高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分高中2025屆高三下學期三模聯(lián)考數(shù)學試一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，解得，不等式，解得，所以集合，，，故選：D.2.若復數(shù)滿足，則的實部為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由已知條件知：.所以.所以該復數(shù)的實部為-1.故選：A.3.若甲?乙?丙?丁?戊隨機站成一排，則甲?乙不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】5個人隨機排成一排的總排列數(shù)為：種.將甲乙看成一個整體（捆綁法），此時相當于有4個人隨機排列，排列數(shù)為，而甲乙兩人之間又有種排列順序.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，甲乙相鄰的排列數(shù)為：種.所以，甲乙不相鄰的排列數(shù)為種.根據(jù)古典概型概率公式可得，甲乙不相鄰的概率為：.故選：A.4.若向量滿足，且，則夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，.∴，，，∴，且，則，故選：B.5.已知（），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，解得（舍去）或，所以，則，則.故選：A6.已知函數(shù)在時取極小值，則其導函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為在時取極小值，所以在處成立.即：，所以.當時，，當時，，當時，，所以在時取得極小值，故.所以原函數(shù)表達式為：.導函數(shù)的表達式為：因為，所以根據(jù)基本不等式.所以導函數(shù)的最小值為：.故選：C.7.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為6的正方形，平面，點是平面內(nèi)的動點，且滿足線段的長度是點到的距離的2倍，則點的軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵平面，平面，∴即點到的距離為，∴，如圖平面中以C為原點建立平面直角坐標系，設，，，∵，∴，整理得，即的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓上，即點的軌跡的長度為，故選：D.8.已知雙曲線左頂點為，右焦點為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于兩點．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由對稱性，知軸，，，四邊形是正方形，則，，則，，則在雙曲線上，，即，即，化簡整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故選：C．二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為11B.已知隨機變量，設，則的方差C.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是D.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8【答案】AB【解析】對于A，由，得第80百分位數(shù)為11，A正確；對于B，，則，因此，B正確；對于C，簡單隨機抽樣，從51個個體中抽取2個個體，每個個體被抽到的概率相等，都是，C錯誤；對于D，依題意，的平均數(shù)為，D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關于點對稱C.在區(qū)間上的值域為D.若的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于軸對稱，則的最小值為【答案】BCD【解析】因為，對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A錯；對于B選項，因為，故的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，當時，，則，所以，，故在區(qū)間上的值域為，C對；對于D選項，若的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，故，解得，因為，故當時，取最小值，D對.故選：BCD.11.對于無窮數(shù)列，下列命題中正確的是（）A.若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列B.若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列C.若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列D.若各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列【答案】ABD【解析】對于A選項，若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.對于等差數(shù)列，有（為公差）；對于等比數(shù)列，有（為公比且）.若，那么，不是常數(shù)，這與等比數(shù)列性質(zhì)矛盾.所以，即，所以是常數(shù)列，A選項正確.對于B選項，等差數(shù)列滿足.設等差數(shù)列的公差為，若，當足夠大時，會無限增大，不可能始終滿足.只有當時，，才能滿足，所以是常數(shù)列，B選項正確.對于C選項，等比數(shù)列滿足.例如等比數(shù)列，，當增大時，逐漸減小且始終小于等于，滿足，但它不是常數(shù)列，C選項錯誤.對于D選項，各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.設等比數(shù)列的公比為（），.若，當足夠大時，會無限增大，不滿足；若，當足夠大時，會無限趨近于，不滿足所以只有，此時，滿足，是常數(shù)列，D選項正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的離心率為______.【答案】【解析】由橢圓的標準方程可得,則，則.故答案為：.13.已知是偶函數(shù)，則的最大值為______.【答案】【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱，易知定義域為，即，因此的解集為；即可得，所以；此時，經(jīng)檢驗滿足，符合題意；此時的定義域為，且，易知當時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減，可知在處取得極大值，也是最大值，即；所以的最大值為.故答案為：14.已知集合且中至少含有2個元素，若對于中的任意兩個不同元素，都有，則稱具有性質(zhì)，若，且同時具有性質(zhì)和，則中至多有______個元素.【答案】921【解析】先說明連續(xù)11項中集合中最多選取5項，以為例.構(gòu)造抽屜，，，，，，.①同時選，因為具有性質(zhì)和，所以選5則不選；選6則不選；選7則不選；則只剩，故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.②選2個，若只選，則不可選，又只能選一個元素，可以選，故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.若選，則只能從中選，但不能同時選，故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.若選，則不可選，又只能選一個元素，可以選，故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.③中只選1個，又四個集合，，，每個集合至多選1個元素，故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.由上述①②③可知，連續(xù)11項自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個，如取.因為，則把每11個連續(xù)自然數(shù)分組，前184組每組至多選取5項，余一個數(shù)2025.給出如下選取方法：從中選??；然后在這5個數(shù)的基礎上每次累加11，構(gòu)造184次.此時集合的元素為：；；；；，共個元素，而取也滿足題意，經(jīng)檢驗可得該集合符合要求，故集合的元素最多有個.故答案為：921.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：由題知平面，又平面，所以.又，，平面，平面，所以平面.又平面，所以.因為，所以四邊形是正方形，所以.又，平面，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）解：以點為原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示.因，所以，所以.設平面的法向量為，則，即.取，則，所以平面一個法向量為.由（1）得平面的一個法向量為.所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀棕色內(nèi)飾710米色內(nèi)飾35（1）若小明從這些模型中隨機抽取一個模型，記事件為抽到的模型為紅色外觀，事件為抽到的模型是米色內(nèi)飾，求，并據(jù)此判斷事件是否相互獨立；（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以從這些模型中一次性抽兩個汽車模型，根據(jù)這兩個汽車模型的外觀和內(nèi)飾顏色確定獎金：若外觀異色且內(nèi)飾異色，則獎勵600元，若外觀同色且內(nèi)飾同色，則獎勵300元，若僅外觀同色或僅內(nèi)飾同色，則獎勵150元，設一次抽獎的獎金為元，求的分布列與期望.解：（1）紅色外觀共有（個），，米色內(nèi)飾共有（個），，是紅色外觀且是米色內(nèi)飾的有個，，，，、不相互獨立.（2）由題意知的所有可能取值為，且，，，的分布列為600300150.17.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且.（1）求的通項公式；（2）求的通項公式；（3）將中的項按從小到大的順序插入中，且在任意的之間插入項，從而構(gòu)成一個新數(shù)列，設的前項和為，求.解：（1）由可得，又，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.（2）方法一：由已知得，所以，所以，又，等式兩邊同時相乘，可得，得，該式對也成立.故.方法二：由可知是常數(shù)列，所以，即.（3）設在的前100項中，來自的有項.若第100項來自，則應有，整理可得，該方程沒有正整數(shù)解，不滿足題意.若第100項來自，則應有，整理可得.易知在時單調(diào)遞增，當時，，不滿足題意，當時，，滿足題意，故，所以的前100項中有10項來自，有90項來自，所以.18.已知是拋物線的焦點，在點處的切線交軸于點，過點的直線與交于兩點.（1）求的方程；（2）比較與的大小，并說明理由；（3）過點的直線與交于兩點，，線段的延長線分別交于點，，試判斷直線是否過定點，如果是，請求出該定點的坐標，如果不是，請說明理由.解：（1）已知點在上，所以，即，解得，所以的方程為.（2）拋物線方程可化為，則，當時，切線斜率，由點斜式可得過點的切線方程為，即，令，可得，所以.由，可得，所以.如圖（1），設直線的方程為，聯(lián)立得得，所以.因為，所以，所以.（3）易知.由題意知直線的斜率必存在，故設直線，聯(lián)立得消去得，所以.直線的方程為，將代入，得，由，所以，同理可得.所以直線的斜率，由直線的點斜式方程可得直線，將代入，得，所以直線過定點.19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若，（i）當時，求函數(shù)的最小值；（ii）若有兩個實根，，且，證明：.解：（1）因為，所以，所以，又，所以函數(shù)在處的切線方程為：，即.（2）（i）當時，，定義域為，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又