專(zhuān)題11函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系【十大題型】

，題型梳理

【題型1坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征】..................................................................2

【題型2圖形變換與坐標(biāo)】........................................................................2

【題型3探索點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律】......................................................................3

【題型4與圖形面積相關(guān)的存在性問(wèn)題】...........................................................4

【題型5函數(shù)的概念辨析】........................................................................6

【題型6求自變量的取值范圍】....................................................................7

【題型7根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)解析式】.............................................................8

【題型8函數(shù)圖象的識(shí)別】........................................................................9

【題型9從函數(shù)圖象中獲取信息】.................................................................10

【題型10動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象】..................................................................12

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系】

1.坐標(biāo)與象限

定義1：我們把有順序的兩個(gè)數(shù)a與力所組成的數(shù)對(duì),叫做有序數(shù)對(duì),記作(a,6).

定義2：平面直角坐標(biāo)系即在平面內(nèi)畫(huà)互相垂直,原點(diǎn)重合的兩條數(shù)軸.水平的數(shù)軸稱(chēng)為x軸或橫軸,取

向右方向?yàn)檎较?；豎直的數(shù)軸稱(chēng)為y軸或縱軸，取向上方向?yàn)檎较?兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系

的原點(diǎn).

建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面被兩條坐標(biāo)軸分成了四個(gè)部分，每個(gè)部分稱(chēng)為象限，分別叫做第一象

限.第二象限.第三象限.第四象限,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限.

2.函數(shù)與圖象

定義1：在一個(gè)變化過(guò)程也我們稱(chēng)數(shù)值發(fā)生變化的量為變量,數(shù)值始終不變的量為常量.

定義2：一般地,在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一

確定的值與其對(duì)應(yīng),那么我們就說(shuō)x是自變量,y是x的函數(shù).如果當(dāng)產(chǎn)a時(shí),尸力，那么6叫做當(dāng)自變量的值

為a時(shí)的函數(shù)值.

定義3：一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫.縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)

平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

定義4：用關(guān)「自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法.這種式子叫

做函數(shù)的解析式.

表示函數(shù)的方法：解析式法.列友法和圖象法.解析式法可以明顯地表示對(duì)應(yīng)規(guī)律；列表法直接給出部

分函數(shù)值；圖象法能直觀地表示變化趨勢(shì).

畫(huà)函數(shù)圖象的方法——描點(diǎn)法：

第1步,列表.表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；

第2步，描點(diǎn).在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo).相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)

的各點(diǎn)；

第3步,連線.按照橫坐標(biāo)由小到大的順序,把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái).

【題型1坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征】

【例1】(2023?山東?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)有一點(diǎn)灰點(diǎn)尸到x軸的距離為4,到y(tǒng)軸

的距離為5,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是()

A.(4,-5)B.(5,-4)C.(-4,5)D.(-5,4)

【變式1T】(2023?青海?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，點(diǎn)力的坐標(biāo)是(-2,-1),若48〃y軸，

且力8=9,則點(diǎn)〃的坐標(biāo)是.

【變式1-2](2023?新疆?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中有五個(gè)點(diǎn),分別是

4(1,2),5(-3,4),。(一2,-3),0(4,3),以2,-3),從中任選一個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是.

【變式1-3](2023?江蘇?中考真題)已知點(diǎn)A(2,0)、點(diǎn)B(一泉0)、點(diǎn)C(0,1),以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)平

行四邊形.則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【題型2圖形變換與坐標(biāo)】

[例2](2023?吉林松原-校聯(lián)考一模)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為4(1,0),等腰直角

三角形力8c的邊在x軸的正半軸上/4BC=90。,點(diǎn)〃在點(diǎn)力的右側(cè)，點(diǎn)。在第一象限將445C繞點(diǎn)力按

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)75。,如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)行恰好落在y軸的正半軸上,那么邊4B的長(zhǎng)為

【變式2-1](2023?山東濱州?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4,-2)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

)

A.(4,2)B.(-4,2)C.(-4,-2)D.(-2,4)

【變式2-2](2023?廣東深圳?中考真題)已知點(diǎn)P(a+1,2a—3)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一象限，則a的取

值范圍是()

A.a<-1B.-1<a<-2C.--2<a<1D.a>-2

【變式2-3](2023?湖北鄂州?校考二模)如圖,將一矩形加化放在平面宜角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)B,C，分

別在x軸、y軸上,點(diǎn)力為(8,6),點(diǎn)〃為線段3上一動(dòng)點(diǎn).將△眥沿劭翻折，點(diǎn)。落在點(diǎn)￡處，連接

CE.當(dāng)四的長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)〃的坐標(biāo)為.

【題型3探索點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律】

【例3】(2023?遼寧阜新-統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形048G是正方形，曲線GQQC4c5…叫作”正方形的

漸開(kāi)線”，其中C1C2,C2c3,C3c4,C4c5,…的圓心依次按Q4B,G循環(huán).當(dāng)。4=1時(shí)，點(diǎn)C2023的坐標(biāo)是

()

A.(-1,一2022)B.(-2023,1)C.(一1,一2023〕1).(2022,0)

【變式3-1](2023?江蘇南京?統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)案如下規(guī)

律依序排列：(0,0),(1,0),(04),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),…按這

個(gè)規(guī)律，則(6,7)是第個(gè)點(diǎn).

【變式4-1](2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知A(0,a)、8(40)、C(b,c)三

點(diǎn)，其中a、b,c滿(mǎn)足關(guān)系式|a-2|+(b-3)2+=0.

(2)如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)請(qǐng)用含力的式子表示四邊形ABOP的面積；

⑶在(2)的條件卜；是否存在點(diǎn)2使四邊形430P的面枳與4力8c的面積相等?若存在,求出點(diǎn)尸的坐標(biāo),若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

【變式4-2](2023?江蘇常州-模擬預(yù)測(cè))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為力(小

0),隊(duì)b,0),且a"滿(mǎn)足|K61+V3a-2d+26=0,現(xiàn)將線段力“先向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移6個(gè)

單位長(zhǎng)度得到線段CI),其中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,點(diǎn)/，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為連接AC,HD.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出48兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,點(diǎn)M是線段力。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段切的一個(gè)定點(diǎn),連接峨M0t當(dāng)點(diǎn)必在線段〃'上移動(dòng)

時(shí)(不與4G重合)，探究/〃WN〃則乙機(jī)切之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)只使三角形以C’的面積與三角形力/切的面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)〃的坐標(biāo);若

不存在，試說(shuō)明理由.

【變式4-3](2023?湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是(a,0)(40),a"滿(mǎn)足方程

組(3：二：二二：1'C為丫軸正半軸上一點(diǎn)，且SMBC=6.

（2）是否存在點(diǎn)尸（t,使二：SM8C?若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）若點(diǎn)C沿％軸負(fù)半軸方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度平移至點(diǎn)。，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，四邊形/18CD的面積S

為15個(gè)平方單位?求出此時(shí)點(diǎn)0的坐標(biāo).

⑷連接4。、CD,若P為以上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、6重合）連接0P、川,探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中/CDP、乙BAP、

乙。PA之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【題型5函數(shù)的概念辨析】

【例5】（2023?全國(guó)-模擬預(yù)測(cè)）下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量:

①某地手機(jī)通話費(fèi)為Q元/min,某人手機(jī)話費(fèi)卡中共有b元,此后話費(fèi)卡中的余額y與手機(jī)通話的時(shí)間x;

②將水池中的水勻速排出，直至排完,水池中的剩余水量y與排水時(shí)間工；

③用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)等腰三角形,等腰三角形的面積y與腰長(zhǎng)工,其中，變量y與變量％之間的函數(shù)關(guān)

系可以利用如圖所示的圖像表示的是（)

C.②③I).①②③

【變式5-1］（2023?日前蘭州?中考真題）下列各曲線中不能表示y是x的函數(shù)是（）.

x

A.B.

【變式5-2](2023?廣東-統(tǒng)考中考真題)水中漣漪(圓形水波)大斷擴(kuò)大,記它的半徑為r,則圓周長(zhǎng)C與r

的關(guān)系式為C=2m.下列判斷正確的是()

A.2是變量B.IT是變量C.??是變量D.C是常量

【變式5-3](2023?浙江?統(tǒng)考中考真題)圖1中的摩天輪可抽象成一個(gè)圓，圓上一點(diǎn)離地面的高度y(m)與

旋轉(zhuǎn)時(shí)間x(min)之間的關(guān)系如圖2所示

(3)根據(jù)圖中的信息,請(qǐng)寫(xiě)出摩天輪的直徑.

【題型6求自變量的取值范圍】

【規(guī)律方法】函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：

(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí),考慮分式的分母不能為0;

(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí),被開(kāi)方數(shù)非負(fù).

【例6】(2023?湖北-統(tǒng)考中考真題)函數(shù)y=?=?+(x-2)°的自變量x的取值范圍是()

A.x>—1B.x>2C.x>一1且xH2D.工工一1且%H2

【變式6-1]（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y=后的自變量欠的取值范圍是（)

A.x<0B.x0C.x>0D.x>1

【變式6-2]（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）在函數(shù)y=/中，自變量x的取值范圍是.

【變式6-3]（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）在函數(shù)、=高+右中，自變量x的取值范圍是.

【題型7根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)解析式】

【例7】（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題）某超市糯米的價(jià)格為5元/千克，端午節(jié)推出促銷(xiāo)活動(dòng)：一

次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量不超過(guò)2T?克時(shí),按原價(jià)售此超過(guò)2丁克時(shí),超過(guò)的部分打8折.若某人付款14元,則他購(gòu)

買(mǎi)了千克糯米；設(shè)某人的付款金額為萬(wàn)元,購(gòu)買(mǎi)量為y千克則購(gòu)買(mǎi)量y關(guān)于付款金額x（x>10）的函數(shù)

解析式為.

【變式7-1]（2023?遼寧大連-統(tǒng)考中考真題）汽車(chē)油箱中有汽油30L,如果不再加油，那么油箱中的油量

y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為O.lL/km.當(dāng)0Wx<300時(shí)/與才的函

數(shù)解析式是（）

A.y=O.lxB.y=-O.lx+30C.y=I）,y=-O.lx2+30x

【變式7-2]（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）一種彈簧秤最大能稱(chēng)不超過(guò)10kg的物體，不掛物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)為

12cm,每掛重1kg物體,彈簧伸長(zhǎng)05cm.在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之

間的函數(shù)關(guān)系式為（）

。

h|

U

3

A.y=12—0.5xB.y=12+0.5xC.y=10+0.5xD.y=0.5x

【變式7-3]（2023?四川?統(tǒng)考中考真題）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無(wú)其他差別.從盒

中隨機(jī)取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是二則x和y滿(mǎn)足的關(guān)系式為.

【題型8函數(shù)圖象的識(shí)別】

【例8】（2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）"和諧號(hào)”動(dòng)車(chē)從萍鄉(xiāng)北站出發(fā)，加速行駛一段時(shí)間后開(kāi)始勻速行

駛，過(guò)了一段時(shí)間后,動(dòng)車(chē)減速到達(dá)下一個(gè)車(chē)站并?？?乘客上下車(chē)后,動(dòng)車(chē)又加速,一段時(shí)間后再次開(kāi)始勻

速行駛.下列圖中可以近假刻畫(huà)該動(dòng)車(chē)在這段時(shí)間內(nèi)速度變化情況的是（

【變式8-1］（2023?四川?統(tǒng)考中考真題）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿(mǎn)為止，則水深力與注水

【變式8-2］（2023?湖北-統(tǒng)考中考真題）如圖，長(zhǎng)方體水池內(nèi)有一無(wú)蓋圓柱形鐵桶，現(xiàn)用水管在鐵桶中持續(xù)

勻速注水，直到長(zhǎng)方體水池有水溢出一會(huì)兒為止.設(shè)注水時(shí)間為『,為（細(xì)實(shí)線）表示鐵桶中水面高度，%（粗實(shí)

線）表示水池中水面高度（鐵桶高度低于水池高度，鐵桶底面積小于水池底面積的一半,注水前鐵桶和水池內(nèi)

均無(wú)水），則為,月隨時(shí)間t變化的函數(shù)圖象大致為（）

【變式8-3］（2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）由化學(xué)知識(shí)可知，用pH表示溶液酸堿性的強(qiáng)弱程度，當(dāng)pH>

7時(shí)溶液呈堿性，當(dāng)pH<7時(shí)溶液呈酸性.若將給定的NaOH溶液加水稀釋?zhuān)敲丛谙铝袌D象中，能大致反映

NaOH溶液的pH與所加水的體積，之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的是（）

【題型9從函數(shù)圖象中獲取信息】

【例9】（2023?湖北鄂州-校考模擬預(yù)測(cè)）某車(chē)間的甲、乙兩名工人分別同時(shí)生產(chǎn)同一種零件，他們一天生

產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)y與生產(chǎn)時(shí)間￡的關(guān)系如圖所示.

①甲、乙兩人中,_先完成一天的生產(chǎn)任務(wù);在生產(chǎn)過(guò)程中,因機(jī)器故障停止生產(chǎn)時(shí);

②當(dāng)t=時(shí)，甲、乙生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)相等；

（2）誰(shuí)在哪i段時(shí)間內(nèi)的生產(chǎn)速度最快，求該段時(shí)間內(nèi)，他每小時(shí)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù).

【變式9-1］（2023?黑龍江哈爾濱-統(tǒng)考中考真題）一條小船沿直線從A碼頭向B碼頭勻速前進(jìn)，到達(dá)8碼頭

后,停留一段時(shí)間，然后原路勻速返回A碼頭.在整個(gè)過(guò)程中，這條小船與8碼頭的距離％（單位：m）與所用時(shí)

間￡（單位：min）之間的關(guān)系如圖所示，則這條小船從A碼頭到8碼頭的速度和從B碼頭返回力碼頭的速度分別

A.15m/min,25m/minB.25m/min,15m/min

C.25iii/niiiB30iii/iiiinD.30iii/iniii,25iii/iiiin

【變式9-2］（2023?遼寧阜新-統(tǒng)考中考真題）德力格爾草原位于彰武縣境內(nèi)，以草場(chǎng)資源豐富，景色優(yōu)美著

稱(chēng).今年5月在此舉辦的〃漠上草原歡樂(lè)跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國(guó)內(nèi)外選手參加.甲、乙兩名

選手同時(shí)參加了往返10km（單程5km）的業(yè)余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（km）與甲所

用的時(shí)間（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,那么當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙距離終點(diǎn)km.

【變式9-3］（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略.部分內(nèi)容如

下.

每次清洗1個(gè)單位質(zhì)量的該種含污物品,清洗前的清潔度均為0.800要求清洗后的清潔度為0.990

方案一：采用一次清洗的方式.

結(jié)果：當(dāng)用水量為19個(gè)單位質(zhì)量時(shí),清洗后測(cè)得的清潔度為0.990.

方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為/個(gè)單位質(zhì)量，第二次用水量為孫個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為（/+”2）個(gè)單位質(zhì)量，兩次清洗

后測(cè)得的清潔度為c.記錄的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如卜.:

X111.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

對(duì)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，補(bǔ)充完成以下內(nèi)容.

（I）選出。是0.990的所有數(shù)據(jù)組,并劃〃J”；

（H）通過(guò)分析（I）中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫(huà)第?次用水量與和總用水量/+%2之間的關(guān)系，在平

面直角坐標(biāo)系％Oy中畫(huà)出此函數(shù)的圖象；

y

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

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結(jié)果：結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),利用所畫(huà)的函數(shù)圖象可以推斷,當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為個(gè)單位質(zhì)量（精確到個(gè)位）

時(shí)，總用水量最小.

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果,解決下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí),與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)水約個(gè)單位質(zhì)量

（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）當(dāng)采用兩次清洗的方式時(shí),若第一次用水量為6個(gè)單位質(zhì)量,總用水量為7.5