含彈簧的機(jī)械能守恒問題目標(biāo)要求知道彈簧的彈性勢能與哪些因素有關(guān)，會分析含彈簧的機(jī)械能守恒問題。1.由于彈簧發(fā)生形變時會具有彈性勢能，系統(tǒng)的總動能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)除重力、彈簧彈力以外的其他力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。2.彈簧兩端的物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能有最大值。*3.對同一彈簧，彈性勢能的大小為Ep＝12kx2例1如圖所示，質(zhì)量為m的小球從靜止下落，落在與A點(diǎn)等高處、豎直放置、靜止的輕彈簧上，到達(dá)與B點(diǎn)等高處時小球重力與彈簧的彈力大小相等，圖中與C點(diǎn)等高處是小球到達(dá)的最低點(diǎn)。不計空氣阻力，下列說法正確的是()A.從O到C，小球重力勢能一直減小、動能一直增大，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B.從A到C，小球重力勢能一直減小、動能先增大后減小，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒C.到達(dá)B點(diǎn)時，小球的動能最大，彈性勢能最小D.從O到A，小球重力勢能減小，動能增大，小球、地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒答案D解析到達(dá)與B點(diǎn)等高處時小球重力與彈簧的彈力大小相等，此時加速度為0，速度達(dá)到最大，所以從O到C，小球重力勢能一直減小、動能先增大后減小，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A錯誤；從A到C，小球重力勢能一直減小、動能先增大后減小，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故B錯誤；到達(dá)B點(diǎn)時，小球的動能最大，到達(dá)A點(diǎn)時彈性勢能最小，故C錯誤；從O到A，只有重力做功，小球重力勢能減小，動能增大，小球、地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故D正確。例2(多選)如圖所示，輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端與一質(zhì)量為m的小球相連，小球套在固定的豎直光滑桿上，P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為L，OP與桿垂直，桿上M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離均為2L。已知彈簧原長為54L，重力加速度為g?，F(xiàn)讓小球從M處由靜止釋放，下列說法正確的是()A.小球從M運(yùn)動到N的過程中，有三個位置小球受到的合力等于重力B.小球從M運(yùn)動到N的過程中，小球的機(jī)械能守恒C.小球從M運(yùn)動到N的過程中，彈簧彈性勢能先減小后增大D.小球通過N點(diǎn)時速率為23答案AD解析OM＝ON＝2L，OP＝L，彈簧的原長為54L，所以小球在MP之間某個位置時彈簧處于原長，彈簧彈力為0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之間某個位置時彈簧處于原長，彈簧彈力為0，小球受到的合力等于重力，當(dāng)小球經(jīng)過P點(diǎn)時小球受到的合力等于重力，故A正確；小球從M運(yùn)動到N的過程中，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但小球的機(jī)械能并不守恒，故B錯誤；小球從M運(yùn)動到N的過程中，彈簧的彈性勢能先減小后增大，再減小又增大，故C錯誤；小球在M、N兩個位置時，彈簧的長度相等，所以彈簧的彈性勢能相等，在整個過程中小球的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為動能，有mg×23L＝12mv2，解得v＝23gL例3如圖所示，一頂角為直角的“”形光滑細(xì)桿豎直放置。質(zhì)量均為m的兩金屬環(huán)套在細(xì)桿上，高度相同，用一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，此時彈簧為原長l0。兩金屬環(huán)同時由靜止釋放，運(yùn)動過程中彈簧的伸長量在彈性限度內(nèi)，且彈簧始終保持水平，已知彈簧的長度為l時，彈性勢能為12k(l－l0)2，重力加速度為g，下列說法正確的是()A.金屬環(huán)在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)加速度大小相等B.左邊金屬環(huán)下滑過程機(jī)械能守恒C.彈簧的最大拉力為3mgD.金屬環(huán)的最大速度為2gm答案A解析左邊金屬環(huán)下滑過程，除重力以外，還有彈簧的彈力對它做功，故金屬環(huán)下滑過程中機(jī)械能不守恒，故B錯誤；金屬環(huán)下降h'達(dá)到最低點(diǎn)時，速度減小為0，彈簧形變量最大為2h'，根據(jù)兩金屬環(huán)與彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒有2mgh'＝12k(2h')2，解得h'＝mgk，彈簧的最大伸長量Δx＝2h'彈簧的最大拉力為FT＝kΔx＝2mg，故C錯誤；在最高點(diǎn)時金屬環(huán)只受重力和支持力作用，此時重力沿桿方向的分力提供加速度，有a1＝gsin45°在最低點(diǎn)，由上述知FT＝2mg根據(jù)牛頓第二定律可知FTcos45°－mgsin45°＝ma2，解得a2＝gsin45°，則a1＝a2金屬環(huán)在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)加速度大小相等，故A正確；當(dāng)金屬環(huán)的加速度為0時，速度最大，金屬環(huán)受力如圖所示，金屬環(huán)受到重力、桿的彈力和彈簧的彈力，沿桿方向加速度為0，即合力為0，有mgsin45°＝Fcos45°，又F＝kΔx，解得形變量Δx＝mgk，根據(jù)幾何知識，兩個小球下降的高度為h＝mg2k，對兩個金屬環(huán)和彈簧根據(jù)機(jī)械能守恒，有2mgh＝12k(Δx)2＋12×2mv2，解得v＝例4(2024·山東濰坊市期中)如圖所示，在傾角為θ=37°的固定光滑斜面底端固定一擋板，輕彈簧下端與擋板連接，上端與物塊A連接，物塊B緊靠A放置，彈簧的勁度系數(shù)k=60N/m，A、B的質(zhì)量分別為m1=1kg、m2=2kg。將B用一根不可伸長的輕繩跨過斜面頂端的定滑輪與物體C連接，B與滑輪間的輕繩與斜面平行，C的質(zhì)量m3=6kg。開始時用手拖住C，使輕繩剛好伸直，C到地面的距離為h=0.2m?，F(xiàn)將C由靜止釋放，運(yùn)動過程中B不會離開斜面，C落地后不反彈。已知勁度系數(shù)k的彈簧形變量為x時彈簧的彈性勢能Ep=12kx2，重力加速度大小g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：(1)開始時彈簧的壓縮量x1；(2)A、B分離時B的動能(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)；(3)B沿斜面向上滑動的最大距離(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。答案(1)0.3m(2)1.27J(3)0.41m解析(1)對A、B整體受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡得(m1+m2)gsin37°=kx1解得x1=0.3m(2)A、B分離時A、B間恰無彈力，A、B加速度相同，設(shè)此時彈簧壓縮量為x2，分別對A、B、C受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得kx2-m1gsin37°=m1aFT-m2gsin37°=m2am3g-FT=m3a解得x2=0.2m設(shè)此時B的速度大小為v1，A、B、C和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒m3g(x1-x2)+12k(x12-x22)=12(m1+m2+m3)v12+(m1+m2)g(x可得B的動能為EkB=12m2v12≈1.(3)設(shè)C落地前瞬間速度為v2，A、B分離時，C離地面高度h1=0.1mB、C組成系統(tǒng)機(jī)械能守恒m3gh1-m2gh1sinθ=12(m2+m3)v22-12(m2+B繼續(xù)向上運(yùn)動，設(shè)滑動距離為l，則有12m2v22=m2gl則B沿斜面向上運(yùn)動的最大距離s=l+h可得s≈0.41m。1.如圖，圓心為O1的光滑半圓環(huán)固定于豎直面，輕彈簧上端固定在O1正上方的O2點(diǎn)，c是O1O2和圓環(huán)的交點(diǎn)；將系于彈簧下端且套在圓環(huán)上的小球從a點(diǎn)靜止釋放，此后小球在a、b間做往復(fù)運(yùn)動。若小球在a點(diǎn)時彈簧被拉長，在c點(diǎn)時彈簧被壓縮，aO1⊥aO2。則下列說法正確的是()A.小球在b點(diǎn)受到的合力為零B.彈簧在a點(diǎn)的伸長量可能小于彈簧在c點(diǎn)的壓縮量C.彈簧處于原長時，小球的速度最大D.在a、b之間，小球機(jī)械能最大的位置有兩處答案D解析套在圓環(huán)上的小球從a點(diǎn)靜止釋放，此后小球在a、b間做往復(fù)運(yùn)動，表明小球在a點(diǎn)受到的合力不等于零，合力的方向沿著a點(diǎn)的切線向上；因為系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，a點(diǎn)和b點(diǎn)關(guān)于O1O2對稱，所以小球在b點(diǎn)受到的合力不等于零，合力的方向沿b點(diǎn)的切線向上，A錯誤；小球從a點(diǎn)到c點(diǎn)運(yùn)動的過程中，小球在a點(diǎn)時動能最小，等于零，小球在a點(diǎn)時位置最低，小球在a點(diǎn)時的重力勢能最小，即小球在a點(diǎn)時的機(jī)械能最?。挥忠驗樾∏蚝蛷椈山M成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以小球在a點(diǎn)時，彈簧的彈性勢能最大，那么，小球在a點(diǎn)時彈簧的形變量最大，所以彈簧在a點(diǎn)的伸長量一定大于彈簧在c點(diǎn)的壓縮量，B錯誤；小球受到重力、彈簧的彈力、圓環(huán)的支持力，這三個力的合力為零時，小球的速度最大，此時彈簧不處于原長狀態(tài)，C錯誤；因為系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以彈簧處于原長時，小球的機(jī)械能最大；在a、b之間，彈簧處于原長的位置有兩處，D正確。2.(2024·山東省實(shí)驗中學(xué)期中)如圖所示，傾角為θ的光滑斜面固定在水平面上，斜面的底端固定一垂直擋板，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定在擋板上，另一端連接質(zhì)量為m的小球A，當(dāng)小球A處于靜止?fàn)顟B(tài)時，彈簧的彈性勢能大小為E?，F(xiàn)將另一個大小相等，質(zhì)量相同的小球B(圖中未畫出)緊挨小球A右側(cè)輕放在斜面上，已知重力加速度大小為g，彈簧一直處在彈性限度內(nèi)，則彈簧的最大彈性勢能為()A.E B.4m2C.2m2g2sin2答案B解析初始時A、B兩小球的加速度最大，以A、B兩小球為整體，根據(jù)牛頓第二定律有2mgsinθ－kx1＝2ma，kx1＝mgsinθ，解得a＝g當(dāng)兩小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時，其速度為零，彈簧的彈性勢能達(dá)到最大，根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性，有kx2－2mgsinθ＝2ma解得x2＝3mgsinθk，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒有Epmax＝2mgsinθ·(x2－x1)＋E＝4m3.(2024·山東濰坊市開學(xué)考)如圖所示，在一直立的光滑管內(nèi)放置一輕質(zhì)彈簧，上端O點(diǎn)與管口A的距離為2x0，一質(zhì)量為m的小球從管口由靜止下落，將彈簧壓縮至最低點(diǎn)B，壓縮量為x0，不計空氣阻力，重力加速度為g，彈簧的彈性勢能Ep與形變量x的關(guān)系為Ep=12kx2，則(A.彈簧的最大彈性勢能為3mgx0B.小球運(yùn)動的最大速度等于2gC.彈簧的勁度系數(shù)為mgD.小球運(yùn)動中最大加速度為g答案A解析小球下落到最低點(diǎn)時重力勢能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，此時彈性勢能最大，根據(jù)能量守恒定律，有Epmax=3mgx0，故A正確；根據(jù)彈性勢能表達(dá)式Ep=12kx2，則有3mgx0=12kx02，解得k=6mgx0，故C錯誤；當(dāng)小球的重力等于彈簧彈力時，小球有最大速度，則有mg=kx，再根據(jù)彈簧和小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有mg(x+2x0)=12mvmax2+12kx2，解得最大速度為vmax=25gx06，故4.(多選)(八省聯(lián)考·陜西·10)如圖，傾角為30°且足夠長的光滑斜劈固定在水平面上，P、Q兩個物體通過輕繩跨過光滑定滑輪連接，Q的另一端與固定在水平面的輕彈簧連接，P和Q的質(zhì)量分別為4m和m。初始時，控制P使輕繩伸直且無拉力，滑輪左側(cè)輕繩與斜劈上表面平行，右側(cè)輕繩豎直，彈簧始終在彈性限度范圍內(nèi)，彈簧勁度系數(shù)為k，重力加速度大小為g?，F(xiàn)無初速釋放P，則在物體P沿斜劈下滑過程中()A.輕繩拉力大小一直增大B.物體P的加速度大小一直增大C.物體P沿斜劈下滑的最大距離為6D.物體P的最大動能為8答案AD解析設(shè)物體P向下運(yùn)動過程中的位移為x，彈簧的形變量為Δx，開始時彈簧被壓縮，其彈力為支持力，從釋放P到彈簧恢復(fù)原長過程中，對P、Q整體根據(jù)牛頓第二定律4mgsin30°-mg+kΔx=(4m+m)a可得a=mg隨著x增大，Δx減小，則加速度逐漸減小，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長后，彈簧表現(xiàn)為拉伸狀態(tài)，彈簧彈力為拉力，根據(jù)牛頓第二定律4mgsin30°-mg-kΔx=(4m+m)a可得a=mg隨著x增大，Δx增大，當(dāng)mg>kΔx時，隨著x增大，加速度逐漸減小，當(dāng)kΔx>mg時，隨著x增大，加速度反向增大，所以物體P的加速度大小先減小后反向增大，故B錯誤；以P為研究對象，設(shè)繩子拉力為FT，根據(jù)牛頓第二定律4mgsin30°-FT=4ma可得彈簧恢復(fù)原長前FT=1.2mg-0.8kΔx隨著Δx減小，F(xiàn)T增大；彈簧恢復(fù)原長后FT=1.2mg+0.8kΔx可知隨著Δx增大，F(xiàn)T逐漸增大，所以輕繩拉力大小一直增大，故A正確；沒有釋放物體P前，根據(jù)平