高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榧希瑒t.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命題“”的否定是.故選：C.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)，對(duì)于A，，排除A，對(duì)于C，非奇非偶，排除C，對(duì)于D，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，排除D．通過(guò)排除法，符合條件的只有B.故選：B.4.用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】用弧度制可表示為，所以與角的終邊相同的角構(gòu)成的集合為.故選：D．5.已知，“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性由“”得到“”，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，推不出來(lái)，故是不充分條件；又當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，推不出來(lái)，故是不必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則．依題意得：，對(duì)恒成立．顯然時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，．而在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，即時(shí)，，∴．故選：A．7.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度是，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t分鐘后的溫度T滿(mǎn)足，其中h是常數(shù)，環(huán)境溫度是．若，現(xiàn)有一杯的熱水降至大約用時(shí)1分鐘，那么水溫從降至，大約還需要（）（參考數(shù)據(jù)：）A.11分鐘 B.10分鐘 C.9分鐘 D.8分鐘【答案】B【解析】由題意知，因?yàn)橐槐臒崴抵链蠹s用時(shí)1分鐘，∴，即；設(shè)水溫從降至，需要的時(shí)間為t分鐘，∴，即，∴，∴，∴水溫從降至，大約還需要10分鐘．故選：B．8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，當(dāng)時(shí)，都有設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由函數(shù)圖象平移變化可知，函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則．由于函數(shù)在單調(diào)遞增，即比較三個(gè)數(shù)的大?。⒁獾?，因?yàn)椋?，∴，∴．因?yàn)?，所以，∴，∴，所以．∴，即．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論不正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則B.函數(shù)（且）的圖象必過(guò)定點(diǎn)C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D.函數(shù)的最小正周期是【答案】AC【解析】對(duì)A選項(xiàng)，設(shè)，則，得．∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，，則，單調(diào)增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，的周期為，故D正確．故選：AC.10.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若．且，則C.D.【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，分子分母同除以得，即，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，故D正確．故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則B.若在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則或C.若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則D.若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則【答案】BD【解析】對(duì)A選項(xiàng)，B選項(xiàng)，在內(nèi)恰有一個(gè)解．當(dāng)時(shí)，顯然不是的解，當(dāng)時(shí)，可化為與，恰有一個(gè)交點(diǎn)．設(shè)與恰有一個(gè)交點(diǎn)，由圖知，或，∴或，故B正確，A錯(cuò)；對(duì)C選項(xiàng)，D選項(xiàng)有零點(diǎn)在內(nèi)有解，與有交點(diǎn)，由圖得：，故D正確，C錯(cuò)．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，即的取值范圍?13.求值：________．【答案】1【解析】．14.已知，若存在實(shí)數(shù)a（且），，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】由，得（假設(shè)），設(shè)，由題意得存在a使在R上為增函數(shù)，故，故，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）已知，求．解：（1）原式.（2）由題意得：，∴．故．∴，即.16.某藥物研究所發(fā)現(xiàn)，病人在服用某種藥物后，血液中藥物的含量（單位：）在0～6小時(shí)內(nèi)隨時(shí)間（單位：h）的變化曲線如圖所示．當(dāng)時(shí)，可選擇用函數(shù)來(lái)近似地刻畫(huà)隨變化的規(guī)律；當(dāng)時(shí)，可選擇用函數(shù)（a為常數(shù)）來(lái)近似地刻畫(huà)隨變化的規(guī)律．（1）當(dāng)時(shí)，求這段曲線的函數(shù)解析式；（2）如果該藥物在病人血液中的含量保持在以上時(shí)才有療效，問(wèn)病人一次性服用該藥物，持續(xù)有療效時(shí)長(zhǎng)約為多少小時(shí)？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)點(diǎn)，代入得．所求曲線的函數(shù)解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)時(shí)，令，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得：，∴，解得，∴．故病人一次性服用藥物，持續(xù)有療效時(shí)長(zhǎng)約為3.50小時(shí)．17.已知函數(shù)的最小正周期是，將的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（1）求函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的方程；（2）若，且，求的值．解：（1）∵函數(shù)的最小正周期是，∴，則．將的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，∵為奇函數(shù)，，即．∵，∴，∴，令，則；又令，則．∴的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸的方程為．（2）若，則．而在上遞增，在上遞減，若且，則，可得，∴.18.已知函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)t的取值范圍．解：（1）∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，解得．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，是奇函數(shù)．所以．（2）在R上單調(diào)遞增．證明如下：任取，且，則．由，及函數(shù)為增函數(shù)可得：，∴，得，∴在R上單調(diào)遞增．（3）由（2）的結(jié)論易知在上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?，所以，即關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根．令，則關(guān)于k的方程有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根.故函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).作出函數(shù)的圖象，由圖可知，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為．19.閱讀材料：某中學(xué)的數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)和，它們雖然都是增函數(shù)，但是圖象卻有很大的差異．通過(guò)觀察圖象和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，如果，都有，則稱(chēng)為區(qū)間上的凹函數(shù)；如果，都有，則稱(chēng)為區(qū)間上的凸函數(shù)．對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過(guò)查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）；若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．小組成員詢(xún)問(wèn)老師，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求含有多個(gè)變量的式子的最值問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)．解決下面問(wèn)題：（1）已知A，B，C分別為的三個(gè)內(nèi)角，直接寫(xiě)出的最大值（不用寫(xiě)出解題過(guò)程）；（2）判斷二次函數(shù)在R上的凹凸性，并說(shuō)明理由：（3）若是一組實(shí)