燕尾定理

例題精講

燕尾定理:

在三角形中，，，用交于同一點

那么，

SMBO:=BD:DC

上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為和的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被

稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角

形之中，為三角形中的三角形面枳對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.

通過一道例題證明燕尾定理:

如右圖，是上任意一點，請你說明:

三角形□與三角形□同高,分別以口、□為底，所以有口;

三角形□與三角形□同高,□：

三角形口與三角形口同航□,所以口；

綜上可得

（2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點，點

在上，且，與交于點.則四邊形的面積等于

方法一：連接口，

根據(jù)燕尾定理，匚I,口，

設(shè)□份，則□份，□份，□份，如圖所標(biāo)

所以SnCEF=~SAABC=卷

方法二：連接口，由題目條件可得到口，

,所以，

C-1C-11C_111._I

SADEF=2XS^DEi）=2X3XS^BRC=2X3X2XSAABC=V2

而二1.所以則四邊形□的面積等于□.

【鞏固】如圖，已知,三角形的面積是，求陰影部分面積.

題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步

判罰這道題不應(yīng)該通過面積公式求面積.又因為陰影部分是一個不規(guī)則四邊形，所以我們需要對它進(jìn)行改造,

那么我們需要連一條輔助線，

（法一）連接，因為，，三角形的面積是30,

所以口，□.

根據(jù)燕尾定理，口，口，

所以口，口,

所以陰影部分面積是口.

（法二）連接口，由題目條件可得到口，

，所以，

□,

而口.所以陰影部分的面積為□.

【鞏固】如圖，三角形的面積是，在上，點在上，且，，與交于點

.則四邊形的面積等于.

【解析】連接b,

根據(jù)燕尾定理，口，口，

設(shè)口份，則□份，□份，口份，□份，所以口

【鞏固】如圖，已知，與相交于點，則被分成的部分面積各占面積的幾分之幾?

連接□，設(shè)□份，則其他部分的面積如圖所示，所以□份,所以四部分按從小到大各占□面積的□□

【鞏固】(年香港圣公會數(shù)學(xué)競賽)如圖所示，在中，，，與相交于點，若的面積為，則

的面積等于

方法一：連接□.

由于口，匚I,所以口，口.

由蝴蝶定理知，口，

44122

所以戶=_

S-ABX5=_SAB5x2_s..45c=5_S/Ato8tc=_5X6=2.4.

方法二：連接□設(shè)□份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積,

所以S2楸=6+(l+l+4+4)x4=2.4

【鞏固】如圖，三角形的面積是，與相交于點，請寫出這部分的面積各是多

少？

連接口，設(shè)□份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以□，匚］,□，口

【鞏固】如圖，在上，在上，且，與交于點.四邊形的面積等于，則三角形的面

積

連接口，根據(jù)燕尾定理,□,口,

設(shè)□份，則□份，□份，□份，□份，□份，如圖所標(biāo)，所以□份，□份

2

所以ABC=22-4.4x9=45(cm)

【鞏固】三角形中,是直角，已知，,那么三角形（陰影部分）的面積為多少?

【解析】連接BN.

△A8C的面枳為3x2+2=3

根據(jù)燕尾定理，口；

同理MBNZAN=BM:AM=\'.\

設(shè)□面積為1份，則口的面積也是1份，所以□的面積是□份,而□的面積就是口份，□也是4份，這樣二|

的面積為□份，所以□的面積為口.

【鞏固】如圖，長方形的面積是平方厘米,是的中點.陰影部分的面積是多少平方厘

米？

設(shè)□份，則根據(jù)燕尾定理其他面織如圖所示□平方厘米.

連接□，根據(jù)燕尾定理□，口，設(shè)□，則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以□.

是邊長為厘米的正方形,分別是、邊的中點，與交于，則四邊形的面積是

D

AEB

連接口、口,設(shè)口份,根據(jù)燕尾定理得□份，□份,則□份，□份,所以口

如圖,正方形的面積是平方厘米，是的中點，是的中點，四邊形的面積是平方

厘米.

D

連接口，根據(jù)沙漏模型得口，設(shè)口份,根據(jù)燕尾定理□份，□份，因此□份，口，所以□（平方厘米）.

如圖所示，在中，，是的中點，那么

【解析】連接CO.

由于口，口，所以口，

根據(jù)燕尾定理，口.

【鞏固】在中，，，求？

【解析】連接。C.

因為口，根據(jù)燕尾定理，口，即口;

又口，所以口.則口，

所以O(shè)B,.OE=SMOR:S^0E=2:1.

【鞏固】在中，，，求？

題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每茶邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積

比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應(yīng)該通過面積比而得到邊長的比.本題的圖形一看就聯(lián)想到

燕曷定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應(yīng)該補全，所以第一步要連接□.

連接OC.

A

E

因為口，根據(jù)燕尾定理，口，即口:

又口，所以□.則口，

所以O(shè)B:OE=S.MOB-S,M0R=8:1?

（2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，四邊形是矩形,分別是、上的點，且與相

交于，若矩形的面積為，則與的面積之和為

（法1）如圖，過做的平行線交于，則

所以口，匚］,即口，

1223I

=XX

所以田TT=dXzx3sABCD=10.

JJy4

且口，故口，則口.

所以兩三角形面積之和為匚.

（法2）如上右圖，連接、.

根據(jù)燕尾定理，口，口，

而心&'=/§A8m=60，

所以口，□,□,□,

則口，口,

所以兩個三角形的面積之和為15.

如右圖，三角形中，，，求.

【解析】根據(jù)燕尾定理得S“Q8：S“8=8￡＞：CO=4:9=12:27

S/\ACH：S/M=AE:CE=3:4=12:16

（都有□的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以SAM:S△皿=27:16=AF:F3

【點評】本題關(guān)鍵是把口的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法,在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌

握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量!

【鞏固】如右圖，三角形中,,求

A

E

BDC

［解析】根據(jù)燕尾定理得S△八g:S△物.=8。：。。=3:4=15:20

S△八在：S^BOC~4七：CE=5:6=15:18

（都有□的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以M「：S/"=20:I8=1（）:9=AF/B

4-JMV/Vt_11M/V

【鞏固】如圖，，，則

【解析】根據(jù)燕尾定理有&的:5"cc=2:3=10:15,=5:3=10:6,所以

$CG:S,c=15:6=5:2=4F:所

【鞏固】如右圖，三角形中，，，求.

BDC

【解析】根據(jù)燕尾定理得5八八（用：$△人火=8。:C。=2:3=10:15

S△八（犯:S&BOC=AE:CE=5:4=10:8

（都有□的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以%人”：5秒”=15:8=4尸：M

【點評】本題關(guān)鍵是把口的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法,在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌

握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！

（2008年“學(xué)而思杯”六年級數(shù)學(xué)試題）如右圖，三角形中，,且三角形的面積是，則三角

形的面積為______,三角形的面積為_________三角形的面積為一____.

AA

AA

BDC8C

cDc

連接口、口、口.

由于口，所以口，故口；

根據(jù)燕尾定理，口，口，所以

，則，：

如“c_2‘_24_8

同樣分析可得口，則口,匚I,所以口,同樣分析可得口,

所以□,□.

【鞏固】如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，求三角形的面積.

連接BG,□□口份

根據(jù)燕尾定理，口，口

得口（份），□（份），則□（份），因此口，

同理連接A/、CH得建皿=9,之』9,

s.BC19S△皿19

所以SAG/〃=19666=J_

S&ABC1919

三角形GHI的面積是1,所以三角形ABC的面積是19

【鞏固】（2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級）如圖，中，，，那么的面

積是陰影三角形面積的倍.

如圖，連接口.

根據(jù)燕尾定理，口,口，

所以，口，

那么，□.

同理可知□和□的面積也都等于□面積的口，所以陰影三角形的面積等于□面積的口，所以口的面積是陰影

三角形面積的7倍.

【鞏固】如圖在中，，求的值.

連接BG,設(shè)口口1份，根據(jù)燕尾定理口，口，得□（份），口（份），則口（份），因此口，同理連接Al、CH

得口，口，

所以3=7-2-2-2」

S^ABC71

【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，

但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對稱

法作輔助線.

【鞏固】如圖在中，,求的值.

連接BG,設(shè)口口1份，根據(jù)燕尾定理口，口，得匚］（份），口（份），則口（份）,因此口，同理連接Al、CH

得口,□,

所以星”=13-3-3-3=_4

S&ARC1313

連接BG,口匚|12份

根據(jù)燕尾定理，口，口

得□（份），□（份），則□（份），因此口，

同理連接4/、CH得組”=粗，--=2,

S^ABC37S^ABC37

所以壇“772-12-12」

S/^ABC3737

三角形A8C的面積是74,所以三角形G，/的面積是74x」-=2

37

兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示，三個三角形的面積分別是，

,則陰影四邊形的面積是多少？

方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標(biāo)注字母，方便后面的計

算.

再看這道題，出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形.

設(shè)三角形為口，□和口交于口，則口，再連結(jié)□.

所以三角形□的面積為3.設(shè)三角形□的面積為口，

則口，所以口，四邊形的面積為口.

方去二：設(shè)口，根據(jù)燕尾定理□，得到口，再根據(jù)向右下飛的燕子，有口，解得口四邊形的面積為口

【鞏固】右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中4個的面積已經(jīng)標(biāo)在

圖中，那么，陰影三角形的面積是

方法一：整個題目讀完，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長相關(guān)的條件，也沒有任何與高或者垂直有關(guān)系的

字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一

個比例關(guān)系：

,解得.

方去二：回顧下燕尾定理，有口，解得口.

如圖，三角形被分成個三角形，己知其中個三角形的面積，問三角形的面積是多少？

設(shè)口，由懣意知□根據(jù)燕尾定俚，得

，所以，

再根據(jù)口，列方程口解得口

S&AOE:35=（56+84）:（4（1+30）,所以5A4O￡=70

所以三角形A8C的面積是84+40+30+35+56+70=315

三角形ABC的面積為15平方厘米,D為AB中點,E為AC中點,F為BC中點，求陰影部分的面積.

今BE與CD的交點為M,CD與EF的交點為N,連接AM,BN.

在口中，根據(jù)燕尾定理，口，口，

=

所以S&ABM=S”c1M=S^BCN^^ABC

由于□$,所以口

在□中，根據(jù)燕尾定理，□口

設(shè)口（份），則□（份），□（份），□（份）,

所以口，口，因為口，F(xiàn)為BC中點，

2_2\___1_

所以S，小=§"BNE=TXg^^ABC=^?

所以S陰影=（高+$卜4例.=五$△八8c=五'】5=3.125（平方厘米）

如右圖，中，是的中點，、、是邊上的四等分點，與交于，與交于，已

知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？

AA

連接口、□.

根據(jù)燕尾定理，口，口，所以口；

再根據(jù)燕尾定理，口，所以口，所以口，那么口，所以□.

根據(jù)題意，有口，可得□（平方厘米）

【鞏固】（2007年四中分班考試題）如圖,中，點是邊的中點，點、是邊的三等分點，若

的面積為1,那么四邊形的面積是

由于點口是邊口的中點，點□、□是邊□的三等分點，如果能求出口、□、口三段的比，那么所分

成的六小塊的面積都可以求出來，其中當(dāng)然也包括四邊形□的面積.

連接口、□.

根據(jù)燕尾定理，口，而口，所以口，那么口，印口.

那么口，口.

另解：得出口后，可得口，

則S四曲出CDMF=^AACF~=§一歷二記.

如圖，三角形的面積是,三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多

少？

設(shè)BG與AD交于點P,BG與AE交于點Q,BF與AD交于點M,BF與AE交于點N.連接CP,CQ,CM,CN.

根據(jù)燕尾定理，口，口，設(shè)□（份），則□（份），所以口

同理可得，口，匚］,而口，所以口，□.

同理，□口，所以口，口，□，口

【鞏固】如圖，的面積為1,點、是邊的三等分點，點、是邊的三等分點，那么四邊形

的面積是多少？

連接口、口、□.

根據(jù)燕尾定理，口，口，

所以口，那么口，口.

類似分析可得口.

又口，口，可得口.

那么，□.

根據(jù)對稱性，可知四邊形□的面積也為口，那么四邊形口周圍的圖形的面積之和為口，所以四邊形口的面積

為□.

設(shè)口交□于□,□交□于□,□史□于□.連接口,

□.

,/□,□,□

???□,口，

/.□???□,

同理口???□□,

???□,

文?：IF:BC=3:4,DE:BC=1:2,

???口，

同理□，丁口，，口，

同理□個小陰影三角形的面積均為口.

陰影部分面積□.

如圖，面積為1的三角形ABC中，D.E、F、G、H、I分別是AB.BC.C.的三等分點，求陰即部分面積.

三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI與CD的交點為M,AF與CD的交點為N,BI與AF的交點為P,BI與CE的交點為Q,連接AM、BN、

CP

⑴求□:在□中，根據(jù)燕尾定理，□口

設(shè)口（份），則口（份），口（份），口（份）,

所以口，所以□，匚I,

所以S四邊形ADM/=（石+丘）S4ABC--S△極，

同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是AABC面積的2

6

⑵求□:在□中，根據(jù)燕尾定理□口，

=X

所以4aM~~S&ABC=天S^ABC,同理^/\BEQ=天S4ABe

在口中，根據(jù)燕尾定理口，口

所以5&謝=-S^ABC

1__1___1_

所以Sj誣形DNPQE=S△八砂一S&ADN-SgEP。一天―王

同理另外兩個五邊形面班是"/無？面積的u

105

所以$=l—4x3—口x3=U

610570

如圖，面積為1的三角形ABC中，D.E、F、G、H、I分別是AB.BC.CA的三等分點，求中心六邊形面

積.

設(shè)深黑色六個三角形的頂點分別為N、R、P、S、M、Q,連接CR

在口中根據(jù)燕尾定理，口，

Sa&BR?S&CBR=AI:CI=1:2

2_22

所以53刖='S&A8c,同理SAACS=—S^A