62課時(shí)專題強(qiáng)化：帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)要求掌握帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并會(huì)用其解決問題。1.組合場：電場與磁場各位于一定的區(qū)域內(nèi)，并不重疊，或在同一區(qū)域，電場、磁場交替出現(xiàn)。2.分析思路(1)畫運(yùn)動(dòng)軌跡：根據(jù)受力分析和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，大致畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。(2)找關(guān)鍵點(diǎn)：確定帶電粒子在場區(qū)邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問題的關(guān)鍵。(3)劃分過程：將粒子運(yùn)動(dòng)的過程劃分為幾個(gè)不同的階段，對(duì)不同的階段選取不同的規(guī)律處理。3.常見粒子的運(yùn)動(dòng)及解題方法4.常見情形(1)先電場后磁場①帶電粒子先在勻強(qiáng)電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后垂直磁場方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲。②帶電粒子先在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后垂直磁場方向進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖乙。(2)先磁場后電場常見情境進(jìn)入勻強(qiáng)電場時(shí)粒子速度方向與電場方向平行進(jìn)入勻強(qiáng)電場時(shí)粒子速度方向與電場方向垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場時(shí)粒子速度方向與電場方向成一定角度(非直角)運(yùn)動(dòng)示意圖舉例在電場中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)勻加速或勻減速直線運(yùn)動(dòng)類平拋運(yùn)動(dòng)類斜拋運(yùn)動(dòng)分析方法動(dòng)能定理或牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，運(yùn)動(dòng)的合成與分解斜拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，運(yùn)動(dòng)的合成與分解例1(2023·遼寧卷·14)如圖，水平放置的兩平行金屬板間存在勻強(qiáng)電場，板長是板間距離的3倍。金屬板外有一圓心為O的圓形區(qū)域，其內(nèi)部存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子沿中線以速度v0水平向右射入兩板間，恰好從下板邊緣P點(diǎn)飛出電場，并沿PO方向從圖中O'點(diǎn)射入磁場。已知圓形磁場區(qū)域半徑為2mv0(1)求金屬板間電勢差U；(2)求粒子射出磁場時(shí)與射入磁場時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角θ；(3)僅改變圓形磁場區(qū)域的位置，使粒子仍從圖中O'點(diǎn)射入磁場，且在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長。定性畫出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡及相應(yīng)的弦，標(biāo)出改變后的圓形磁場區(qū)域的圓心M。答案(1)mv023q(2)π3(或60°解析(1)設(shè)板間距離為d，則板長為3d，帶電粒子在板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，兩板間的電場強(qiáng)度為E＝Ud，根據(jù)牛頓第二定律得qE＝ma，解得a＝設(shè)粒子在平板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得d2＝12at02，3聯(lián)立解得U＝m(2)設(shè)粒子出電場時(shí)與水平方向夾角為α，則有tanα＝at0v0則出電場時(shí)粒子的速度為v＝v0cos粒子出電場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，接著進(jìn)入磁場，根據(jù)牛頓第二定律有qvB＝mv2r，解得r已知圓形磁場區(qū)域半徑為R＝2mv03qB粒子沿PO方向射入磁場，軌跡如圖所示，即沿半徑方向射入磁場，故粒子將沿半徑方向射出磁場，粒子射出磁場時(shí)與射入磁場時(shí)運(yùn)動(dòng)方向的夾角為θ，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)圓弧軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角也為θ，由幾何關(guān)系可得θ＝2α＝π3，故粒子射出磁場時(shí)與射入磁場時(shí)運(yùn)動(dòng)方向的夾角為π3(或60°(3)粒子在該磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場半徑關(guān)系為r＝3R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在該磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡一定為劣弧，故劣弧所對(duì)應(yīng)軌跡圓的弦為磁場圓的直徑時(shí)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，則相對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及圓心M的位置如圖所示。例2(2024·山東菏澤市檢測)利用電場和磁場實(shí)現(xiàn)粒子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。在圖示的xOy平面(紙面)內(nèi)，x<x1的區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，x軸上方的x1<x<x2區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從原點(diǎn)O處以大小為v0的速度垂直磁場射入第二象限，方向與x軸負(fù)方向夾角θ＝60°，一段時(shí)間后垂直x＝x1虛線邊界進(jìn)入電場。已知x1＝3L，x2＝733L，區(qū)域Ⅱ中電場的電場強(qiáng)度E＝mv(1)區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；(2)粒子從原點(diǎn)O出發(fā)到離開電場的總時(shí)間t；(3)粒子離開電場時(shí)的速度大小v。答案(1)mv02qL(2)4(π＋3)解析(1)區(qū)域Ⅰ內(nèi)粒子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系可得Rsinθ＝3L解得R＝2L又qv0B＝mv解得區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝m(2)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)圓軌跡所對(duì)的圓心角為120°，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t1，則t1＝120°360°其中T＝2π粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)該粒子的加速度大小為a，在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2，沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的距離為h，則有qE＝max2－x1＝v0t2解得t2＝4其中h＝12a解得h＝2由于h<R＋Rcosθ＝3L粒子從電場邊界離開，則總時(shí)間t＝t1＋t2解得t＝4(π(3)由動(dòng)能定理得qEh＝12mv2－12解得v＝233v例3(2024·黑吉遼·15)現(xiàn)代粒子加速器常用電磁場控制粒子團(tuán)的運(yùn)動(dòng)及尺度。簡化模型如圖：Ⅰ、Ⅱ區(qū)寬度均為L，存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度等大反向；Ⅲ、Ⅳ區(qū)為電場區(qū)，Ⅳ區(qū)電場足夠?qū)挘鲄^(qū)邊界均垂直于x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。甲、乙為粒子團(tuán)中的兩個(gè)電荷量均為＋q，質(zhì)量均為m的粒子。如圖，甲、乙平行于x軸向右運(yùn)動(dòng)，先后射入Ⅰ區(qū)時(shí)速度大小分別為32v0和v0。甲到P點(diǎn)時(shí)，乙剛好射入Ⅰ區(qū)。乙經(jīng)過Ⅰ區(qū)的速度偏轉(zhuǎn)角為30°，甲到O點(diǎn)時(shí)，乙恰好到P點(diǎn)。已知Ⅲ區(qū)存在沿＋x方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小E0＝9mv(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；(2)求Ⅲ區(qū)寬度d；(3)Ⅳ區(qū)x軸上的電場方向沿x軸，電場強(qiáng)度E隨時(shí)間t、位置坐標(biāo)x的變化關(guān)系為E＝ωt－kx，其中常系數(shù)ω>0，ω已知、k未知，取甲經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)t＝0。已知甲在Ⅳ區(qū)始終做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)乙在Ⅳ區(qū)受到的電場力大小為F，甲、乙間距為Δx，求乙追上甲前F與Δx間的關(guān)系式(不要求寫出Δx的取值范圍)。答案(1)mv02qL(2)32πL(3)解析(1)對(duì)乙粒子，如圖所示由洛倫茲力提供向心力qv0B＝mv由幾何關(guān)系sin30°＝L聯(lián)立解得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B＝m(2)由題意可知，根據(jù)對(duì)稱性，乙在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝2×30°360°×對(duì)甲粒子，由對(duì)稱性可知，甲粒子沿著直線從P點(diǎn)到O點(diǎn)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式d＝32v0t1＋12由牛頓第二定律a＝q聯(lián)立可得Ⅲ區(qū)寬度為d＝32π(3)甲粒子經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度為v甲＝32v0＋at1＝3v因?yàn)榧自冖魠^(qū)始終做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則E＝0，即ωt＝kx＝k×3v0t可得k＝ω設(shè)乙粒子經(jīng)過Ⅲ區(qū)的時(shí)間為t2，乙粒子在Ⅳ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0，則t＝t0＋t2對(duì)乙可得Fq＝ω(t0＋t2)－kx整理可得x2＝3v0(t0＋t2)－3對(duì)甲可得x1＝3v0(t0＋t2)則Δx＝x1－x2＝3化簡可得乙追上甲前F與Δx間的關(guān)系式為F＝qω3v0課時(shí)精練(分值：60分)1.(14分)如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy中，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場，方向沿y軸負(fù)方向。在第Ⅳ象限區(qū)域內(nèi)有方向垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的p(0，3L)點(diǎn)，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的M(2L，0)點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限，又經(jīng)過磁場從y軸上的某點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入第Ⅲ象限，不計(jì)粒子的重力，求：(1)(4分)電場強(qiáng)度E的大小；(2)(5分)粒子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；(3)(5分)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。答案(1)32qLmv02(2)2v0與x軸正方向夾角為60°解析(1)粒子在電場中僅受靜電力的作用做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1。則水平方向2L＝v0t1豎直方向3L＝12a由牛頓第二定律有qE＝ma聯(lián)立解得E＝32qL(2)設(shè)粒子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)豎直方向分速度為vy＝at1＝qEmt代入數(shù)據(jù)解得vy＝3v0到達(dá)M點(diǎn)的合速度為v＝v02＋v設(shè)M點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸正方向夾角為θ，又tanθ＝v所以θ＝60°(3)由于垂直打到y(tǒng)軸，易得帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為120°，由洛倫茲力提供向心力得qvB＝m由幾何關(guān)系得rsin60°＝2L聯(lián)立解得B＝32.(15分)(2025·山東泰安市?？?如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面向里，在x軸下方有平行于xOy平面且與x軸正方向夾角為45°的勻強(qiáng)電場。y軸上有一個(gè)P點(diǎn)，P點(diǎn)的y坐標(biāo)為(3＋2)L，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以初速度v0從P點(diǎn)與y軸正方向夾角為60°斜向左上方射出，正好在x軸負(fù)半軸的Q點(diǎn)(圖中未畫出)處以與x軸正方向夾角為45°的方向第一次經(jīng)過x軸射入下方電場，若粒子第二次經(jīng)過x軸時(shí)的點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不計(jì)粒子的重力，求：(1)(4分)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。?2)(7分)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大?。?3)(4分)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中離x軸的最遠(yuǎn)距離。答案(1)mv02qL(2)(2-2解析(1)如圖，根據(jù)題意OP＝(3＋2)L，θ設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則OP＝R·cos45°＋R·cos30°可得R＝2L又qBv0＝mv聯(lián)立解得B＝m(2)粒子在x軸負(fù)半軸的Q點(diǎn)處以與x軸正方向夾角為45°的方向第一次經(jīng)過x軸射入下方電場，勻強(qiáng)電場方向與x軸正方向夾角為45°，可知粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子第二次經(jīng)過x軸時(shí)的點(diǎn)為MOM＝OQ＝R·sin30°＋R·sin45°＝(2＋1)L則QM＝2(2＋1)L則沿電場方向的位移y＝QMsin45°＝(2＋2)L在速度方向的位移x＝QMcos45°＝(2＋2)L根據(jù)y＝12at2，x＝v0t，a＝qE聯(lián)立解得E＝(2-(3)速度v0在垂直于x軸方向的分量是v1＝v0sin45°加速度在垂直于x軸方向的分量是a1＝asin45°帶電粒子在勻強(qiáng)電場中離x軸的最遠(yuǎn)距離s＝v聯(lián)立解得s＝(23.(15分)(2024·貴州卷·14)如圖，邊長為L的正方形abcd區(qū)域及矩形cdef區(qū)域內(nèi)均存在電場強(qiáng)度大小為E、方向豎直向下且與ab邊平行的勻強(qiáng)電場，ef右邊有一半徑為33L且與ef相切的圓形區(qū)域，切點(diǎn)為ef的中點(diǎn)，該圓形區(qū)域與cdef區(qū)域內(nèi)均存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從b點(diǎn)斜向上射入電場后沿圖中曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)cd邊的中點(diǎn)進(jìn)入cdef(1)(4分)粒子沿直線通過cdef區(qū)域時(shí)的速度大??；(2)(5分)粒子的電荷量與質(zhì)量之比；(3)(6分)粒子射出圓形區(qū)域時(shí)速度方向與進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)速度方向的夾角。答案(1)EB(2)ELB2解析(1)由粒子在abcd區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡可知粒子帶正電，帶電粒子在cdef區(qū)域做直線運(yùn)動(dòng)，則有靜電力與洛倫茲力平衡，經(jīng)過cd邊的中點(diǎn)時(shí)速度水平向右，設(shè)粒子到達(dá)cd邊的中點(diǎn)時(shí)速度大小為v0，帶電荷量為q，質(zhì)量為m，由平衡條件有qE＝qv0B解得v0＝E(2)粒子從b點(diǎn)到cd邊的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可逆向看成從cd邊的中點(diǎn)到b點(diǎn)的類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，加速度大小為a，由牛頓第二定律可得qE＝ma由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得v0t＝L12at2＝聯(lián)立解得粒子的電荷量與質(zhì)量之比q(3)粒子從ef中點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為R，由洛倫茲力提供向心力可得qv0B＝mv解得R＝L粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子沿半徑方向射入，又沿半徑方向射出，設(shè)粒子射出圓形區(qū)域時(shí)速度方向與進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)速度方向的夾角為α，由幾何關(guān)系可知α＝2θ又tanθ＝33LR＝則有α＝60°。4.(16分)(2024·江蘇卷·16)如圖所示，兩個(gè)半圓區(qū)域abcd、a'b'c'd'中有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，兩圓的半徑分別為R1和R2，ab與a'b'間有一個(gè)勻強(qiáng)電場，電勢差為U，cd與c'd'間有一個(gè)插入體，電子每次經(jīng)過插入體速度減為原來的k倍(k<1)?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、電量為e的電子，從cd面射入插入體，經(jīng)過磁場、電場后再次到達(dá)cd面，速度增加，多次循環(huán)運(yùn)動(dòng)后，電子到達(dá)cd的速度大小達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值，忽略相對(duì)論效應(yīng)，忽略電子經(jīng)過電場與插入體的時(shí)間。求：(1)(4分)電子進(jìn)入插入體前后在磁場中的半徑r1、r2之比；(2)(4分)電子多次循環(huán)后到達(dá)cd的穩(wěn)定速度v；(3)(8分)若電子到達(dá)cd中點(diǎn)P時(shí)速度穩(wěn)定，并最終到達(dá)邊界上的d點(diǎn)，求電子從P到d的時(shí)間t。答案(1)1∶k(2)2eUm(1-(3)π(解析(1)設(shè)電子進(jìn)入插入體前后的速度大小分別為v1、v2，由題意可得：v2＝kv1電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，得：evB＝mv解得：r＝mv可知在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑r∝v，可得：r1∶r2＝v1∶v2＝1∶k(2)電子多次循環(huán)后到達(dá)cd的穩(wěn)定速度大小為v，則經(jīng)過插入體后的速度大小為kv，電子經(jīng)過電場加速后速度大小為v，根據(jù)動(dòng)能