專題04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一.基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域?yàn)椋?2\*GB3②值域?yàn)?，函?shù)在整個(gè)定義域上沒(méi)有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)解決，故以三次函數(shù)為例來(lái)研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2)若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3)若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4)若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說(shuō)明:(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號(hào)），所以（或，且）;(3)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;(4)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以且.性質(zhì)3：對(duì)稱性（1）三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線，且對(duì)稱中心是；；（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】1.其導(dǎo)函數(shù)為對(duì)稱軸為，所以對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸，可見(jiàn)，圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；2.是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱.3.若圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.4.已知三次函數(shù)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則有.【題型歸納目錄】題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題題型四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題題型七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題【典例例題】題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例1．若，則函數(shù)在區(qū)間上恰好有A．0個(gè)零點(diǎn) B．1個(gè)零點(diǎn) C．2個(gè)零點(diǎn) D．3個(gè)零點(diǎn)例2．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）若恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值．例3．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍；（Ⅱ）若，求證：函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)．例4．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．例5．已知函數(shù)在處有極值．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題例6．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個(gè)根為（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：還有不同于的實(shí)根、，且、、成等差數(shù)列；（Ⅲ）若函數(shù)的極大值小于16，求（1）的取值范圍．例7．已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求在區(qū)間，上的最小值．例8．已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．（1）求、的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，求的最大值．例9．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值，求的取值范圍；（3）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題例10．已知三次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為．例11．三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．例12．已知函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．例13．已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C． D．題型四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題例14．已知函數(shù)．求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；設(shè)常數(shù)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．例15．已知函數(shù)．（Ⅰ）若的圖象在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的取值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例16．已知定義在上的函數(shù)，為常數(shù)，且是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)，可作曲線的三條切線，求的取值范圍．例17．設(shè)函數(shù)，其中．曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．（1）確定，的值；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條不同切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例18．已知函數(shù)在處取得極值（1）求函數(shù)的解析式；（2）求證：對(duì)于區(qū)間，上任意兩個(gè)自變量的值，，都有；（3）若過(guò)點(diǎn)，可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的范圍．例19．已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程（2）設(shè)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：（a）題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題例20．已知函數(shù)的圖象上存在一定點(diǎn)滿足：若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同于的兩點(diǎn)，、，，且恒有為定值，則的值為．例21．已知函數(shù)的圖象上存在一定點(diǎn)滿足：若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同于的兩點(diǎn)，，，，就恒有的定值為，則的值為．例22．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，，則A．6 B．8 C．10 D．12例23．已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，則的值為．例24．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問(wèn)題（1）函數(shù)的對(duì)稱中心為；（2）計(jì)算．例25．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此時(shí)，稱為原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．若二階導(dǎo)數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．設(shè)三次函數(shù)請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問(wèn)題：①函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為；②計(jì)算．題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題例26．已知函數(shù)在，上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是A．5 B．6 C．1 D．8例27．已知，，且（a）（b）（c），現(xiàn)給出如下結(jié)論；①；②；③（1）；④（3）；⑤其中正確結(jié)論的序號(hào)是．例28．已知，，且（a）（b）（c）．現(xiàn)給出如下結(jié)論：①（1）；②（1）；③（3）；④（3）；⑤；⑥．其中正確結(jié)論的序號(hào)是A．①③⑤ B．①④⑥ C．②③⑤ D．②④⑥例29．已知，，且（a）（b）（c），現(xiàn)給出如下結(jié)論：①（3）；②（1）；③（1）（3）；④．其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題例30．已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，．（1）求的極值；（2）求證：對(duì)任意，，都有．例31．已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)，處的切線方程為．（1）求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)，，不等式恒成立，求的取值范圍．例32．已知函數(shù)在處取得極值，其圖象在點(diǎn)，（1）處的切線與直線平行．（1）求，的值；（2）若對(duì)，都有恒成立，求的取值范圍．例33．已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．（1）求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)，，不等式恒成立，求的取值范圍．例34．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）證明對(duì)任意，，不等式恒成立．例35．已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）若對(duì)任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)任意，，，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例36．設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；（Ⅱ）已知不等式對(duì)，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例37．設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．（1）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；（2）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例38．設(shè)函數(shù)在處取得極值．（1）設(shè)點(diǎn)，，求證：過(guò)點(diǎn)的切線有且只有一條；并求出該切線方程．（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍；（3）設(shè)曲線在點(diǎn)，，，處的切線都過(guò)點(diǎn)，證明：．例39．已知在上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)，且方程有三個(gè)根，它們分別為，2，．（1）求的值；（2）求證（1）；（3）求的取值范圍．例40．已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，且方程的三個(gè)根分別為1，，．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍．例41．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說(shuō)明理由；（Ⅱ）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，，為方程的三個(gè)根，且，，，，，求證：或．例42．已知函數(shù)，且．（1）試用含的代數(shù)式表示；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）令，設(shè)函數(shù)在、處取得極值，記點(diǎn)，，，．證明：線段與曲線存在異于，的公共點(diǎn)．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·山東泰安·高三期中）過(guò)曲線外一點(diǎn)作的切線恰有兩條，則（

）A． B． C． D．2．（2022·河南洛陽(yáng)·三模（理））若過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)在R上單週遞增，則（

）A． B．0 C． D．5．（2022·吉林·模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．6．（2022·廣東·廣州市玉巖中學(xué)高三期中）函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·四川省峨眉第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，求的范圍（

）A．(3，2) B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”和對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是其對(duì)稱中心，請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是（

）A．存在有兩個(gè)及兩個(gè)以上對(duì)稱中心的三次函數(shù)B．函數(shù)的對(duì)稱中心也是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．存在三次函數(shù)，方程有實(shí)數(shù)解，且點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心D．若函數(shù)，則三、填空題10．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則__________，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．11．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為_(kāi)______．12．（2022·遼寧·遼師大附中高三階段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)P(0，a)可作出曲線y=2x3–3x2的3條不同的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.13．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高三期末（理））已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為_(kāi)__________．14．（2022·湖北·荊州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則與的關(guān)系為_(kāi)_______．15．（2022·四川達(dá)州·一模（理））對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程=0有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)(，)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．設(shè)函數(shù)，則____________.四、解答題16．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在與處都取得極值.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求c的范圍.17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；(3)求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．18．（2022·廣東·惠來(lái)縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)(1)當(dāng)b=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍.19．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)