專題21導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題目錄TOC\o"11"\h\u 1基礎題型一：求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間 1基礎題型二：已知函數(shù)的遞增（遞減）區(qū)間為,求參數(shù) 3基礎題型三：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)求參數(shù) 4基礎題型四：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 7基礎題型五：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù) 8 9提升題型一：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型） 9提升題型二：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 12提升題型三：導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型 17基礎題型一：求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間1．（2022·云南·昆明一中模擬預測（理））設a為實數(shù)，函數(shù)，且是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，又因為是偶函數(shù)，所以，即，故，即，所以，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C．2．（2022·山東淄博·高二期末）函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵令，則∴函數(shù)的遞增區(qū)間為故選：A．3．（2022·北京市第三十五中學高二階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得：函數(shù)的定義域為，，當時，；當時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.4．（2022·廣東·深圳實驗學校光明部高三期中）己知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________．【答案】【詳解】函數(shù)，其定義域，則在恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.5．（2022·全國·高二專題練習）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_________.【答案】【詳解】由題意，則恒成立，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為故答案為：基礎題型二：已知函數(shù)的遞增（遞減）區(qū)間為,求參數(shù)1．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為________．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，且，由題意可知，不等式的解集為，所以，，解得.故答案為：.2．（2022·陜西·大荔縣教學研究室高二期末（文））已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則的值為______.【答案】【詳解】由題設，，由單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的解集為，則是的解集，∴，可得，故.故答案為：3．（2022·全國·模擬預測）若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】，令，得，由函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，得導函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，所以.故答案為：基礎題型三：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)1．（2022·天津·大港一中高一期中）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【詳解】，又在上是減函數(shù)，在上恒成立，即，即故答案為：.2．（2022·上海市楊浦高級中學高二期末）若函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的最小值是_________.【答案】1【詳解】，，函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，在上恒成立，即在上恒成立，，，時在上恒成立，實數(shù)的最小值為：1.故答案為：1.3．（2022·全國·高二專題練習）若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍為________．【答案】【詳解】因為函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，對稱軸為，所以當時，取得最小值，即，所以，即m的取值范圍為.故答案為：4．（2022·福建·莆田二中高三階段練習）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是____【答案】【詳解】解：，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需在上恒成立；即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，而，當且僅當，即時等號成立，此時符合題意.即.故答案為：5．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是______．【答案】【詳解】對求導，得．∵在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，則．設，則，∴當時，；當時，，∴當時，取得最小值，∴．故答案為：6．（2022·福建·廈門外國語學校高二階段練習）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】，在上單調(diào)遞增，在上恒成立；令，則；①當時，，在上單調(diào)遞增，，解得：，；②當時，令，解得：，則當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，解得：；綜上所述：的取值范圍為.基礎題型四：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)1．（2022·江西贛州·高二階段練習（理））若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【詳解】解：，因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，即不等式在上有解，令，令，則，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.2．（2022·四川省成都市第八中學校高三階段練習（文））若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是___.【答案】【詳解】，其中，則．由于函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得，即，，構(gòu)造函數(shù)，則．，令，得．當時，；當時，．所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則，所以，，故答案為．基礎題型五：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)1．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是_____________【答案】【詳解】解：由題意得，f′（x）=3x212在區(qū)間（k1，k+1）上至少有一個實數(shù)根，而f′（x）=3x212的根為±2，區(qū)間（k1，k+1）的長度為2，故區(qū)間（k1，k+1）內(nèi)必須含有2或2．∴k1＜2＜k+1或k1＜2＜k+1，∴1＜k＜3或3＜k＜12．（2022·河南商丘·高二階段練習（文））已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【詳解】由題知，，，，①當時，在上恒大于零，則在上單調(diào)遞增，不符合題意；②當時，由得，；由得，；所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當時，取得極大值，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得．綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2022·四川·攀枝花七中高二階段練習（理））已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍為__________．【答案】【詳解】求導得，易知，，單增；，，單減；若使在區(qū)間上不單調(diào)，只需，則.故答案為：提升題型一：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）1．（2022·河南·洛陽市第一高級中學高三階段練習（理））已知，函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1），①當時，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減；②當時，時，時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；2．（2022·貴州六盤水·高二期末（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)時，函數(shù)在上為增函數(shù)；時，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)；【詳解】（1）的定義域為，且，當時，成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，當時，成立，所以在上為增函數(shù)；當時，，所以在上為減函數(shù).綜上，時，函數(shù)在上為增函數(shù)；時，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù).3．（2022·北京·北師大實驗中學高三期中）已知函數(shù)，其中.(1)當時，求在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；【答案】(1)；(2)當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【詳解】（1）當時，，，，故，所以在點處的切線方程為；（2）的定義域為R，，當時，恒成立，此時在R上單調(diào)遞增；當時，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；4．（2022·吉林·長春市第八中學高三階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析（1）因為，所以.若，則恒成立；若，則當時，，當時，.故當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.5．（2022·全國·南寧二中高三期末（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)見解析（1）定義域：..①當，即時：恒成立.故在上單調(diào)遞減.②當，即時：令，即，解得：;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當時：在上單調(diào)遞減；當時：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.6．（2022·遼寧撫順·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析(1)由已知得函數(shù)的定義域為R，則由于，從而當時，恒成立，故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當時，由，解得；由，解得，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上：當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.提升題型二：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型1．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預測（理））已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【詳解】（1）因為，∴．①若，當時，,當或時，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；②若，恒有．即在定義域上單調(diào)遞增；③若，當時，,當或時，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.2．（2022·黑龍江·大慶實驗中學高三開學考試）已知函數(shù)，其中(1)求的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得函數(shù)，因，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.3．（2022·福建省漳州市第八中學高三階段練習）已知函數(shù)，其中為實常數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）解：當時，，所以，所以切線方程為，即；（2）解：的定義域為，，當時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增；當時，，在上遞減；當時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，綜上所述，當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當時，在上遞減；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.4．（2022·河南·洛陽市第一高級中學高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析（1）解：由題意，函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，綜上可得，當時，單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.5．（2022·云南省楚雄天人中學高二階段練習）已知函數(shù)(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見解析(1)解：當時，，所以，所以，，故在點處的切線方程是，即；(2)解：因為定義域為，所以，因為，當，即當時，由，解得或，當時，恒成立，當，即當時，由，解得或，綜上，當時，的遞增區(qū)間是，，當時，的遞增區(qū)間是，當時，的遞增區(qū)間是，；6．（2022·遼寧·沈陽二中高二期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(1)函數(shù)的定義域為．．當時，若，則；若，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．當時在單調(diào)遞增．當時，，若或，則；若，則．所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．當時，，若或，則；若，則．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．綜上所述，時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．時，在單調(diào)遞增．時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．7．（2022·江蘇省蘇州實驗中學高二期中）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析(1)的定義域為，依題意可知，，，當時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，由恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞減，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在定義域上單調(diào)遞減.8．（2022·遼寧·高二期中）已知函數(shù)．(1)當a＝1時，求零點的個數(shù)；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)有3個零點；(2)答案見解析.（1）當a＝1時，，則，由，得x<0或x>2，由，得0<x<2，則在（0，2）上單調(diào)遞減，在（－∞，0）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，因為，，，，所以有3個零點．（2）由題意可得，①當a≤0時，由，得x>2，由，得x<2，則在（－∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，②當時，由，得或x>2，由，得lna<x<2，則在（lna，2）上單調(diào)遞減，在（－∞，lna）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，③當時，恒成立，則在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，④當時，由，得x<2或x>lna，由，得2<x<lna，則在（2，lna）上單調(diào)遞減，在（－∞，2）和（lna，+∞）上單調(diào)遞增，綜上，當a≤0時，f（x）在（－∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；當時，在（lna，2）上單調(diào)遞減，在（－∞，lna）和（2，+∞）上單調(diào)遞增；當時，在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增；當時，在（2，lna）上單調(diào)遞減，在（－∞，2）和（lna，+∞）上單調(diào)遞增．提升題型三：導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型1．（2022·廣西·桂林市第五中學高三階段練習（文））已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見解析.【詳解】（1）當a=2時，，則，∴，∴在點處的切線斜率，∴在點處的切線方程為，即：.（2）的定義域為，，①當時，恒成立，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.②當時，，，兩根分別為，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜述：①當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.2．（2022·浙江·高二期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析(1)定義域為，，，①當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，由得，或時，，時，，函數(shù)在遞增；在遞減；3．（2022·安徽宿州·高二期中）已知函數(shù)．(1