數(shù)學(xué)思想方法及解題能力的概述綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u26256數(shù)學(xué)思想方法及解題能力的概述綜述 1282361.1.數(shù)學(xué)思想方法的概述 1206581.2.常見的數(shù)學(xué)思想方法及其應(yīng)用 173931.3.數(shù)學(xué)解題能力的概述 4數(shù)學(xué)思想方法的概述數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及其形成過(guò)程的理性認(rèn)識(shí)和基本看法，是在數(shù)學(xué)的提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中所采用的各種手段和途徑，具有“行為準(zhǔn)則”的意義和一定的可操作性。對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法，本文采用了邵光華教授的分類形式，即一般性方法：數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)化歸等；特殊性方法：分類討論、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。常見的數(shù)學(xué)思想方法及其應(yīng)用一、分類討論。分類討論思想對(duì)于情況復(fù)雜的問(wèn)題往往有效，它能幫助解題者理清雜亂無(wú)章的思緒。借助分類討論思想能將復(fù)雜問(wèn)題分散成簡(jiǎn)單的小問(wèn)題，它能使學(xué)生考慮問(wèn)題不重不漏更全面、解題更準(zhǔn)確高效。分類討論思想應(yīng)用廣泛，比如，絕對(duì)值問(wèn)題、排列組合問(wèn)題、含參問(wèn)題等（具體應(yīng)用詳見例題）。二、數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法源于古希臘，歐幾里得在證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)時(shí)隱含著：如果有個(gè)素?cái)?shù)，就必然存在第個(gè)素?cái)?shù)，因而推出素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)。這是一種試圖以有限處理無(wú)限的做法，是人們?cè)谟邢夼c無(wú)限間邁出的第一步。17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在研究證明有關(guān)“算術(shù)三角形”的一些命題時(shí)，首次對(duì)數(shù)學(xué)歸納法做出明確闡述。后來(lái)伯努利、德.摩根、皮亞諾等數(shù)學(xué)家的研究使數(shù)學(xué)歸納法得到進(jìn)一步發(fā)展和完善。數(shù)學(xué)歸納法是一種非常有效的證明方法，證明命題具有遞推性，以一次性的邏輯推理代替了無(wú)限次的驗(yàn)證過(guò)程，繞開了很多障礙顯得簡(jiǎn)潔有力。數(shù)學(xué)歸納法的形式有：第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，若①當(dāng)時(shí)，成立；②假設(shè)時(shí)命題成立，由此推得時(shí)，成立；則對(duì)一切正整數(shù)，成立。第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，若①當(dāng)時(shí)，成立；②假設(shè)時(shí)命題成立，由此推得時(shí)，成立；則對(duì)一切正整數(shù)，成立?！纠?】有個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，每個(gè)機(jī)場(chǎng)都有一架飛機(jī)，各個(gè)飛機(jī)場(chǎng)之間的距離互不相等?，F(xiàn)讓所有飛機(jī)一齊起飛，飛向最近的機(jī)場(chǎng)降落，求證必存在一個(gè)機(jī)場(chǎng)，沒(méi)有飛機(jī)降落。分析與思考：容易驗(yàn)證，對(duì)三個(gè)機(jī)場(chǎng)即當(dāng)時(shí)的情況命題成立。設(shè)個(gè)機(jī)場(chǎng)為，，，其中，，則，間的飛機(jī)對(duì)飛，而不管機(jī)飛向，還是，都使機(jī)場(chǎng)沒(méi)有飛機(jī)降落?，F(xiàn)假設(shè)時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)，由于機(jī)場(chǎng)之間的距離兩兩不等，必有兩個(gè)機(jī)場(chǎng)之間的距離是最近的，這兩處的飛機(jī)互相對(duì)開，不會(huì)影響其他機(jī)場(chǎng)，我們將這兩個(gè)機(jī)場(chǎng)“撤除”，由歸納法假設(shè)，剩下的個(gè)機(jī)場(chǎng)中，存在一個(gè)機(jī)場(chǎng),沒(méi)有飛機(jī)降落，再把“撤除”的機(jī)場(chǎng)“放回”，則任無(wú)飛機(jī)降落，可得時(shí)命題成立。反證法。反證法是一種重要證明方法，具體而言，就是為證“若，則”，先假設(shè)“結(jié)論不成立”，根據(jù)排中律，則“結(jié)論的否定成立”，然后把“結(jié)論的否定”當(dāng)作已知，再結(jié)合題設(shè)條件，根據(jù)已知命題和推理規(guī)則進(jìn)行正確的邏輯推理，得出與題設(shè)或事實(shí)、公理、定義相矛盾的結(jié)論，根據(jù)矛盾律，假設(shè)“結(jié)論不成立”不成立，即結(jié)論成立，命題得證。數(shù)學(xué)中有一些結(jié)論條件較少的命題的證明適合用反證法解決，有些數(shù)學(xué)命題除了反證法外還沒(méi)找到更好的證法，比如前面所述的“素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)”的證明。歐幾里得在證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)時(shí)，使用了反證法，反設(shè)“假設(shè)有有限多個(gè)”，使問(wèn)題變成“有限”的命題，證明里隱含著：如果有個(gè)素?cái)?shù)，就必然存在第個(gè)素?cái)?shù)，因而推出素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)。四、數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是將問(wèn)題抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考慮，既發(fā)揮了形的生動(dòng)和直觀性，又發(fā)揮了數(shù)的思路的規(guī)范性與算法性。實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合主要通過(guò)三種途徑：坐標(biāo)聯(lián)系，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和復(fù)平面，達(dá)到數(shù)形互化；審視聯(lián)系，用幾何的眼光審察數(shù)式，譬如，將與勾股定理聯(lián)系，將與余弦定理聯(lián)系；構(gòu)造聯(lián)系，構(gòu)造幾何模型、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖像等達(dá)到數(shù)形互化?！纠?】求二元函數(shù)的最小值.思考與分析：通過(guò)觀察題干，我們發(fā)現(xiàn)直接對(duì)此函數(shù)利用判別式法、參數(shù)法等方法求最小值是比較繁瑣的，仔細(xì)觀察之后，我們會(huì)猜想到該二元函數(shù)可能表示兩點(diǎn)間距離的平方。倘若構(gòu)造聯(lián)系即的表達(dá)式為兩點(diǎn)圖STYLEREF1\s2-1，之間距離的平方，如圖STYLEREF1\s2-1所示，則，.所以，、分別是圓和雙曲線上的一點(diǎn)，于是，所以.五、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是一個(gè)內(nèi)涵比較豐富的概念。數(shù)學(xué)中的每個(gè)概念、公式都是直接或間接地以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)背景抽象出來(lái)的，所以它們都可以被看作數(shù)學(xué)模型。方程、函數(shù)關(guān)系式、圖形等都能成為現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或其他學(xué)科對(duì)應(yīng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。【例3】二次函數(shù)關(guān)系式從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型有：①半圓的面積與半徑關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；②運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)能與速度關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；③自由落體運(yùn)動(dòng)的物體下落高度與時(shí)間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型思想方法具有重要的教育意義，能夠促進(jìn)學(xué)生了解數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本能力；能夠幫助學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)良好的情感態(tài)度及全面的數(shù)學(xué)價(jià)值觀。六、化歸思想方法。化歸思想方法的基本內(nèi)容是通過(guò)變化使面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己會(huì)解決的問(wèn)題。它所體現(xiàn)的解決問(wèn)題的思想比較容易理解，即人們總是選擇將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)某種手段化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，化生為熟，化未知為已知。參數(shù)變換思想方法的基本過(guò)程如圖STYLEREF1\s2-2所示：待解決的問(wèn)題待解決的問(wèn)題A問(wèn)題A的解答問(wèn)題B的解答已解決的問(wèn)題B化歸已知解法圖STYLEREF1\s2-2參數(shù)變換過(guò)程示意圖【例4】設(shè)，且，求的最值.分析與思考：分析這個(gè)問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)直接對(duì)其求解是困難的，于是引進(jìn)參數(shù)，把它轉(zhuǎn)化成參數(shù)問(wèn)題求解，令，，將化為的函數(shù)為求解。由于且函數(shù)隨增大而增大，所以當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最小值為.上面的參數(shù)變換方法歸結(jié)起來(lái)實(shí)質(zhì)上屬于一種化歸思想方法。使學(xué)生借助于化歸手段靈活地解決具體問(wèn)題，養(yǎng)成化歸意識(shí)，是數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)。同時(shí)，這個(gè)方法也在提醒我們要注意本源問(wèn)題的分