高三數(shù)學(xué)試卷（文科）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A2.在平行四邊形中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法運(yùn)算求解.【詳解】解：在平行四邊形中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，易知，所以．故選：D3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的幾何性質(zhì)即可求得拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：C4（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】表示以為首項(xiàng)，為公比的前項(xiàng)和，所以.故選：A5.函數(shù)的零點(diǎn)為（）A.4 B.4或5 C.5 D.或5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解，注意函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得：，解得，故的定義域?yàn)?，令，得，則，解得或，又∵，所以．故選：C.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A.5 B.6 C.8 D.7【答案】D【解析】【分析】利用框圖從逐個(gè)向后代入去計(jì)算，進(jìn)而求得滿足題意的的值.詳解】時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．故輸出i的值為7．故選：D7.一個(gè)正四棱柱的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且該四棱柱的底面面積為3，高為，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，該正四棱柱的體對(duì)角線為球的直徑，進(jìn)而計(jì)算體對(duì)角線長(zhǎng)度，并計(jì)算體積即可.【詳解】解：設(shè)該正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則,，解得，所以該正四棱柱的體對(duì)角線為球的直徑，設(shè)球的半徑為，所以，，即，所以，球體積為．故選：B8.若，則（）A.3 B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切兩角差公式，湊角得的值，再將所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齊次式，再利用商數(shù)關(guān)系，化成含的式子，代入求值即可.【詳解】解：因?yàn)椋裕蔬x：A.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷都大于1，利用，即可判斷大小，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷c的范圍，即得答案.【詳解】因?yàn)槭荝上的增函數(shù)，故,又，所以，而為單調(diào)減函數(shù)，故，故，故選：D10.若從區(qū)間內(nèi)，任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a的取值范圍，再利用幾何概型就求得其對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于，則或，解得或．由幾何概型可知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角大于的概率為．故選：B11.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像．若在上單調(diào)，則的值不可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知，進(jìn)而得，故有或或，再解不等式求解即可.【詳解】解：由題知，，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)，所以或或，所以的取值范圍是．所以，的值不可能為故選：B12.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過且與C左支交于P，Q兩點(diǎn)，P在以為直徑的圓上，，則C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)P在以為直徑的圓上，得到，設(shè)，，得到，由雙曲線定義得到，求出，由勾股定理求出，從而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，因?yàn)镻在以為直徑的圓上，所以，即，則．因?yàn)镼在C的左支上，所以，即，解得，則．因?yàn)?，所以，即，故，故．故選：A第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.復(fù)數(shù)的實(shí)部為___________．【答案】7【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘方和復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】．故實(shí)部為7，故答案為：7.14.若某圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為3，則該圓柱的側(cè)面積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】解：由題知圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，所以，該圓柱的側(cè)面積為．故答案為：15.若滿足約束條件，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】畫出可行域，通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置來求得的范圍.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，要求的取值范圍，即求在軸上的截距的取值范圍，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最大，即最小，過時(shí)在軸上的截距最小，即最大，所以，，故的取值范圍為，故答案為：16.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：數(shù)列由被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列而成，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最小值為___________．【答案】52【解析】【分析】由題知數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：由題知，被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列為：10，22，34，46，58...構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為的等差數(shù)列，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為52．故答案為：52三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．已知．（1）求C；（2）若c是a，b的等比中項(xiàng)，且的周長(zhǎng)為6，求外接圓的半徑．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理、余弦定理，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理，由，因?yàn)?，所以，于是由，因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)閏是a，b的等比中項(xiàng)，所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以外接圓的半徑為.18.在四棱錐中，平面底面，底面是菱形，E是中點(diǎn)，．（1）證明：平面．（2）若四棱錐的體積為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)F，連接，可得，由線面平行的判定定理可得答案；（2）取的中點(diǎn)O，連接，則，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，設(shè)，則求出，連接，由底面是菱形，求出，再由余弦定理可得答案．【小問1詳解】連接交于點(diǎn)F，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以F是的中點(diǎn)，又E是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；【小?詳解】取的中點(diǎn)O，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，設(shè)，則，得，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以，且，因?yàn)椋?，又，所以由余弦定理可得?9.某加工工廠加工產(chǎn)品A，現(xiàn)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研收集到需加工量X（單位：千件）與加工單價(jià)Y（單位：元/件）的四組數(shù)據(jù)如下表所示：X681012Y12m64根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到Y(jié)關(guān)于X的線性回歸方程為，其中．（1）若某公司產(chǎn)品A需加工量為1.1萬件，估計(jì)該公司需要給該加工工廠多少加工費(fèi)；（2）通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)，判斷Y與X是否高度線性相關(guān)．參考公式：，時(shí)，兩個(gè)相關(guān)變量之間高度線性相關(guān)．【答案】（1）該公司需要給該加工工廠57200元加工費(fèi).（2）Y與X高度線性相關(guān).【解析】【分析】（1）由線性回歸直線方程必過，代入方程與已知聯(lián)立可得與m的值，進(jìn)而求得回歸方程，代入可得單價(jià)，由總加工費(fèi)等于單價(jià)乘以件數(shù)可得結(jié)果.（2）計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r，比較與0.9可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，，則，又∵∴，，∴，∵1.1萬=11千，∴當(dāng)時(shí)，（元），∴（元），答：估計(jì)該公司需要給該加工工廠57200元加工費(fèi).【小問2詳解】由（1）知，，，，∴∴，∴兩個(gè)相關(guān)變量之間高度線性相關(guān).20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，．令，得，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，則．令，得．因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．而，且．又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，恒有，在上無零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.21.已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，．（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于不同于的兩點(diǎn)，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義求解即可；（2）設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和向量垂直的坐標(biāo)表示可得，又，故求的最大值即可.【小問1詳解】設(shè)的半焦距為，由，可得，解得，因?yàn)椋訡的方程為．【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，則不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，，化簡(jiǎn)整理得，設(shè)，則，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，得，將代入上式，得，得，解得或（舍去）．所以直線的方程為，則直線恒過點(diǎn)，所以．設(shè)，則，，易知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．又，所以．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）消去參數(shù)可得C的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式可求直線直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入普通方程，消元后根據(jù)參數(shù)的幾何意義求解.【小問1詳解】由（t為參數(shù)），得，故曲線C的普通方程為．由，得，故直線l的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】由題意可知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程并整理得，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是，則，從而，故．