專題2.5整式加減中的規(guī)律問題【六大題型】

【人教版】

【題型1數(shù)式的規(guī)律】..........................................................................1

【題型2圖表的規(guī)律】..........................................................................3

【題型3圖形的規(guī)律】..........................................................................6

【題型4算式的規(guī)律】..........................................................................7

【題型5程序運算】...........................................................................10

【題型6定義新運算】.........................................................................13

“會等一正三

【題型1數(shù)式的規(guī)律】

【例1】(2022秋?婁底期中)觀察下面的三行單項式，

.r,2A2,4?,8x4,16.F,32?……①

-2x,4.r,-&必,16x”,-32X5,64,t6........②

2JT,-3X\5X3-9A5,172-33x7........③

(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第①行第8個單項式為128公

(2)第②行第8個單項式為2569，，第③行第8個單X5式為729.F

(3)取每行的第9個單項式，令這三個單項式的和為4.計算當時，512(4+》的值.

【分析】根據(jù)題三行單項式給出的規(guī)律即可求出答案.

【解答】解：(1)128點

(2)256/,-129.，

899910

(3)4=2X-2r+(28+1)r

=-28#+2卬°+”，

???512(4+9=29X4+27,

當“泄，

原式=-2sx.X29+28X,X2?+^X29+27

=-28+27X2+1

一2

故答案為：（l）256f；

（2）256A-8,-129x9；

（3）

【變式1-1]（2022秋?交城縣期中）一組按規(guī)律排列的多項式：a+b,a2-b\/+護，/-〃，…，其中第

〃（〃為正整數(shù)）個式子的次數(shù)是（）

A.nB.2n-1C.3n-1D.2n

【分析】先根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)多項式次數(shù)的定義得出答案即可.

【解答】解：?:a+b,a2-b\a3+b5,a4-b7,

???〃的指數(shù)依次為1，2,3,4,5,6,???,

b的指數(shù)依次為1,3,5,7,???,（2X1-1=1,2X2-1=3,2X3-1=7,???），

???第〃（〃為正整數(shù)）個式子的次數(shù)是2〃-1,

故選：B.

【變式1-2]（2022秋?霍山縣校汲月考?）一塊面積為1nV的長方形紙片，第一次裁去它的一半，第二次裁

去剩下紙片的一半，如此裁下去，第八次裁完后剩下的紙片的面積是（）

A.-maB.-m1C.—in1D.—m1

3264128256

【分析】根據(jù)題意知，易求出前幾次裁剪后剩下的紙片的面積，第?次剩下的面積為1巴第二次剩下的

面積為]層，第三次剩下的面積為刎，根據(jù)規(guī)律，總結(jié)出一段式，由此可以求出第八次剩下的紙片的面

積.

【解答】解：根據(jù)題意，第一次剩下的面積為）八第二次剩下的面積為第三次剩下的面積為）凡

則第〃次剩下的面積為方后

則第八次剩下的面積為5〃2,即心機2.

故選：D.

【變式1-3]（2022秋?如東縣期末）一只小球落在數(shù)軸上的某點益處，第一次從幾處向右跳1個單位到

P處，第二次從Pi向左跳2個單位到P2處，第三次從P2向右跳3個單位到P3處，第四次從P3向左跳

4個單位到凡處…，若小球按以上規(guī)律跳了（2〃+3）次時，它落在數(shù)軸上的點P/3處所表示的數(shù)恰好是

〃?3,則這只小球的初始位置點R）所表示的數(shù)是（）

A.-4B.-5C.〃+6D.〃+3

【分析】根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示出前幾個點表示的數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，進而求得這

只小球的初始位置點外所表示的數(shù).

【解答】解：設(shè)點尸。所表示的數(shù)是。，

則點Pl所表示的數(shù)是4+1,

點P.2所表示的數(shù)是a+l-2=a-1,

點P3所表示的數(shù)是。-1+3=〃+2,

點所表示的數(shù)是。+2-4=4?2,

???點夕，2〃+3）所表示的數(shù)是〃-3,

解得，4=-5,

故選：B.

【題型2圖表的規(guī)律】

【例2】（2022秋?咸豐縣期末）九格幻方有如下規(guī)律：處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個

數(shù)的和都相等（如圖1）.則圖2的九格幻方中的9個數(shù)的和為（用含〃的式子表示）

492aa-5

357a-5

816

圖1圖2

【分析】根據(jù)同一橫行、同一輕列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和相等作出圖形，根據(jù)題意列出關(guān)于。

與x的方程，可得進一步求出這9個數(shù)的和即可.

4

【解答】解：如圖所示:

357

8I6

表二

a+5a+1

a-5

【分析】根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和相等作出圖形，根據(jù)題意列出關(guān)于。

與x的方程，可得工=。+3,進一步求出這9個數(shù)的和即可.

【解答】解：如圖所示：

x-110+xa

a+5a+\x

a+2a-5a+6

a+a+1+a+2=a+x+a+6,

解得x=a-3,

3（3〃+3）=9a+9.

故答案為：9?+9.

【變式2-3］（2022秋?西城區(qū)校級期中）如下表，從左向右依次在每個小格子中都填入一個有理數(shù)，使得

其中任意四個相鄰小格子中所填數(shù)之和都等于15.已知第3個數(shù)為7,第5個數(shù)為機-1,第16個數(shù)為

2,第78個數(shù)為3-2〃?，則m的值為-4,第2021個數(shù)為7.

7m-I

【分析】根據(jù)題意，任意四個相鄰格子中的和等于15,列出等式，找出規(guī)律，計算出〃?的值；再求出第

2021個數(shù)是幾即可.

【解答】解：???任意四個相鄰小格子中所填數(shù)之和都等于15.

，第5個數(shù)（5?4==與第I個數(shù)相同,都為"L1；第16個數(shù)（16+4=4）與第4個數(shù)相同,都為2；

第78個數(shù)（78+4=19…2）與第2個數(shù)相同，都為3-2〃?；

??tn~1+3-2〃?+7+2=15,

解得m=-4,

則機-1=?4?1=-5,3-2/n=11，

.20214-4=505-1,

???第2021個數(shù)是-5.

故答案為：?4；-5.

【題型3圖形的規(guī)律】

【例3】（2022秋?思明區(qū)校級期中）為了慶祝六一兒童節(jié)，某一幼兒園舉行用火柴擺“金魚”比賽，如圖

所示：按照上面的規(guī)律，擺N個金魚需要用火柴棒的根數(shù)為（）

A.2+6〃B.6〃+8C.8〃D.4〃+4

【分析】觀察給出的3個例圖，注意火柴棒根數(shù)的變化是圖②的火柴棒比圖①的多6根，圖③的火柴棒

比圖②的多6根，而圖①的火柴棒的根數(shù)為2+6.

【解答】解：第i條小魚需要（2+6/0根，

故選：A.

【變式3-11（2022秋?晉安區(qū)期末）搭一個正方形需要4根火柴棒,按照圖中的方式搭〃個正方形需要（）

根火柴棒.

A.4〃B.4+3（〃-1）C.3〃D.4〃-（〃+1）

【分析】根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多一個正方形，則多用3根火柴.

【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一個圖形需要4根火柴，多一個正方形，多用3根火柴，則第〃個圖形

中,需要火柴4+3（〃?1）.

故選:B.

【變式3-2］（2022秋?萊陽市期中）將長為40cm,寬為15a〃的長方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來,

粘合部分的寬為5（7〃，則〃張臼紙粘合后的總長度為（）C7〃.

A.35〃+5B.35〃C.40〃D.40//+5

【分析】〃張白紙黏合，需黏合（〃-1）次,重疊5（n-1）an,所以總長可以表示出來.

【解答】解：根據(jù)題意和所給圖形可得出：

總長度為40〃-5（?-1）=35"+5（cm）,

故選:4.

【變式3-3］（2022秋?上虞市校級期中）如圖，學(xué)校準備新建一個長度為L的讀書長廊，并準備用若干塊

帶有花紋和沒有花紋的兩種規(guī)格大小相同的正方形地面磚搭配在?起，按圖中所示的規(guī)律拼成圖案鋪滿

（1）按圖示規(guī)律，第一圖案的長度心=」!_〃?；第二個圖案的長度」=2.5〃?；

（2）用代數(shù)式表示帶有花紋的地面磚塊數(shù)〃與走廊的長度乙（〃。之間的關(guān)系1=0.5（2〃+1）.

【分析】（1）觀察題目中的匕知圖形，可得前兩個圖案中有花紋的地面磚分別有：1,2個，第二個圖

案比第一個圖案多1個有花紋的地面磚，所以可得第〃個圖案有花紋的地面磚有〃塊；第一個圖案邊長

3XO.5=L,第二個圖案邊長5X05=3

（2）由（1）得出則第"個圖案邊長為乙=（2/7+1）X0.5.

【解答】解：（1）第一圖案的長度心=0.5X3=15第二個圖案的長度小=0.5乂5=2.5；

（2）觀察可得：第1個圖案中有花紋的地面磚有I塊，第2個圖案中有花紋的地面磚有2塊，…

故第〃個圖案中有花紋的地面?zhèn)饔衝塊；

第一個圖案邊長L=3X0.5,第二個圖案邊長L=5X0.5,則第〃個圖案邊長為&=0.5（2〃+1）.

故答案為:0.9,1.5；0.5（2n+l）.

【題型4算式的規(guī)律】

【例4】（2022春?杏花嶺區(qū)校級期中）計算兩個兩位數(shù)的積，這兩個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字相同，個位上

的數(shù)字之和等于10.

例如：43X47=2021,68X62=4216,74X76=5624,81X89=7209

設(shè)其中一個數(shù)的十位數(shù)字為/〃，個位數(shù)字為〃，請用含“〃囪算式表示這個規(guī)律（10加+〃）（10次+10

-〃）=1（）0〃7（1）+〃（10-〃）.

【分析】由題意得出：兩個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字相同，個位上的數(shù)字之和等于10的兩個數(shù)的積的規(guī)律

是：十位數(shù)字乘以十位數(shù)字加i的枳作為結(jié)果的千位和百位，兩個個位數(shù)字相乘的積作為結(jié)果的十位和

個位，據(jù)此可得規(guī)律.

【解答】解：由題意可得，兩個兩位數(shù)，其中i個數(shù)的十位數(shù)字為加，個位數(shù)字為〃時，另外i個數(shù)的

十位數(shù)字為，〃，個位數(shù)字為10-//,

那么這兩個數(shù)的積的規(guī)律是：十位數(shù)字乘以十位數(shù)字加一的積作為結(jié)果的千位和百位，兩個個位數(shù)字相

乘的積作為結(jié)果的十位和個位，

即：(1Oin+n)(10〃?+10-〃)=10()m(m+1)+n(10-〃).

故答案為:(10〃?+〃)(10w+10-n)=100m(m+1)+n(10-n).

【變式4-1](2022春?青島期中)若規(guī)定運算符號，滿足下列各式:

1A3=3X1-2X3；

2A(-4)=3X2-2X(-4)；

OA(-7)=3X0-2X(-7)；

(——)▲5=3X(——)-2X5；

22

(--)▲(--)=3X(--)-2X(--)；

5454

根據(jù)以上規(guī)律，求解下列各題：

(1)3a-2b；

(2)若2m-〃=3,求(2m+n)▲(-4m+5n)的值.

【分析】(1)根據(jù)定義新運算即可得出結(jié)果；(2)先根據(jù)定義新運算化簡，再整體代入求值.

【解答】解：(1)由題意可知：“▲人=3〃-26

(2)(2>n+n)A(-4/n+5/i)

=3(2m+n)-2(-4w+5n)

=3X2〃?+3〃?2X(-4w)?2X5〃

=I4〃？-7〃，

???2加-〃=3,

工原式=14機-7〃=7(2m-n')=7X3=21.

【變式4-2](2022秋?通川區(qū)校級期中)閱讀下面的文字，完成后面的問題：

我們知道：—=---

1X222X3233X434

那么(1)」一=---；---=—------；

4x5-45—2012X2013—20122013—

(2)用含有〃的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律-^—=--47；

——n(n+l)nn+1——

(3)如果1|+(曲-2)2=0,求*+再擊筋+鬲西+……+(/2。13；"2。⑶的值?

【分析】（1）根據(jù)題目中的式子，可以將所求式子分解；

（2）根據(jù)題目中式子的特點，可以寫出第〃個等式；

（3）根據(jù)題目中的式子，先裂項，然后計算即可解答本題.

【解答】解：⑴白=；一"

4X545

1_1_____1

2012x2013—20122013’

故答案為二一L---------—?

取口不々45,20122013,

(2)第〃個式子為丁二二三一士,

nx(n+l)nn+1

故答案為：士=工一士；

n(n+l)nn+1

(3)V|?-1|+Cab-2)2=0,

??a-1=0,ab-2=0,

解得：a=Lb=2,

J原式=點+*+￡+…+2。1二2。15

1111

=1I——十?一—-十?一——1十????十,---1--------1---

2233423142015

二1一短

2014

2015,

【變式4-3]（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）觀察以下5個乘法算式：6X10；8X18；11X29；12X26；25

X37.

（1）請仿照式子“6X34=202.142”，將以上各乘法算式分別寫成兩數(shù)平方差的形式；

6X10=82-22；

8X18=132-52；

11X29=202-92；

12X26=192-72；；

25X37=312-62.

（2）如果將上面五個乘法算式的兩個因數(shù)分別用字母〃，〃表示（小〃為正數(shù)且，請用含。、b

的等式表示（1）的規(guī)律.（只要求寫出結(jié)果）

【分析】（1）觀察式子6義34=2（）2?142,發(fā)現(xiàn)202=（竺蘭）2,（34-20）2,由此可得結(jié)果:

（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得結(jié)果.

【解答】解：(1)V6X34=202-142,2()2=(等)2,142=(34-20)2,

.*.6X10=(警)2?(10—等)』82?22；

同理可得：8X18=132-52；llX29=202-92；12X26=192-72；25X37=312-62；

故答案為:82-22；132-52;202-92；192-72；312-62；

(2)V6X34=202-142,202=(―)2,142=(34-20)2,

2

【題型5程序運算】

【例5】（2022?武漢模擬）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的工值為48,我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果

為24,第二次輸出的結(jié)果為12,以此類推，則第2019次輸出的結(jié)果是多少？

【分析】根據(jù)程序圖進行計算發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，從而分析求解.

【解答】解：當輸入x=48時,

第一次輸出的結(jié)果為48X1=24,

第二次輸出結(jié)果為24x1=12,

第三次輸出結(jié)果為12x1=6,

第四次輸出結(jié)果為6x^=3,

第五次輸出結(jié)果為3+3=6,

第六次輸出結(jié)果為6X；=3,

4

自第三次開始，奇數(shù)次的輸出結(jié)果為6,偶數(shù)次的輸出結(jié)果為3,

???第2019次輸出的結(jié)果是6.

【變式5-1](2022秋?封丘縣期末)如圖所示的是一個計算程序，程序規(guī)定從左至右逐步計算，若輸入〃

的值為1,則輸出的結(jié)果b的值應(yīng)為()

A.-5B.5C.7D.-3

【分析】將〃的值為I代入計算程序進行計算即可.

【解答】解：將。=1代入該計算程序得，

[I2-(-2)JX(-3)+4

=(1+2)X(-3)+4

=3X(-3)+4

=-9+4

=-5,

.*./?=-5,

故選：兒

【變式5-2](2022秋?天河區(qū)校級期中)按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為x=3,則最后輸出的

結(jié)果是多少？試寫出你的計算過

輸入x—廣計算1二D的值——?值大于loo上＞輸出結(jié)果

程.|_將值給X,再次運算悒

【分析】先把x=3代入代數(shù)式》Q+1)得代數(shù)式的值為6,利用計算程序，再把％=6代入代數(shù)式的值

為21；接著把x=21代入代數(shù)式得%(X+1)=231,從而得到最后輸出的結(jié)果.

【解答】解：當x=3H寸，(A+1)=|x3X(3+1)=6；

當x=6時，%(x+1)=1x6X(6+1)=21；

當x=2l時，%g)=21X⑵+】)=23600,

所以最后輸出的結(jié)果是231.

【變式5-3](2022秋?上虞區(qū)期末)如圖是一個運算程序的示意圖.輸入一個整數(shù)便能按圖中程序進行計

算.

（1）設(shè)輸入數(shù)X為18,那么根據(jù)程序，第1次計算的結(jié)果是9,第2次計算的結(jié)果是4,……，按這樣

的程序計算下去，第5次計算的結(jié)果為-4;程序最終輸出結(jié)果為-4.

（2）若輸入某數(shù)x后，程序依次交替進行兩種運算，且最后輸出結(jié)果為1.請嘗試通過分析，判斷輸入

數(shù)x是奇數(shù)還是偶數(shù)？進一步借助計算，直接寫出該輸入數(shù)工

將計算結(jié)果當作x

【分析】（1）通過列舉找出規(guī)律：從第5次開始，計算結(jié)果是-4,-2,-1,-6,-3,-8六個數(shù)

不斷循環(huán)，從而得出答案；

（2）先判斷出這個數(shù)是偶數(shù)，列舉得到第1次輸出結(jié)果為2期。，所以剛開始輸入的數(shù)為入=22。2。+5.

【解答】解：（1）當x=18時，第1次計算的結(jié)果是￡=9,

第2次計算的結(jié)果是9-5=4,

第3次計算的結(jié)果是:=2,

第4次計算的結(jié)果是：=1,

第5次計算的結(jié)果是5=?4,

第6次計算的結(jié)果是^=-2,

第7次計算的結(jié)果是三二一1，

第8次計算的結(jié)果是-1-5=-6,

第9次計算的結(jié)果是言=一3,

第10次計算的結(jié)果是-3-5=-8,

第II次計算的結(jié)果是U二一4,

???從第5次開始，計算結(jié)果是?4,?2,-1,-6,-3,?8六個數(shù)不斷循環(huán)，

???(2022-4)4-6=3361,

???程序最終輸出結(jié)果為-4：

故答案為：-4,-4：

（2）若x是奇數(shù)，則x-5=l,

，x=6,這與x是奇數(shù)矛盾，

???x是偶數(shù)；

第2021次輸出結(jié)果為1=2°,

第2020次輸出結(jié)果為2=21

第2019次輸出結(jié)果為4=22,

第2018次輸出結(jié)果為8=23,

第1次輸出結(jié)果為22。2。，

???必須有第一種運算的參與，

???剛開始輸入的數(shù)為X=22O2O+5.

【題型6定義新運算】

【例6】（2022秋?安新縣期末）定義J：力為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為J：4=血-兒，那么當

<=1時，二階行列式1的值為（）

.4.7B.-7C.1D.-1

【分析】根據(jù)新定義運算法則列式，然后去括號，合并同類項進行化簡，最后代入求值.

【解答】解：原式=-5（x+1）-3（x-2）

=-5x-5-3x+6

=-8x+l,

當x=l時，

原式=-8X1+1=-8+|=-7,

故選：B.

【變式6-1］（2022秋?橋西區(qū)校級期末）定義一種新運算：a&=2a-b.例如2④=2X2-3=1,則（x+y）

3（2x-y）化簡后的結(jié)果是（）

A.-3x+3yB.yC.-3x-yD.3y

【分析】根據(jù)新定義運算列出算式，然后去括號，合并同類項進行化簡.

【解答】解：原式=2(x+y)-(2r-y)

=2x+2y-2x+y

=3)，，

故選：O.

【變式6-2]定義：若。+b=0,貝J稱。與匕是關(guān)于原點的歸零數(shù).

(1)-2與2是關(guān)于原點的歸零數(shù),7-x與x7是關(guān)于原點的歸零數(shù):

(2)若a=-3?