專題04指數(shù)與對(duì)數(shù)（一）根式(1)n次方根的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．②a的n次方根的表示：xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，當(dāng)n為奇數(shù)且n∈N*，n＞1時(shí)，,x＝±\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)且n∈N*時(shí).))(2)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n為偶數(shù).))（二）有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，要求底數(shù)都大于0，否則不能用性質(zhì)來(lái)運(yùn)算．（三）對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．提醒：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系（四）對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)1．對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①loga1＝0；②aeq\s\up12(logaN)＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．2．換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．3．換底公式的三個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.4．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．題型一根式的化簡(jiǎn)與求值【典例1】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用配方法將被開(kāi)方數(shù)配湊成完全平方形式即可求解.【詳解】解：，故選：D．【典例2】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）下列各式中成立的一項(xiàng)（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC選項(xiàng)；根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化可判斷BD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：D.【典例3】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍_________

【答案】【分析】由二次根式的化簡(jiǎn)求解【詳解】由題設(shè)得，，所以所以，．故答案為：【規(guī)律方法】1.根式化簡(jiǎn)或求值的注意點(diǎn)解決根式的化簡(jiǎn)或求值問(wèn)題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．2．對(duì)eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)(1)對(duì)(eq\r(n,a))n的理解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n對(duì)任意a∈R都有意義，且(eq\r(n,a))n＝a，當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)對(duì)eq\r(n,an)的理解：對(duì)任意a∈R都有意義，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).(3)對(duì)于根式的運(yùn)算還要注意變式，整體代換，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用，做到化繁為簡(jiǎn)，必要時(shí)進(jìn)行討論．題型二指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值【典例4】（2021·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的值，再開(kāi)方即可.【詳解】根據(jù)題意得，，因?yàn)椋?故選：D.【典例5】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式即可求解【詳解】，，，，，則有，，，，故A.B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤，故選：D.【典例6】（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）（1）求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）81；（2）6.【分析】（1）（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）原式；（2）由，而，則，故.【特別提醒】指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答．題型三對(duì)數(shù)的概念與性質(zhì)【典例7】（2021·天津高考真題）若，則（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.【詳解】，，.故選：C.【典例8】對(duì)數(shù)式中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，5) B．(2,5)C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)【答案】D【解析】由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,a－2>0，,a－2≠1，))∴2<a<3或3<a<5.故選D.【易錯(cuò)提醒】對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都有范圍限制，不能只考慮真數(shù)范圍而忽視底數(shù)的范圍．【典例9】（2015·浙江·高考真題（文））計(jì)算：_________，_________．【答案】

【解析】【詳解】；.【總結(jié)提升】1.對(duì)數(shù)式logaN＝b是由指數(shù)式ab＝N變化得來(lái)的，兩式底數(shù)相同，對(duì)數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值，而對(duì)數(shù)值b是指數(shù)式中的冪指數(shù)，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系如圖：并非所有指數(shù)式都可以直接化為對(duì)數(shù)式．如(－3)2＝9就不能直接寫(xiě)成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0時(shí)，才有ax＝N?x＝logaN.2.對(duì)數(shù)性質(zhì)在計(jì)算中的應(yīng)用(1)對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)的常用性質(zhì)：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)時(shí)，有時(shí)需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能運(yùn)用；對(duì)于多重對(duì)數(shù)符號(hào)的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)．3.運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式時(shí)注意事項(xiàng)(1)對(duì)于對(duì)數(shù)恒等式alogaN＝N要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為對(duì)數(shù)的真數(shù)．(2)對(duì)于指數(shù)中含有對(duì)數(shù)值的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，應(yīng)充分考慮對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用．題型四對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值【典例10】(2020·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)alog34＝2，則4－a＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：因?yàn)閍log34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故選B．法二：因?yàn)閍log34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故選B．法三：因?yàn)閍log34＝2，所以＝log43，所以＝3，兩邊同時(shí)平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故選B．【典例11】【多選題】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)運(yùn)算檢驗(yàn)，即可判斷各選項(xiàng)是否運(yùn)算錯(cuò)誤．【詳解】解：對(duì)于A，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以選項(xiàng)D正確．故選：ABC．【典例12】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）已知，，試用表示；（2）已知，，試用表示．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（2）同類型題，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化及換底公式即可求解.【詳解】（1），，，，；（2），，．【方法技巧】1.對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并．(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．2.應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用．(2)題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式統(tǒng)一成一種形式，注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用．3．對(duì)數(shù)式的條件求值問(wèn)題要注意觀察所給數(shù)字特征，分析找到實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的共同點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．4．利用換底公式計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值的一般思路：思路一：用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算→換成同一底數(shù)．思路二：一次性統(tǒng)一換為常用對(duì)數(shù)(或自然對(duì)數(shù))→化簡(jiǎn)、通分、求值．題型五：對(duì)數(shù)的應(yīng)用【典例13】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)x、y、z為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，將2x，3y，4z用k表示，再用作商比較法比較大小即可．【詳解】解：為正數(shù)，令所以所以，又因?yàn)?，，所以，故選：C．【典例14】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷即可【詳解】

，

，．故選：B．【典例15】（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.【典例16】（2021·全國(guó)·高考真題（文））青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.題型六：指數(shù)冪、對(duì)數(shù)綜合運(yùn)算及應(yīng)用【典例17】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用運(yùn)算法則求解即可．【詳解】故選：D．【典例18】（浙江·高考真題（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，則a=___，b=____.【答案】

【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，因?yàn)?，因此【點(diǎn)睛】在解方程時(shí)，要注意，若沒(méi)注意到，方程的根有兩個(gè)，由于增根導(dǎo)致錯(cuò)誤【典例19】（天津·高考真題（文））已知log2a+log2b≥1，則3a+9b的最小值為_(kāi)________．【答案】18【解析】【詳解】試題分析：先把已知條件轉(zhuǎn)化為ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式轉(zhuǎn)化到用ab表示即可．解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．又3a+9b=3a+32b≥2=2，因?yàn)閍+2b≥2=2≥2=4，所以3a+9b≥2=18．即3a+9b的最小值為18．故答案為18．【典例20】（2021·江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高一期中）已知，，且，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】##【分析】由可得，則化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得答案【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，所以的最小值為，故答案為：一、單選題1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）下列運(yùn)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，分選項(xiàng)排除即可．【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，成立，故B正確；對(duì)于C，，成立，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)且時(shí)，和無(wú)意義，故D錯(cuò)誤，故選：D．2．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若則（

）A．10 B．15 C． D．【答案】C【分析】將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)求出的值，原式分子分母除以變形后，將代入計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)閮蛇吰椒降茫?，所以原式，故選：C3．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，那么用表示是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】，故選:.4．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一期末）已知，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可比較出的大小關(guān)系，再根據(jù)基本不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得的范圍，即可解出．【詳解】因?yàn)?，，所以，又，，所以．故選：C．二、多選題5．（2021·江蘇省濱海中學(xué)高一期中）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】CD【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，，所以D選項(xiàng)正確.故選：CD6．（2021·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一期中）若實(shí)數(shù)，且，則下列表述正確的是(

)A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念和計(jì)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.【詳解】，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.7．（2021·江蘇·高一階段練習(xí)）若，則（

）A．a(chǎn)+b＝2 B．b﹣a＝1 C．a(chǎn)b＞8lg22 D．b﹣a＜lg6【答案】AC【分析】由指對(duì)互化求出，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出a+b和b﹣a的值，可判斷ABD，且，可判斷C.【詳解】解：∵，∴，∴，所以選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)BD錯(cuò)誤；所以C正確.故選：AC.8．（2021·江蘇南通·高一期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】求差法判斷選項(xiàng)A；求得取值范圍判斷選項(xiàng)B；求得之間的關(guān)系判斷選項(xiàng)C；求得取值范圍判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，則，所以，故選項(xiàng)A判斷正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)椋瑒t，故選項(xiàng)D判斷正確.故選：ACD三、填空題9．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)），則_______．【答案】##【分析】首先求平方，再根據(jù)的符號(hào)開(kāi)方可得答案.【詳解】因?yàn)?，且，所?故答案為：10．（2020·山東·高考真題）若，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)為，求解的值.【詳解】，即，解得：.故答案為：11．（2022·江蘇·高一）=________【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)換底公式及運(yùn)算法則，指數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故答案為：12．（2021·江蘇常州·高一階段練習(xí)）已知，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)有意義，所以x>0,y>0.由，可得：，即，當(dāng)?shù)忍?hào)成立解得：（舍去）.所以的最小值為4.故答案為：4.四、解答題13．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式(1)；(2)．【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則求解即可得到結(jié)果；（2）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則求解即可得到結(jié)果．（1）原式；（2）原式．14．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）；（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：（1）．