專題十概率10.1隨機(jī)事件、古典概型與條件概率考點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率1.(2024新課標(biāo)Ⅰ,14,5分,難)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字,甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.

14答案1解析若甲總得分小于2,則甲得0分或1分,記甲、乙所選卡片數(shù)字大小為有序數(shù)對(duì)(a,b),可固定甲卡片數(shù)字順序?yàn)?,3,5,7,然后將乙所選卡片數(shù)字進(jìn)行全排列,共A44=24甲得0分時(shí),一定是(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),甲得1分時(shí),符合條件的有①(1,2),(3,4),(5,8),(7,6),②(1,2),(3,6),(5,8),(7,4),③(1,2),(3,6),(5,4),(7,8),④(1,2),(3,8),(5,6),(7,4),⑤(1,4),(3,2),(5,6),(7,8),⑥(1,4),(3,6),(5,2),(7,8),⑦(1,4),(3,6),(5,8),(7,2),⑧(1,4),(3,8),(5,6),(7,2),⑨(1,6),(3,4),(5,8),(7,2),⑩(1,6),(3,4),(5,2),(7,8),(1,8),(3,4),(5,6),(7,2),共11種.綜上,符合條件的共12種,所以甲總得分不小于2的概率為1-12A442.(2023北京,18,13分,中)為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律,收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù),如下表所示.在描述價(jià)格變化時(shí),用“+”表示“上漲”,即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高;用“-”表示“下跌”,即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低;用“0”表示“不變”,即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用頻率估計(jì)概率.(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率;(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的.在未來的日子里任取4天,試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率;(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.(結(jié)論不要求證明)解析(1)由題表得這40天內(nèi)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的天數(shù)為16,估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率為1640(2)由(1)估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率為25由題表估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“下跌”的概率為1440=720所以所求概率為C4(3)第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“不變”的概率估計(jì)值最大.詳解:因?yàn)樵撧r(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響,且第40天的價(jià)格“上漲”,所以只需統(tǒng)計(jì)前40天中價(jià)格“上漲”的次日的價(jià)格變化情況.由題表知價(jià)格“上漲”的次日價(jià)格“上漲”的天數(shù)為4,價(jià)格“下跌”的天數(shù)為2,價(jià)格“不變”的天數(shù)為9,所以第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“不變”的概率估計(jì)值最大.3.(2018北京文,17,13分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2)隨機(jī)選取1部電影,估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率;(3)電影公司為增加投資回報(bào),擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率為502000(2)由題意知,樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估計(jì)為1-3722000(3)增加第五類電影的好評(píng)率,減少第二類電影的好評(píng)率.4.(2015四川文,17,12分)一輛小客車上有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車.乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處);(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3214532451解析(1)余下兩種坐法如下表所示:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3241532541(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則所有可能的坐法可用下表表示為:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)2134523145234152345123541243152435125341于是,所有可能的坐法共8種.設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個(gè)數(shù)為4.所以P(A)=48=1答:乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是12考點(diǎn)2古典概型1.(2021全國(guó)甲文,10,5分)將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8答案C列舉法:基本事件為(1,1,1,0,0),(1,1,0,1,0),(1,1,0,0,1),(1,0,1,1,0),(1,0,1,0,1),(1,0,0,1,1),(0,1,1,1,0),(0,1,1,0,1),(0,1,0,1,1),(0,0,1,1,1),共10種情況,其中2個(gè)0不相鄰的情況有6種,故P=610=0.6,故選C2.(2022全國(guó)甲文,6,5分)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.1答案C依題意知,總的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個(gè).其中符合數(shù)字之積是4的倍數(shù)的基本事件有6個(gè),故所求概率P=615=253.(2021全國(guó)甲理,10,5分)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為()A.1答案C解題指導(dǎo):先求4個(gè)1和2個(gè)0的所有排列數(shù),再利用插空法求2個(gè)0不相鄰的種數(shù).解析從6個(gè)位置中任選2個(gè)位置排2個(gè)0,其他4個(gè)位置排4個(gè)1,共有C62C44=15種排法;先排4個(gè)1,再將2個(gè)0插空,共有C52=10一題多解(捆綁法):由題意知2個(gè)0相鄰共有C22C51種排列方法,易錯(cuò)提醒本題是相同元素的排列問題,實(shí)際上元素之間無區(qū)別,是組合問題.4.(2022新高考Ⅰ,5,5分)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A.1答案D解法一:從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)共有C72=21如圖,所取的2個(gè)數(shù)互質(zhì)的取法有3+4+2+3+1+1=14種,所以這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1421解法二(間接法):從7個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)共有C72=21種取法,2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的情況有兩種:①?gòu)?個(gè)偶數(shù)中任取2個(gè),有C42=6種取法;②從偶數(shù)和奇數(shù)中各取一個(gè),有1種取法,所以2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的取法有7種,所以取2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1-75.(2018課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是女同學(xué)的概率為()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案D設(shè)兩名男生為A,B,三名女生為a,b,c,則從5人中任選2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10種.2人都是女同學(xué)的有(a,b),(a,c),(b,c),共3種,所以所求概率為310方法總結(jié)古典概型概率的求法:(1)應(yīng)用公式P(A)=mn求概率的關(guān)鍵是尋求基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù).(2)基本事件個(gè)數(shù)的確定方法①列舉法:此法適用于基本事件較少的古典概型;②列表法:此法適用于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn),也可看成是坐標(biāo)法;③畫樹狀圖法:畫樹狀圖法是進(jìn)行列舉的一種常用方法,適用于有順序的問題或較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求.6.(2017課標(biāo)Ⅱ文,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.110B.15C.3答案D本題考查古典概型.畫出樹狀圖如圖:可知所有的基本事件共有25個(gè),滿足題意的基本事件有10個(gè),故所求概率P=1025=25.思路分析由樹狀圖列出所有的基本事件,可知共有25個(gè),滿足題目要求的基本事件共有10個(gè).由古典概型概率公式可知所求概率P=1025=2易錯(cuò)警示本題易因忽略有放回的抽取而致錯(cuò).疑難突破當(dāng)利用古典概型求概率時(shí),應(yīng)區(qū)分有放回抽取與無放回抽取.有放回抽取一般采用畫樹狀圖法列出所有的基本事件,而無放回抽取一般采用窮舉法.7.(2016課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.13B.12C.2答案C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種,所以所求事件的概率P=46=23,解后反思從4種顏色的花中任選2種共有6種情況,不重不漏地列舉出所有情況是解題關(guān)鍵.評(píng)析本題主要考查了古典概型、不重不漏地將所有情況列舉出來是解題關(guān)鍵.8.(2016課標(biāo)Ⅲ文,5,5分)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.815B.18C.1答案C小敏輸入密碼后兩位的所有可能情況如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種.而能開機(jī)的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率為1159.(2016北京文,6,5分)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為()A.15B.25C.8答案B設(shè)這5名學(xué)生為甲、乙、丙、丁、戊,從中任選2人的所有情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10種.其中甲被選中的情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4種,故甲被選中的概率為410=25.易錯(cuò)警示在列舉基本事件時(shí)要不重不漏,可畫樹狀圖:評(píng)析本題考查古典概型,屬中檔題.10.(2015課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.310B.15C.1答案C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)有10種取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能構(gòu)成一組勾股數(shù)的有1種:(3,4,5),故所求事件的概率P=110,故選11.(2015廣東文,7,5分)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4B.0.6C.0.8D.1答案B記3件合格品分別為A1,A2,A3,2件次品分別為B1,B2,從5件產(chǎn)品中任取2件,有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10種可能.其中恰有一件次品有6種可能,由古典概型概率公式得所求事件概率為610=0.6.選12.(2014課標(biāo)Ⅰ理,5,5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A.18B.38C.5答案D由題意知4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)有24種情況,而4位同學(xué)都選周六有1種情況,4位同學(xué)都選周日有1種情況,故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為P=24?1?12413.(2014陜西文,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()A.15B.25C.3答案B設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A、B、C、D,中心為O,從這5個(gè)點(diǎn)中,任取兩個(gè)點(diǎn)的事件分別為AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10種,其中只有頂點(diǎn)到中心O的距離小于正方形的邊長(zhǎng),分別是AO、BO、CO、DO,共有4種.故滿足條件的概率P=410=25.評(píng)析本題考查古典概型知識(shí),考查分析問題及閱讀理解的能力.理解只有頂點(diǎn)到中心的距離小于邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.14.(2013課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A.12B.13C.1答案B從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6種不同的結(jié)果,取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的有(1,3),(2,4)2種結(jié)果,概率為13,故選15.(2012安徽文,10,5分)袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于()A.15B.25C.3答案B將同色小球編號(hào).從袋中任取兩球,所有基本事件為(紅,白1),(紅,白2),(紅,黑1),(紅,黑2),(紅,黑3),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,黑3),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),共有15個(gè)基本事件,而一白一黑的共有6個(gè),故所求概率P=615=25.評(píng)析本題主要考查古典概型概率的求解,同時(shí)考查了列舉法.16.(2011課標(biāo)文,6,5分)有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A.13B.12C.2答案A甲、乙兩人都有3種選擇,共有3×3=9種情況,甲、乙兩人參加同一興趣小組共有3種情況.∴甲、乙兩人參加同一興趣小組的概率P=39=13,評(píng)析本題主要考查古典概型的概率運(yùn)算,屬容易題.17.(2011浙江文,8,5分)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球,則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是()A.110B.310C.3答案D解法一(直接法):所取3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的取法可分為互斥的兩類:兩紅一白有6種取法,一紅兩白有3種取法,而從5個(gè)球中任取3個(gè)球的取法共有10種,所以所求概率為910,故選解法二(間接法):至少有一個(gè)白球的對(duì)立事件為所取3個(gè)球中沒有白球,即只有3個(gè)紅球,共1種取法,故所求概率為1-110=910,18.(2024全國(guó)甲理,16,5分,難)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中無放回地隨機(jī)取3次,每次取1個(gè)球.設(shè)m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值,n為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值,則m與n之差的絕對(duì)值不大于12的概率為16答案7解析記取出的三個(gè)球上的數(shù)字依次為a、b、c,a,b,c=1,2,3,4,5,6,a≠b≠c,則從中無放回地隨機(jī)取三次的所有數(shù)字情況共有A63=120由|m-n|=a+b2得|a+b-2c|≤3,即-3≤a+b-2c≤3,∴-3+2c≤a+b≤3+2c.當(dāng)c=6時(shí),9≤a+b≤15,則(a,b)的所有可能為(4,5),(5,4),共2種;當(dāng)c=5時(shí),7≤a+b≤13,則(a,b)的所有可能為(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(3,4),(4,3),(4,6),(6,4),共10種;當(dāng)c=4時(shí),5≤a+b≤11,則(a,b)的所有可能為(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(5,6),(6,5),共16種;當(dāng)c=3時(shí),3≤a+b≤9,則(a,b)的所有可能為(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(4,5),(5,4),共16種;當(dāng)c=2時(shí),1≤a+b≤7,則(a,b)的所有可能為(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3),共10種;當(dāng)c=1時(shí),-1≤a+b≤5,則(a,b)的所有可能為(2,3),(3,2),共2種.故滿足條件的a,b,c共有2+10+16+16+10+2=56種.∴m與n之差的絕對(duì)值不大于12的概率P=56120=19.(2022全國(guó)甲理,15,5分)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè),則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

答案6解析從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)頂點(diǎn),共有C84=70種選法,其中4個(gè)點(diǎn)在同一平面的選法共12種,即選正方體的6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的4個(gè)頂點(diǎn),根據(jù)古典概型概率公式知所求概率P=20.(2022全國(guó)乙,理13,文14,5分,應(yīng)用性)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為.

答案3解析設(shè)“甲、乙都入選”為事件A,從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作包含的基本事件有C53個(gè),事件A包含的基本事件有C31個(gè),所以P(A21.(2016四川文,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.

答案1解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12個(gè).記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A,則事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2個(gè).∴P(A)=212=1易錯(cuò)警示對(duì)a,b取值時(shí)要注意順序.評(píng)析本題考查了古典概型.正確列舉出基本事件是解題的關(guān)鍵.22.(2014課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.

答案2解析設(shè)2本不同的數(shù)學(xué)書為a1、a2,1本語文書為b,在書架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6種,其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4種,因此2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率P=46=223.(2014課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

答案1解析甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)藍(lán)9種,其中顏色相同的有3種,所以所求概率為39=124.(2014江蘇,4,5分)從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是.

答案1解析從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.滿足條件的有(2,3),(1,6),共2種情況.故P=26=125.(2014浙江文,14,4分)在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張,另1張無獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎(jiǎng)的概率是.

答案1解析設(shè)A為一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,B為二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,C為無獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,則甲、乙兩人抽取的所有可能結(jié)果為AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6種.而甲、乙兩人都中獎(jiǎng)的情況有AB、BA,共2種.故所求概率為26=126.(2013課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),其和為5的概率是.

答案0.2解析任取兩個(gè)不同的數(shù)的情況有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,其中和為5的有2種,所以所求概率為21026.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率.解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(2)①?gòu)某槌龅?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種.②由(1),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來自甲年級(jí)的是A,B,C,來自乙年級(jí)的是D,E,來自丙年級(jí)的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=521易錯(cuò)警示解決古典概型問題時(shí),需注意以下幾點(diǎn):(1)忽視基本事件的等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤;(2)列舉基本事件考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤;(3)在求基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)時(shí),一個(gè)按有序,一個(gè)按無序處理導(dǎo)致錯(cuò)誤.27.(2017山東文,16,12分)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由題意知,從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個(gè),則所求事件的概率P=315=1(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè).包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè),則所求事件的概率P=29方法總結(jié)求古典概型概率的一般步驟:1.求出所有基本事件的個(gè)數(shù)n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法;2.求出事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m;3.代入公式P(A)=mn求解28.(2015天津文,15,13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽.(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù);(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽.(i)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;(ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.解析(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.(2)(i)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.(ii)編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種.因此,事件A發(fā)生的概率P(A)=915=3評(píng)析本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.29.(2015山東文,16,12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.解析(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人,故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人,所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P=1545=1(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個(gè).根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè).因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=215評(píng)析本題考查隨機(jī)事件的概率及其計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí).30.(2014四川文,16,12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由題意知,(a,b,c)所有可能的結(jié)果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A,則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種.所以P(A)=327=1因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為19(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.所以P(B)=1-P(B)=1-327=8因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為89評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型等概念及相關(guān)計(jì)算,考查應(yīng)用意識(shí).31.(2014天津文,15,13分)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表:一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種.(2)選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此,事件M發(fā)生的概率為615=2評(píng)析本題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.32.(2016山東文,16,12分)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:①若xy≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);②若xy≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.解析用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4=16,所以基本事件總數(shù)n=16.(1)記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為5(2)記“xy≥8”為事件B,“3<xy<8”為事件C,則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè),即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=3事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè),即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因?yàn)?8>所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.易錯(cuò)警示本題出錯(cuò)的原因有兩個(gè):(1)理解不清題意,不能將基本事件列舉出來;(2)列舉基本事件有遺漏.評(píng)析本題主要考查了古典概型,理解題意,不重不漏地列舉出基本事件是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)3.事件相互獨(dú)立性1.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅱ,12,5分,難)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立,發(fā)送0時(shí),收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時(shí),收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時(shí),收到的信號(hào)即為譯碼;三次傳輸時(shí),收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1)()A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當(dāng)0<α<0.5時(shí),若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率答案ABD當(dāng)發(fā)送0時(shí),收到0,1分別記為事件A,B,當(dāng)發(fā)送1時(shí),收到0,1分別記為事件C,D,則P(A)=1-α,P(B)=α,P(C)=β,P(D)=1-β,且A,B,C,D相互獨(dú)立.對(duì)于A,即求事件DAD發(fā)生的概率,P(DAD)=P(A)·(P(D))2=(1-α)(1-β)2,故A正確;對(duì)于B,即求事件DCD發(fā)生的概率,P(DCD)=P(C)·(P(D))2=β(1-β)2,故B正確;對(duì)于C,采用三次傳輸方案,發(fā)送1,且譯碼為1的情況有兩種:3次發(fā)送均收到1,3次發(fā)送恰有2次收到1,故所求概率為(1-β)3+3β(1-β)2,故C不正確;對(duì)于D,采用三次傳輸方案,發(fā)送0,且譯碼為0的概率為(1-α)3+3(1-α)2α=(1+2α)(1-α)2,采用單次傳輸方案,發(fā)送0,且譯碼為0的概率為1-α,(1+2α)(1-α)2-(1-α)=(1-α)[(1+2α)(1-α)-1]=(1-α)(-2α2+α)=(1-α)(1-2α)α,∵0<α<12,∴1-α>0,1-2α>0,∴(1-α)(1-2α)α>0,∴(1+2α)(1-α)2>1-α,故D正確故選ABD.2.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立答案B依題意,有放回地隨機(jī)取兩次,共有36種不同結(jié)果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).其中P(甲)=636=16,P(乙)=636=16,P(丙)=5丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6個(gè)基本事件.丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5個(gè)基本事件.易知“甲、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為0個(gè),“丙、丁同時(shí)發(fā)生”的基本事件為0個(gè),“乙、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(6,2),共1個(gè),∴P(乙丙)=136,又P(乙)·P(丙)=16×5同理可知“甲、丁同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(1,6),∴P(甲丁)=136,又P(甲)·P(丁)=16×16=136,∴P(甲丁)=P∴甲與丁相互獨(dú)立,故選B.3.(2022全國(guó)乙理,10,5分,應(yīng)用性)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則()A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大答案D棋手與甲、乙、丙比賽順序有以下A33=6①比賽順序?yàn)榧住⒁?、丙時(shí),p=p1p2(1-p3)+(1-p1)p2p3=p1p2+p2p3-2p1p2p3;②比賽順序?yàn)榧住⒈?、乙時(shí),p=p1p3(1-p2)+(1-p1)p3p2=p1p3+p2p3-2p1p2p3;③比賽順序?yàn)橐?、甲、丙時(shí),p=p2p1(1-p3)+(1-p2)p1p3=p1p2+p1p3-2p1p2p3;④比賽順序?yàn)橐摇⒈?、甲時(shí),p=p2p3(1-p1)+(1-p2)·p3p1=p2p3+p1p3-2p1p2p3;⑤比賽順序?yàn)楸⒓?、乙時(shí),p=p3p1(1-p2)+(1-p3)·p1p2=p1p3+p1p2-2p1p2p3;⑥比賽順序?yàn)楸?、乙、甲時(shí),p=p3p2(1-p1)+(1-p3)·p2p1=p2p3+p1p2-2p1p2p3.易得情況①與⑥,②與④,③與⑤的概率分別相等,又p3>p2>p1>0,∴p1p2<p1p3,p2p3>p1p3,∴②與④的概率最大,即棋手在第二盤與丙比賽,p最大,故選D.一題多解:設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為p甲,在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為p乙,在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為p丙.由題意得,p甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3,p乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3,p丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3.由p3>p2>p1>0,得p丙-p甲=p2p3-p1p2=p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=p1p3-p1p2=p1(p3-p2)>0,∴p丙最大.故選D.4.(2015課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A該同學(xué)通過測(cè)試的概率P=C32×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648,5.(2024新課標(biāo)Ⅱ,18,17分,難)某投籃比賽分為兩個(gè)階段,每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成.比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次,若3次都未投中,則該隊(duì)被淘汰,比賽成績(jī)?yōu)?分;若至少投中1次,則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次,每次投籃投中得5分,未投中得0分,該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成,設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨(dú)立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.(2)假設(shè)0<p<q.(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?18解析(1)由題意知甲參加第一階段比賽與乙參加第二階段比賽是相互獨(dú)立事件.因此甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率為[1-(1-p)3][1-(1-q)3]=[1-(1-0.4)3][1-(1-0.5)3]=0.686.(2)(i)設(shè)由甲參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為P1,乙參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為P2,則P1=[1-(1-p)3]q3,P2=[1-(1-q)3]p3.則P1-P2=[1-(1-p)3]q3-[1-(1-q)3]p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又0<p<q<1,所以q-p>0,p+q-pq=p(1-q)+q>0,∴P1>P2,則應(yīng)由甲參加第一階段,這樣才能使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大.(ii)設(shè)甲參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)閄,則X的可能取值為0,5,10,15.則P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]·C31q(1-q)P(X=10)=[1-(1-p)3]·C32qP(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,所以由甲參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0+5[1-(1-p)3]·C31q(1-q)2+10[1-(1-p)3]·C32q2(1-q)+15[1-(1-p)3]·q3=15q(3p-3p設(shè)乙參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)?yōu)閅,同理可得乙參加第一階段比賽,該隊(duì)比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望E(Y)=15p(3q-3q2+q3).E(X)-E(Y)=15q(3p-3p2+p3)-15p(3q-3q2+q3)=15pq(q-p)(3-p-q),因?yàn)?<p<q<1,所以q-p>0,3-p-q>0,所以E(X)>E(Y).則由甲參加第一階段比賽時(shí),該隊(duì)比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大.6.(2020課標(biāo)Ⅰ理,19,12分)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.解析(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為116(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為116乙連勝四場(chǎng)的概率為116丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為18所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-116(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為116因此丙最終獲勝的概率為18考點(diǎn)4條件概率與全概率公式1.(2023全國(guó)甲理,6,5分,中)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4答案A設(shè)既愛好滑雪,又愛好滑冰的同學(xué)占比為x,則有60%+50%-x=70%,解得x=40%.∴若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為40%50%=0.8,故選A2.(2014課標(biāo)Ⅱ理,5,5分)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A由條件概率可得所求概率為0.60.75=0.8,故選3.(2023天津,13,5分,中)甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球,其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球,取到的三個(gè)球都是黑球的概率為;將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球,是白球的概率為.

答案1解析設(shè)事件A=“從三個(gè)盒子中各取一球,取到的三個(gè)球都是黑球”,則P(A)=40%×25%×50%=120設(shè)事件B=“混合后取到白球”,由全概率公式可得P(B)=5154.(2022新高考Ⅰ,20,12分,應(yīng)用性)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”,P(B|A)P(i)證明:R=P((ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|B)的估計(jì)值,并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)由題中數(shù)據(jù)可知K2=200×(40×90?10×60)2100×100×50×150=24>6.635,所以有99(2)(i)證明:因?yàn)镽=P(且P(所以R=P((ii)由題表中數(shù)據(jù)可知P(A|B)=40100=25,P(A|B)=10100=110,P(A|B)=60所以R=P(A|B

10.2離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差1.(2020課標(biāo)Ⅲ理,3,5分)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案B根據(jù)均值E(X)=i=14xipi,方差D(X)=i=14[xi-E(X)]2·pi選項(xiàng)均值E(X)方差D(X)標(biāo)準(zhǔn)差D(X)A2.50.650.65B2.51.851.85C2.51.051.05D2.51.451.45由此可知選項(xiàng)B對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大,故選B.2.(2018浙江,7,4分)設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P11p則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),()A.D(ξ)減小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大D.D(ξ)先增大后減小答案D本小題考查隨機(jī)變量的分布列,期望、方差的計(jì)算及函數(shù)的單調(diào)性.由題意得E(ξ)=0×1?p2+1×12+2×D(ξ)=0?12+p2·1?p=18[(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·=-p2+p+14=-p?1由0<1?p2<1,0<p2<1,1?p3.(2021浙江,15,6分)袋中有4個(gè)紅球,m個(gè)黃球,n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=,E(ξ)=答案1;8解題指導(dǎo):由古典概型概率計(jì)算公式求得m+n+4的值,再利用概率公式求出m,從而得n的值,進(jìn)而求出m-n;利用超幾何分布的概率公式分別求出ξ=0,1,2的概率,然后利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到結(jié)果.解析∵P(ξ=2)=C42Cm+∴m+n+4=9,又∵P(一紅一黃)=C41·Cm∴n=2,∴m-n=1.P(ξ=0)=C52C92=1036=518,P(ξ=1)∴E(ξ)=5184.(2024北京,18,13分,中)某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況,從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份,記錄并整理這些保單的索賠情況,獲得數(shù)據(jù)如下表:索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè):一份保單的保費(fèi)為0.4萬元;前三次索賠時(shí),保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元;第四次索賠時(shí),保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率;(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.(i)記X為一份保單的毛利潤(rùn),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;(ii)如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與(i)中EX估計(jì)值的大小.(結(jié)論不要求證明)18解析(1)解法一(直接法):由題意可知“一份保單索賠次數(shù)不少于2次”的概率P=60+30+10800+100+60+30+10=1解法二(間接法):由題意可知“一份保單索賠次數(shù)不少于2”的對(duì)立事件為“一份保單索賠次數(shù)少于2”,則所求概率為P=1-800+100800+100+60+30+10=1-9001000=(2)(i)由題意可知毛利潤(rùn)X的可能取值為0.4,-0.4,-1.2,-2,-2.6.P(X=0.4)=8001000=45,P(X=-0.4)=1001000P(X=-1.2)=601000=350,P(X=-2)=301000P(X=-2.6)=101000=1所以X的分布列為X0.4-0.4-1.2-2-2.6P41331EX=0.4×45+(-0.4)×110+(-1.2)×350+(-2)×3100(ii)由題意知該情況下一份保單保費(fèi)=0.4×45×(1-4%)+0.4×15×(1+20%)=0.403毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望=0.122+(0.4032-0.4)=0.1252,因?yàn)?.1252>0.122,所以該情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望大于EX.5.（2023課標(biāo)I，21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．6.(2022全國(guó)甲理,19,12分,應(yīng)用性)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.解析(1)記“甲學(xué)校在第i個(gè)項(xiàng)目獲勝”為事件Ai(i=1,2,3),“甲學(xué)校獲得冠軍”為事件E.則P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)∴甲學(xué)校獲得冠軍的概率為35(2)記“乙學(xué)校在第j個(gè)項(xiàng)目獲勝”為事件Bj(j=1,2,3).X的所有可能取值為0,10,20,30.則P(X=0)=P(B1B2BP(X=10)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3=12P(X=20)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3)+P(B1B2=12P(X=30)=P(B1B2B3)=12∴X的分布列為X0102030P411173∴E(X)=0×425+10×7.(2021新高考Ⅰ,18,12分)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.解題指導(dǎo):(1)由題意分析出X的所有可能取值,并求出所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率,從而求出X的分布列.(2)根據(jù)(1),可求出小明先回答A類問題的數(shù)學(xué)期望E(X),再求出小明先回答B(yǎng)類問題的數(shù)學(xué)期望.通過比較,即可得出結(jié)果.解析(1)由題易知X的所有可能取值為0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.假設(shè)小明先回答B(yǎng)類問題,其累計(jì)得分為Y,則Y的所有可能取值為0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,所以E(Y)>E(X),所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.方法總結(jié)求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟:1.判斷取值:即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值及取每個(gè)值所表示的意義;2.探求概率:利用排列組合、枚舉法、概率公式,求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率;3.寫出分布列:按規(guī)定形式寫出分布列,注意檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確;4.求期望值:利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求其期望值.8.(2022北京,18,13分,應(yīng)用性)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)解析(1)甲以往參加的10次比賽中,有4次比賽成績(jī)達(dá)到獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的標(biāo)準(zhǔn),則甲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率P=410(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,設(shè)甲、乙、丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)分別為事件A,B,C,則A,B,C,A,B,C相互獨(dú)立,且P(A)=25,P(B)=P(C)=12,P(A)=1-P(A)=1-25=35,P(則P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(CP(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)PP(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=25P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25故X的數(shù)學(xué)期望EX=0×320(3)丙.詳解:乙奪冠的概率為P(乙)=16丙奪冠的概率為P(丙)=14甲奪冠的概率為P(甲)=1-512P(丙)最大,所以丙奪冠的概率最大.9.(2018北京理,17,12分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率;(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率是502000(2)設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”,事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”.故所求概率為P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由題意知:P(A)估計(jì)為0.25,P(B)估計(jì)為0.2.故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.解后反思古典概型的概率以及方差的求解:在使用古典概型的概率公式時(shí),應(yīng)該注意:(1)要判斷該概率模型是不是古典概型;(2)先分清基本事件的總數(shù)n與事件A中包含的結(jié)果數(shù)m,再利用公式P(A)=mn求出事件A發(fā)生的概率.在求方差時(shí),要學(xué)會(huì)判斷隨機(jī)變量是不是服從特殊分布,若服從,則利用特殊分布的方差公式求解10.(2017課標(biāo)Ⅲ理,18,12分)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解析本題考查隨機(jī)變量的分布列,數(shù)學(xué)期望.(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時(shí),若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.當(dāng)200≤n<300時(shí),若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元.11.(2017天津理,16,13分)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為12,13,(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.解析本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,事件的相互獨(dú)立性,互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=1?12×1?1P(X=1)=12×1-13×1-14+1-12×13×1-14+1?12×1?13×P(X=2)=1?12×13×14+12×1?13×1P(X=3)=12×13×14所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×1(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1124+11=1148所以,這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為1148技巧點(diǎn)拔解決隨機(jī)變量分布列問題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量可以取哪些值以及取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率,只有正確理解隨機(jī)變量取值的意義才能解決這個(gè)問題,理解隨機(jī)變量取值的意義是解決這類問題的必要前提.12.(2016天津理,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由已知,有P(A)=C31C所以,事件A發(fā)生的概率為13(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32+P(X=1)=C31CP(X=2)=C31C所以,隨機(jī)變量X的分布列為X012P474隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×415+1×715+2×評(píng)析本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式,互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.13.(2015天津理,16,13分)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由已知,有P(A)=C22C所以,事件A發(fā)生的概率為635(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1331隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1評(píng)析本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式,互斥事件,離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.屬中等難度題.14.(2015四川理,17,12分)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場(chǎng)比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為C33C因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1-1100=99(2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C31CP(X=2)=C32CP(X=3)=C33C所以X的分布列為X123P131因此,X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí),考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)與方法分析和解決實(shí)際問題的能力.15.(2015安徽理,17,12分)已知2件次品和3件正