2026版步步高大一輪高考數學復習講義第二章§2.8指數函數§2.8指數函數課標要求1.通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.2.理解指數函數的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用.指數函數及其性質(1)概念：一般地，函數y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是.

(2)指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象定義域值域性質過定點，即x=0時，y=1

當x>0時，；

當x<0時，

當x<0時，；

當x>0時，

函數

函數

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數y=-ax是指數函數.()(2)指數函數y=ax與y=a-x(a>0，且a≠1)的圖象關于y軸對稱.()(3)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.()(4)函數y=ax+2(a>0，且a≠1)過定點(0，2).()2.給出下列函數，其中為指數函數的是()A.y=x4 B.y=xxC.y=πx D.y=-4x3.若函數f(x)=ax(a>0，且a≠1)滿足f(2)=81，則f-1A.±13 B.C.13 D.4.已知函數f(x)的定義域為R，f(0)=1，f(1)f(0)=2，f(2)f(1)=2，f(3)f(2)=2，f(4)f(3)=2，…1.掌握指數函數圖象的三個特點(1)指數函數y=ax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(0，1)，(1，a)，-1，1a(2)任意兩個指數函數的圖象都是相交的，過定點(0，1)，底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱.(3)指數函數在同一平面直角坐標系中的圖象的相對位置與底數的大小關系如圖所示，其中0<c<d<1<a<b.2.謹防一個失誤點討論指數函數的單調性及值域問題時，當指數函數的底數a的大小不確定時，需分a>1和0<a<1兩種情況進行討論.題型一指數函數的概念與圖象例1(1)(多選)下列選項正確的是()A.函數f(x)=(2a2-3a+2)·ax是指數函數，則a=1B.指數函數f(x)=ax(a>0，且a≠1)的值域為(0，+∞)C.函數y=ax+1(a>0，且a≠1)的圖象可以由f(x)=ax的圖象向右平移一個單位長度得到D.函數y=a2x+3-1(a>0，且a≠1)恒過定點-(2)(多選)若函數f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的圖象過第一、三、四象限，則()A.0<a<1 B.a>1C.-1<b<0 D.b<-1思維升華對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.跟蹤訓練1(1)(多選)已知實數a，b滿足等式3a=6b，則下列可能成立的關系式為()A.a=b B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b(2)若函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點，則實數b的取值范圍是.

題型二指數函數的性質及應用命題點1比較指數式的大小例2(1)已知a=1.050.6，b=0.60.8，c=0.60.4，則a，b，c的大小關系是()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a(2)若a=1223，b=2312，c=log2A.a>c>b B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a命題點2解簡單的指數方程或不等式例3(1)已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1-x<2，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)已知函數f(x)=2|x|，則f(2-x)>f(2x+3)的解集為.

命題點3指數函數性質的綜合應用例4已知函數f(x)=2x+a·2-x是定義在R上的偶函數.(1)求a的值，并證明函數f(x)在[0，+∞)上單調遞增；(2)求函數h(x)=f(x)+f(2x)，x∈[0，1]的值域.思維升華(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷.跟蹤訓練2(1)a=123，b=20.5，c=log3A.a<b<c B.c<b<aC.a<c<b D.c<a<b(2)(2023·新高考全國Ⅰ)設函數f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0，1)上單調遞減，則a的取值范圍是()A.(-∞，-2] B.[-2，0)C.(0，2] D.[2，+∞)(3)(多選)(2024·臨沂模擬)已知函數f(x)=22x-1+a(aA.f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)B.f(x)的值域為RC.當a=1時，f(x)為奇函數D.當a=2時，f(-x)+f(x)=2抽象函數抽象函數主要研究賦值求值、證明函數的性質、解不等式等,一般通過代入特殊值求值、通過f(x1)－f(x2)的變換判定單調性、出現f(x)及f(－x)判定抽象函數的奇偶性、換x為x＋T確定周期性.(1)判斷抽象函數單調性的方法①若給出的是“和型”抽象函數f(x＋y)＝…,判斷符號時要變形為f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；②若給出的是“積型”抽象函數f(xy)＝…,判斷符號時要變形為f(x2)－f(x1)＝fx1·x2x1－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x(2)常見的抽象函數模型①正比例函數f(x)＝kx(k≠0),對應f(x±y)＝f(x)±f(y)；②冪函數f(x)＝xa,對應f(xy)＝f(x)f(y)或f

x③指數函數f(x)＝ax(a>0,且a≠1),對應f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝f(④對數函數f(x)＝logax(a>0,且a≠1),對應f(xy)＝f(x)＋f(y)或f

xy＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(⑤正弦函數f(x)＝sinx,對應f(x＋y)f(x－y)＝[f(x)]2－[f(y)]2,來源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；⑥余弦函數f(x)＝cosx,對應f(x)＋f(y)＝2f

x＋y2f

x-y2,來源于cosα＋cos⑦正切函數f(x)＝tanx,對應f(x±y)＝f(x)±f(y)1?f(典例(多選)已知函數f(x)的定義域為R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),當x>0時,f(x)>0,且滿足f(2)＝1,則下列說法正確的是()A.f(x)為奇函數B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－5,＋∞)D.f(－2025)＋f(－2024)＋…＋f(0)＋…＋f(2024)＋f(2025)＝2024答案精析落實主干知識(1)R(2)R(0，+∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增減自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.C3.C4.f(x)=2x(答案不唯一)探究核心題型例1(1)ABD[對于A，2a2-3a+2=1且a>0，a≠1，則a=12，A對于B，不論0<a<1，還是a>1，值域都為(0，+∞)，B正確；對于C，f(x)=ax的圖象向左平移一個單位長度得到y(tǒng)=ax+1的圖象，C錯誤；對于D，令2x+3=0，則x=-32，y=0，所以函數y=a2x+3-1(a>0，且a≠1)恒過定點-32，0，(2)BD[函數f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的圖象過第一、三、四象限，根據圖象的性質可得a>1，a0+b<0，即a>1，b<-1.]跟蹤訓練1(1)ABC[由題意，在同一平面直角坐標系內分別畫出函數y=3x和y=6x的圖象，如圖所示，由圖象知，當a=b=0時，3a=6b=1，故選項A正確；作出直線y=k，當k>1時，若3a=6b=k，則0<b<a，故選項B正確；作出直線y=m，當0<m<1時，若3a=6b=m，則a<b<0，故選項C正確；當0<a<b時，易得2b>1，則3a<3b<2b·3b=6b，故選項D錯誤.](2)(0，2)解析在同一平面直角坐標系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象，如圖所示.∴當0<b<2時，兩函數圖象有兩個交點，從而函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點.∴實數b的取值范圍是(0，2).例2(1)B[依題意，a=1.050.6>1.050=1，b=0.60.8<0.60.4=c<0.60=1，所以a，b，c的大小關系是a>c>b.](2)D[由題意得，0<a=1223<0<b=2312<c=log2312∵1223<1∴a<b，∴c>b>a.]例3(1)B[∵ax<1，當a>1時，y=ax是增函數，∴p：{x|x<0}.對于不等式2x+1<x+2，作出函數y=2x+1與y=x+2的圖象，如圖所示.由圖象可知，不等式2x+1<x+2的解集為{x|-1<x<0}，∴q：{x|-1<x<0}.又∵{x|-1<x<0}?{x|x<0}，∴p是q的必要不充分條件.](2)-5，-解析由函數f(x)=2|x|，可得其定義域為R，且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x)，所以f(x)=2|x|為偶函數，當x∈[0，+∞)時，f(x)=2x，可得f(x)=2|x|在[0，+∞)上單調遞增，根據偶函數的性質，不等式f(2-x)>f(2x+3)，即為f(|2-x|)>f(|2x+3|)，可得|2-x|>|2x+3|，整理得3x2+16x+5<0，解得-5<x<-13所以f(2-x)>f(2x+3)的解集為-5，-1例4解(1)因為函數f(x)在R上為偶函數，所以f(x)=f(-x)，得2x+a·2-x=2-x+a·2x，(1-a)(2x-2-x)=0恒成立，即a=1.所以f(x)=2x+2-x，對任意的0≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1)-=(2x1-因為0≤x1<x2，2x1<2x1+x2所以f(x1)<f(x2)，f(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調遞增.(2)函數h(x)=f(x)+f(2x)=2x+2-x+22x+2-2x=(2x+2-x)2+(令t=2x+2-x=2x+12因為x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，所以t∈2，5令φ(t)=t2+t-2，故函數φ(t)在2，5當t=2時，h(x)min=φ(2)=4；當t=52時，h(x)max=φ52=則函數h(x)的值域為4，27跟蹤訓練2(1)D[0<123=2-3<20.5，即0<a<b，c=log312<log31=0，所以c<a(2)D[函數y=2x在R上是增函數，而函數f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0，1)上單調遞減，則函數y=x(x-a)=x-a22-a24在區(qū)間(0，1)上單調遞減，因此a2所以a的取值范圍是[2，+∞).](3)ACD[對于函數f(x)=22x-1+a(a令2x-1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，故A正確；因為2x>0，則2x-1>-1，當2x-1>0時，22x所以22x-1+a當-1<2x-1<0時，22x所以22x-1+a綜上可得f(x)的值域為(-∞，-2+a)∪(a，+∞)，故B錯誤；當a=1時，f(x)=22x-1則f(-x)=2-x+12-x-1所以f(x)=22x-1+1當a=2時，f(x)=22x-1+2=2x+12x-1+1，則f(x)+f(-故D正確.]微拓展典例AB[對于A，令x=y=0，可得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，所以f(0)=0，令y=-x，得到f(-x)+f(x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數，故A正確；對于B，因為f(x)為奇函數，所以f(-2)=-f(2)=-1，故B正確；對于C，設x1>x2，x=x1，y=-x2，可得f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)，所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)，又因為x1>x2，所以x1-x2>0，所以f(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上單調遞增，因為f(-2)=-1，所以f(-4)=f(-2-2)=2f(-2)=-2，由f(2x)-f(x-3)>-2，可得f(2x)>f(x-3)+f(-4)，所以f(2x)>f(x-3-4)=f(x-7)，所以2x>x-7，得到x>-7，所以f(2x)-f(x-3)>-2的解集為(-7，+∞)，故C錯誤；對于D，因為f(x)為奇函數，所以f(-x)+f(x)=0，所以f(-2025)+f(2025)=f(-2024)+f(2024)=…=f(-1)+f(1)=0，又f(0)=0，故f(-2025)+f(-2024)+…+f(0)+…+f(2024)+f(2025)=0，故D錯誤.]§2.9對數函數課標要求1.通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.2.了解指數函數y=ax(a>0，且a≠1)與對數函數y=logax(a>0，且a≠1)互為反函數.1.對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象定義域值域性質過定點，即x=1時，y=0

當x>1時，；

當0<x<1時，

當x>1時，；

當0<x<1時，

函數

函數

2.反函數指數函數y=ax(a>0，且a≠1)與對數函數y=logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線對稱.

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數y=loga2x(a>0，且a≠1)是對數函數.()(2)對數函數y=logax(a>0，且a≠1)是增函數.()(3)對數函數y=logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(1，0).()(4)函數y=log2x與y=log12x的圖象關于x軸對稱.(2.函數f(x)=ln(4-xA.(-∞，4) B.(3，4)C.(-∞，3)∪(3，4) D.(-∞，3)∪(3，+∞)3.函數f(x)=loga|x|+1(a>1)的圖象大致為()4.若對數函數f(x)經過點(2，1)，則它的反函數g(x)的解析式為.

1.掌握三個對數函數圖象的特點(1)不論a>1還是0<a<1，對數函數y=logax(a>0，且a≠1)的圖象都無限靠近y軸，但不會與y軸相交.(2)不論a>1還是0<a<1，對數函數y=logax(a>0，且a≠1)的圖象都經過點1a，-1，(1，0)，(a，1)，且圖象都在y軸右側，據此可以快速畫出對數函數y=logax(a>0，且a≠(3)對數函數在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，其中圖象(C1，C2，C3，C4對應的底數依次為a，b，c，d)的相對位置與底數大小有關.圖中0<c<d<1<a<b.2.謹防兩個失誤點(1)凡涉及對數型函數，其真數與底數的取值范圍一定不能忽略.(2)在解決對數型復合函數時，當底數a的范圍沒有明確時，必須分0<a<1和a>1兩種情況討論.題型一對數函數的概念與圖象例1(1)(多選)下列選項正確的是()A.若函數f(x)=loga-1x+a2-5a+6是對數函數，則a=3或a=2B.函數f(x)=1x+ln(3+x)的定義域為(-3，0)∪(0，+∞C.函數f(x)=loga(4x-3)(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)D.f(x)=log2(x2-2x)的單調遞增區(qū)間是(1，+∞)(2)(多選)已知函數f(x)=lnx，g(x)=lgx，若f(m)=g(n)，則下列結論可能成立的為()A.m=n B.n<m<1C.m<1<n D.1<m<n思維升華對數函數圖象的識別及應用方法(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.跟蹤訓練1(1)(多選)函數f(x)=logax(a>0且a≠1)，下列說法正確的是()A.當0<a<1時，函數在其定義域上是減函數B.f(x)的反函數為g(x)=axC.當0<a<1且x>1時，f(x)>0D.若點(2，1)在f(x)的圖象上，則f14(2)若函數y=ax(a>0，且a≠1)的圖象過點12，13，則函數y=log題型二對數函數的性質及應用命題點1比較對數式的大小例2(1)(2024·延慶模擬)設a=log32，b=log96，c=12A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.b>a>c(2)(多選)(2025·黑龍江龍東聯盟聯考)已知2a=3b=6，則a，b滿足()A.a=log26 B.a<bC.1a+1b<1 D.a+命題點2解簡單的對數方程或不等式例3(1)已知函數f(x)=log2x-x+1，則不等式f(x)<0的解集是()A.(0，1) B.(0，2)C.(1，2) D.(0，1)∪(2，+∞)(2)(2025·中山模擬)設實數a>0，則“2a>2”是“l(fā)ogaa+12A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件命題點3對數函數性質的綜合應用例4(1)(多選)(2024·煙臺模擬)已知函數f(x)=lg(x2+ax-a)，下列說法中正確的是()A.若f(x)的定義域為R，則a的取值范圍是(-4，0)B.若f(x)的值域為R，則a的取值范圍是(-∞，-4]∪[0，+∞)C.若a=2，則f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞，-1)D.若f(x)在(-2，-1)上單調遞減，則a的取值范圍是-(2)(多選)(2025·岳陽模擬)關于函數f(x)=log2x+log2(4-x)，下列說法正確的是()A.f(x)的最大值為1B.f(x)在區(qū)間(0，2)上單調遞增C.f(x)的圖象關于直線x=2對稱D.f(x)的圖象關于點(2，0)對稱思維升華求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成.跟蹤訓練2(1)已知a=0.50.9，b=ln3，c=log312A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.a>c>b(2)(多選)(2025·遼寧教研聯盟模擬)關于函數f(x)=lg21-A.f(x)的定義域為(-1，1)B.f(x)的圖象關于y軸對稱C.f(x)的圖象關于原點對稱D.f(x)在(0，1)上單調遞增答案精析落實主干知識1.(0，+∞)R(1，0)y>0y<0y<0y>0增減2.y=x自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C3.A4.g(x)=2x探究核心題型例1(1)BC[對于A，a解得a=3，A錯誤；對于B，x≠0，3+x>0，解得x>-3且x對于C，令4x-3=1，解得x=1，則f(1)=loga1=0，C正確；對于D，x2-2x>0?x∈(-∞，0)∪(2，+∞)，可知當x>2時，y=x2-2x單調遞增，結合復合函數的單調性可知f(x)的單調遞增區(qū)間為(2，+∞)，D錯誤.](2)ABD[根據題意，在同一直角坐標系中畫出f(x)=lnx與g(x)=lgx的圖象，如圖所示，當x=1時，此時f(x)=g(x)，即f(m)=g(n)，故m=n=1，故A正確；當0<x<1時，若f(m)=g(n)，則n<m<1，故B正確；當x>1時，若f(m)=g(n)，則1<m<n，故D正確.]跟蹤訓練1(1)ABD[對于A，當0<a<1時，f(x)=logax在其定義域上是減函數，故A正確；易知B正確；對于C，當0<a<1時，f(x)=logax在其定義域上是減函數，所以當x>1時，f(x)=logax<loga1=0，故C錯誤；對于D，因為點(2，1)在f(x)的圖象上，所以loga2=1，則a=2，所以f(x)=log2x，則f14=log214=log22-2=-2，故D正確(2)B[由于函數y=ax(a>0，且a≠1)的圖象過點12故13=a12，∴a則y=loga|x|=log19|=lo該函數為偶函數，圖象關于y軸對稱，且在(0，+∞)上單調遞減，在(-∞，0)上單調遞增，只有B中圖象符合該函數圖象特點.]例2(1)D[因為b=log96=log32(6)2=log36，且c又3<2<6，函數y=log3x在(0，+∞)上單調遞增，則log33<log32<log36，所以c<a<b.](2)AD[A選項，由2a=6，得a=log26，故A正確；B選項，由3b=6，得b=log36，∵a=log26>2，b=log36<2，∴a>b，故B錯誤；C選項，∵1a+1b=1log26+1logD選項，∵a≠b且a>0，b>0，∴由基本不等式得a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab例3(1)D[f(x)=log2x-x+1的定義域為(0，+∞)，f(1)=log21-1+1=0，f(2)=log22-2+1=0，由f(x)<0可得log2x<x-1，即y=x-1的圖象在y=log