高等數(shù)學(xué)一試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(0\)3.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\sinx\)，則\(f^\prime(x)=\)（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)5.\(\int\frac{1}{x}dx=\)（）A.\(\lnx+C\)B.\(\ln|x|+C\)C.\(\frac{1}{x^2}+C\)D.\(-\frac{1}{x^2}+C\)6.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處（）A.有定義B.極限存在C.連續(xù)D.以上都不對(duì)8.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小9.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(y\)10.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(3\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)區(qū)間有（）A.單調(diào)遞增區(qū)間\((-\infty,-1)\)B.單調(diào)遞減區(qū)間\((-1,1)\)C.單調(diào)遞增區(qū)間\((1,+\infty)\)D.單調(diào)遞減區(qū)間\((-\infty,+\infty)\)4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1)\)5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在C.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的全增量\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)）6.下列函數(shù)為偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)7.極限\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在的充要條件是（）A.\(\lim_{x\toa^+}f(x)\)存在B.\(\lim_{x\toa^-}f(x)\)存在C.\(\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)\)D.\(f(a)\)有定義8.曲線\(y=f(x)\)的漸近線類(lèi)型有（）A.水平漸近線B.垂直漸近線C.斜漸近線D.拋物線漸近線9.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值B.\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在C.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)一定可導(dǎo)D.存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\)10.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系正確的有（）A.\(dy=f^\prime(x)dx\)B.函數(shù)可導(dǎo)必可微C.函數(shù)可微必可導(dǎo)D.導(dǎo)數(shù)是微分之商判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{-x^2-1}\)是一個(gè)實(shí)函數(shù)。（）2.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處一定連續(xù)。（）4.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=2x\)，則其微分\(dy=2xdx\)。（）5.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)都存在，則\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處一定可微。（）7.函數(shù)\(y=\sinx\)是周期函數(shù)，其周期為\(2\pi\)。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）10.極限\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(y^\prime=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)。答案：\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=-\cosx|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2\)。3.求函數(shù)\(z=x^3+y^3-3xy\)的駐點(diǎn)。答案：分別對(duì)\(x\)，\(y\)求偏導(dǎo)，\(z_x=3x^2-3y=0\)，\(z_y=3y^2-3x=0\)，聯(lián)立解得駐點(diǎn)為\((0,0)\)和\((1,1)\)。4.簡(jiǎn)述函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。答案：函數(shù)極限\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在的充要條件是對(duì)任意以\(x_0\)為極限的數(shù)列\(zhòng)(\{x_n\}\)，數(shù)列\(zhòng)(\{f(x_n)\}\)的極限都存在且相等。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性、極值、漸近線。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)，分析單調(diào)性得在\((-\infty,-1)\)和\((0,1)\)遞減，\((-1,0)\)和\((1,+\infty)\)遞增，\(x=0\)取極大值\(-1\)。垂直漸近線\(x=\pm1\)，水平漸近線\(y=0\)。2.討論多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。答案：可微能推出連續(xù)和可偏導(dǎo)，但連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)也不一定可微。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，可微是連續(xù)和可偏導(dǎo)的充分條件。3.討論定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用（舉兩個(gè)例子）。答案：一是求平面圖形面積，通過(guò)定積分計(jì)算曲線圍成圖形面積；二是求變速直線運(yùn)動(dòng)路程，將速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上積分得到路程。4.討論無(wú)窮小量的比較在極限運(yùn)算中的作用。答案：在極限運(yùn)算中，利用無(wú)窮小量比較可簡(jiǎn)化運(yùn)算。等價(jià)無(wú)窮小替換能將復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單等價(jià)形式替代，方便求極限。同階、高階、低階無(wú)窮小概念幫助分析極限值情況及函數(shù)趨近于零的