江蘇數(shù)學(xué)初賽試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)\(y=\log_{a}(x+3)-1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過定點\(A\)，則點\(A\)的坐標(biāo)為（）A.\((-2,-1)\)B.\((2,-1)\)C.\((-2,1)\)D.\((2,1)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)3.不等式\(x^{2}-2x-3<0\)的解集為（）A.\(\{x\mid-1<x<3\}\)B.\(\{x\midx<-1或x>3\}\)C.\(\{x\mid-3<x<1\}\)D.\(\{x\midx<-3或x>1\}\)4.函數(shù)\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)5.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}+a_{5}=14\)，其前\(n\)項和\(S_{n}=100\)，則\(n\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)7.圓\(x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)8.已知\(a=\log_{2}3\)，\(b=\log_{3}2\)，\(c=\log_{\frac{1}{2}}3\)，則（）A.\(a>b>c\)B.\(a>c>b\)C.\(b>a>c\)D.\(b>c>a\)9.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((-\infty,1]\)10.曲線\(y=x^{3}\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x+2\)C.\(y=-3x-2\)D.\(y=-3x+2\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.以下哪些是直線的方程形式（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式3.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)4.對于雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)），以下說法正確的是（）A.實軸長為\(2a\)B.虛軸長為\(2b\)C.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)）5.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，則下列說法正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)C.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(\alpha\perp\beta\)，則\(m\perpn\)6.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數(shù)，且\(a>b\)，則下列不等式一定成立的是（）A.\(a+c>b+c\)B.\(ac^{2}>bc^{2}\)C.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)D.\(a^{3}>b^{3}\)8.一個正方體的棱長為\(a\)，則它的（）A.表面積為\(6a^{2}\)B.體積為\(a^{3}\)C.面對角線長為\(\sqrt{2}a\)D.體對角線長為\(\sqrt{3}a\)9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于點\((a,0)\)對稱，則（）A.\(f(a+x)=-f(a-x)\)B.\(f(x)=-f(2a-x)\)C.\(f(x+2a)=-f(-x)\)D.\(f(x)\)是奇函數(shù)10.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1\)（\(m>0\)，\(n>0\)），當(dāng)（）時，焦點在\(x\)軸上。A.\(m>n\)B.\(m<n\)C.\(m-n>0\)D.\(n-m>0\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=x^{3}\)是奇函數(shù)。（）3.直線\(x+y+1=0\)的斜率為\(1\)。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）5.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式是\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。（）6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)，圓心坐標(biāo)為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。（）7.若\(a>b>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)。（）8.兩個向量的數(shù)量積為零，則這兩個向量垂直。（）9.函數(shù)\(y=\cos2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）10.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\sqrt{3-2x-x^{2}}\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(3-2x-x^{2}\geq0\)，即\(x^{2}+2x-3\leq0\)，因式分解得\((x+3)(x-1)\leq0\)，解得\(-3\leqx\leq1\)，所以定義域為\([-3,1]\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=6\)，求\(a_{n}\)。答案：設(shè)等差數(shù)列公差為\(d\)，\(a_{3}=a_{1}+2d\)，將\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=6\)代入得\(6=2+2d\)，解得\(d=2\)，則\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。3.求曲線\(y=e^{x}\)在點\((0,1)\)處的切線方程。答案：先求導(dǎo)，\(y^\prime=e^{x}\)，當(dāng)\(x=0\)時，\(y^\prime|_{x=0}=e^{0}=1\)，即切線斜率為\(1\)。由點斜式可得切線方程為\(y-1=1\times(x-0)\)，即\(y=x+1\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})\)。答案：因為\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=(-\frac{2\sqrt{2}}{3})\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{4+\sqrt{2}}{6}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性。答案：在\((0,+\infty)\)上任取\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\(x_{1}<x_{2}\)。則\(f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\)。因為\(x_{1}\)，\(x_{2}\in(0,+\infty)\)且\(x_{1}<x_{2}\)，所以\(x_{2}-x_{1}>0\)，\(x_{1}x_{2}>0\)，即\(f(x_{1})-f(x_{2})>0\)，\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關(guān)系。答案：圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線\(y=kx+1\)（即\(kx-y+1=0\)）的距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\)。當(dāng)\(d<r\)，即\(\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}<1\)（恒成立），直線與圓相交；當(dāng)\(d=r\)，即\(k=0\)時，直線與圓相切；當(dāng)\(d>r\)，不存在這樣的\(k\)值。3.討論二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的最值情況。答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），其對稱軸為\(x=-\frac{2a}\)。當(dāng)\(a>0\)時，函數(shù)圖象開口向上，在\(x=-\frac{2a}\)處取得最小值\(y=\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)；當(dāng)\(a<0\)時，函數(shù)圖象開口向下，在\(x=-\frac{2a}\)處取得最大值\(y=\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)。4.討論在立體幾何中，如何判斷面面平行。答案：判斷面面平行方法有：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么