高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．考生務(wù)必將自己的姓名．考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)答題時(shí)，將答案寫在黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，則．故選：C2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C D.【答案】A【解析】由，得，所以，即雙曲線的漸近線方程為.故選：A3.虛數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】解法一：設(shè)復(fù)數(shù),則，化簡得，故，即①，②此時(shí)，對于選項(xiàng)中的值，代入：若，則，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，綜上可得故選：A解法二：由可得，故，故或，由于為虛數(shù)，故，故虛部為1，故選：A4.已知兩個(gè)變量與的對應(yīng)關(guān)系如下表：135796183953若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】A【解析】由表格數(shù)據(jù)得，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在回歸方程上，所以，解得.故選：A.5.已知，是兩個(gè)平面，m，n，l是三條直線，且，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面，若，且，但如果直線與不相交，則不能得到，從而不能推出；如果兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面，若，由于，，，則，又，所以.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可知圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，則，所以為等邊三角形，故．故選：C7.3名男生和3名女生隨機(jī)站成一排，恰有2名女生相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A.332 B.360 C.432 D.488【答案】C【解析】先選出2名女生排列有種排法，再將男生全排有種排法，最后將女生插空，則不同的排法種數(shù)為.故選：C8.已知是拋物線的準(zhǔn)線，與軸交于點(diǎn)是上一點(diǎn)，直線的斜率的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】易知，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)的方程為，與聯(lián)立，可得，則，解得，故直線的斜率的最大值為1.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.為奇函數(shù) D.在區(qū)間上的最大值為3【答案】BD【解析】對于A：函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椋詧D象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C：不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D：當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值3，故D正確.故選：BD10.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.當(dāng)時(shí)，取得最小值D.當(dāng)時(shí)，滿足的最大整數(shù)的值為25【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，故A正確．因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，而，則，故B正確．因?yàn)?，由得，即，所以，所以對稱軸為：，所以當(dāng)時(shí)，開口向上，當(dāng)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，開口向下，當(dāng)，取得最大值，故C錯(cuò)誤．因，數(shù)列單調(diào)遞增，所以，，則，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，滿足的最大整數(shù)的值為25，D正確．故選：ABD11.已知球的直徑為，，，為球面上的三點(diǎn)，平面．若是邊長為的等邊三角形，且，則下列說法正確的是（）A.球的體積為B.二面角的正切值為C.平面與平面的夾角為D.過中點(diǎn)的平面截球所得截面面積的最小值為【答案】ACD【解析】設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以三棱錐和均為正三棱錐．如圖，取的中點(diǎn)，底面的中心為，連接，，，則，，，所以為二面角的平面角，為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．由，，可得，，，，，所以，解得，所以球的體積為，故A正確．因?yàn)椋?，，所以，，所以，即二面角的正切值為，故B錯(cuò)誤．因?yàn)椋云矫媾c平面所成的角為，故C正確．最小截面為過點(diǎn)且垂直于球心與連線的圓，此時(shí)截面圓的半徑，截面圓的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.若，的等差中項(xiàng)為，，的等比中項(xiàng)為1，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，的等差中?xiàng)為，知，由，等比中項(xiàng)為1，所以，所以．故答案為：13.已知函數(shù)滿足，若，則________.【答案】99【解析】由題可知：，令，可得，即，所以.故答案為：99.14.設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，若的最小值為，則__________.【答案】-1【解析】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，又點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，的最小值為，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切線的切點(diǎn)，，解得，所以，得到切點(diǎn)，點(diǎn)到直線即的距離，解得或3.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)和，過點(diǎn)和，又，，所以與相交，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即恒成立，所以與不相交，符合題意.綜上，.故答案為：-1.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）若，，成等差數(shù)列，求的面積；（2）若，，成等比數(shù)列，求當(dāng)取得最大值時(shí)，的周長．解：（1）由及正弦定理，得，則，解得．因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，則，所以．故的面積．（2）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，結(jié)合（1）有．由余弦定理可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，此時(shí)，故的周長為3．16.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以為平行四邊形，即為的中點(diǎn)．連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面．取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭堑妊菪危裕詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，則，可得．所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線和的斜率互為相反數(shù)，證明：直線的斜率為定值．解：（1）因?yàn)?，所以．又在上，所以，解得，，則橢圓的方程為．（2）由題可知，直線的斜率顯然存在，設(shè)的方程為，，，則，得，則，，．又，整理可得，化簡得，即，所以或．當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不符合題意，所以，即直線的斜率為定值．18.學(xué)校組織一項(xiàng)競賽，在初賽中有三輪答題，三輪答題相互獨(dú)立，三輪答題至少兩輪合格即視為通過初賽，進(jìn)入決賽.已知甲在初賽中每輪答題合格的概率均為.（1）求甲在通過初賽的條件下，第三輪答題沒有合格的概率.（2）已知決賽共有五道題，參賽人從中抽出三道題回答，每題的分值如下：分值1020202030答對該試題可得相應(yīng)的分值，答錯(cuò)不得分，得分不低于60分可以獲得一等獎(jiǎng).已知參加決賽的學(xué)生乙答對題的概率為，答對題的概率均為，答對題的概率為，求乙獲得一等獎(jiǎng)的概率.解：（1）設(shè)事件為甲通過了初賽，事件為甲第三輪答題沒有合格，則，，所以甲在通過初賽的條件下，第三輪答題沒有合格的概率為（2）若乙在中只抽到了一題，則獲得一等獎(jiǎng)的概率；若乙在中抽到了兩題，則獲得一等獎(jiǎng)的概率若乙在中抽到了三題，則獲得一等獎(jiǎng)的概率故乙獲得一等獎(jiǎng)的概率.19.若存在正實(shí)數(shù)，對任意，使得，則稱函數(shù)在上被控制．（1）已知函數(shù)在上被控制，求取值范圍．（2）①證明：函數(shù)在上被控制．②設(shè)，證明：．解：（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以．由，可得．令，，則．當(dāng)時(shí)，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上，的取值范圍為．（2）①由題可知在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以．故在上被控制．②由①可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，即，即，則有，即．云南省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．考生務(wù)必將自己的姓名．考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)答題時(shí)，將答案寫在黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，則．故選：C2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C D.【答案】A【解析】由，得，所以，即雙曲線的漸近線方程為.故選：A3.虛數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】解法一：設(shè)復(fù)數(shù),則，化簡得，故，即①，②此時(shí)，對于選項(xiàng)中的值，代入：若，則，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，綜上可得故選：A解法二：由可得，故，故或，由于為虛數(shù)，故，故虛部為1，故選：A4.已知兩個(gè)變量與的對應(yīng)關(guān)系如下表：135796183953若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】A【解析】由表格數(shù)據(jù)得，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在回歸方程上，所以，解得.故選：A.5.已知，是兩個(gè)平面，m，n，l是三條直線，且，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面，若，且，但如果直線與不相交，則不能得到，從而不能推出；如果兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面，若，由于，，，則，又，所以.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可知圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，則，所以為等邊三角形，故．故選：C7.3名男生和3名女生隨機(jī)站成一排，恰有2名女生相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A.332 B.360 C.432 D.488【答案】C【解析】先選出2名女生排列有種排法，再將男生全排有種排法，最后將女生插空，則不同的排法種數(shù)為.故選：C8.已知是拋物線的準(zhǔn)線，與軸交于點(diǎn)是上一點(diǎn)，直線的斜率的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】易知，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)的方程為，與聯(lián)立，可得，則，解得，故直線的斜率的最大值為1.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.為奇函數(shù) D.在區(qū)間上的最大值為3【答案】BD【解析】對于A：函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椋詧D象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C：不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D：當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值3，故D正確.故選：BD10.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.當(dāng)時(shí)，取得最小值D.當(dāng)時(shí)，滿足的最大整數(shù)的值為25【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，故A正確．因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，而，則，故B正確．因?yàn)?，由得，即，所以，所以對稱軸為：，所以當(dāng)時(shí)，開口向上，當(dāng)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，開口向下，當(dāng)，取得最大值，故C錯(cuò)誤．因，數(shù)列單調(diào)遞增，所以，，則，，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，滿足的最大整數(shù)的值為25，D正確．故選：ABD11.已知球的直徑為，，，為球面上的三點(diǎn)，平面．若是邊長為的等邊三角形，且，則下列說法正確的是（）A.球的體積為B.二面角的正切值為C.平面與平面的夾角為D.過中點(diǎn)的平面截球所得截面面積的最小值為【答案】ACD【解析】設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以三棱錐和均為正三棱錐．如圖，取的中點(diǎn)，底面的中心為，連接，，，則，，，所以為二面角的平面角，為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．由，，可得，，，，，所以，解得，所以球的體積為，故A正確．因?yàn)椋?，，所以，，所以，即二面角的正切值為，故B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以平面與平面所成的角為，故C正確．最小截面為過點(diǎn)且垂直于球心與連線的圓，此時(shí)截面圓的半徑，截面圓的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.若，的等差中項(xiàng)為，，的等比中項(xiàng)為1，則__________．【答案】【解析】因?yàn)椋牡炔钪许?xiàng)為，知，由，等比中項(xiàng)為1，所以，所以．故答案為：13.已知函數(shù)滿足，若，則________.【答案】99【解析】由題可知：，令，可得，即，所以.故答案為：99.14.設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，若的最小值為，則__________.【答案】-1【解析】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，又點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，的最小值為，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切線的切點(diǎn)，，解得，所以，得到切點(diǎn)，點(diǎn)到直線即的距離，解得或3.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)和，過點(diǎn)和，又，，所以與相交，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即恒成立，所以與不相交，符合題意.綜上，.故答案為：-1.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）若，，成等差數(shù)列，求的面積；（2）若，，成等比數(shù)列，求當(dāng)取得最大值時(shí)，的周長．解：（1）由及正弦定理，得，則，解得．因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，則，所以．故的面積．（2）因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，結(jié)合（1）有．由余弦定理可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，此時(shí)，故的周長為3．16.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以為平行四邊形，即為的中點(diǎn)．連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面．取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭堑妊菪?，所以．以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，則，可得．所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線和的斜率互為相反數(shù)