第5章頻率特性法

教材習題同步解析

5.1一放大器的傳遞函數(shù)為:

測得其頻率響應，當。=lrad/s時，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為12/近，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位

差為一兀/4。求放大系數(shù)K及時間常數(shù)兀

解：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為

，即—=1+TV

，1+尸病

穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差

</?=-arctanTco=-45°，即77y=1

當o=lrad/s時，聯(lián)立以上方程得

T=\,K=\2

放大器的傳遞函數(shù)為:

5.2單位負反應系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

根據(jù)頻率特性的物理意義，求近環(huán)輸入信號分別為以下信號時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。

(1)r⑺=sin(r+30°)：

(2)r(r)=2cos⑵-45。)；

⑶r(r)=sin(￡+15°)—2cos⑵-45。)；

解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性為

4。)=/

，02+36

閉環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為

/、CO

叭①)=-arctan—

(1)輸入信號的頻率為3=1，因此有

A(ty)-5^^,夕3)--9.46

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出

=sin。+20.54°)

Jr

(2)輸入信號的頻率為G=2,因此有

4(69)=,夕(。)=-18.43°

4

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出

css(t)=cos(2r-63.43)

(3)由題(1)和題(2)有

對于輸入分量1：sin(什15。)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出如下

c^ss(^)=sin(74-5.54)

對于輸入分量2：-2cos12,一45。)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為

c2,,?)=一萼^cos⑵一63.43")

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加定理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)輸舟為

曝⑺=+5.537°)一萼cos(2f-63.4363°)

5.3繪出以下各傳遞函數(shù)對應的幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性。

104

⑴G(s)=(2)G(5)=10(0.1S±1)⑶G(s)=---------

O.L?±1s(s+2)

4(5)G(5)=5+0J

(4)G(s)=

(5+1)(5+2)s(s+().O2)

10-°-2

(6)G(s)=e

(5+1)(,-4-5+1)⑺

解:

G(s):.

⑴

0.15±i

幅相頻率特性

開環(huán)系統(tǒng)G(s)=」一是一個不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)，頻率特性為

0.15-1

G,(?=--—

1-1+jOAco

(a)幅相頻率特性(b)對數(shù)頻率特性

圖5.1題5.3(1)系垓頻率特性

相頻特性為

(P、(⑼=-(180°-arctan0.\co)=arctan0.1<w-l80°

相頻特性從一180。連續(xù)變化至一90。0

可以判斷開環(huán)奈氏曲線起點為(一1(),j0)點，隨口的增加，Ai(⑷逐漸減小至0,而?(⑷逐漸增加至

-90°,繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的軌跡，如圖5.1(〃)虛線所示，是一個直徑為10的半圓。

而開環(huán)系統(tǒng)G,($)二」一那么是一個典型的慣性環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G2。耐如圖5.1(a)實線所

0.15+1

對數(shù)頻率特性

開環(huán)系統(tǒng)G(s)=」一與G(s)=」一的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如

'0.15-1~0.15+1

圖5.1(A)所示。

(2)G(5)=10(0.L9±1)

幅相頻率特性

開環(huán)系統(tǒng)63尸10(0."—1)的頻率特性為@(加)=10。0.1啰-1),其相頻特性為

%3)=180°-arctan0.169

相頻特性從180。連續(xù)變化至90。。其開環(huán)頻率特性GiQo)的軌跡，如圖5.2(a)虛線所示。

(a)幅相頻率特性(b)對數(shù)頻率特性

圖5.2題5.3(2)系統(tǒng)頻率特性

而開環(huán)系統(tǒng)G2(5)=10(0.154-1)那么是一個典型的一-階微分環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G2(j初如圖5.2(0

實線所示。

對數(shù)頻率特性

同題(1),二者的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如圖5.2(。)所示。

4

(3)G(s)=-----------

s(s+2)

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為

G爪瓦*

幅相頻率特性

I)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，40)=8,d0)=—90。，低頻特性始于平行于負虛軸的無窮遠處。低頻漸近線

加卜.確定：

將頻率特性表達式分母有理化為

2二-J2（l1/O5⑼二一3一/2

O（j（o）=

川（川.5。+1）-/（1+加.5⑼（1-川.5。）-。（1+0.251）

2

1+0.25療旗1+0.25療）

那么低頻漸近線為

=limRe[G(j<y)]=limR((o)=lim--------=-l

0To.-0,-0'1+0.25行7

同時可知，頻率特性實部與虛部均vO,故曲線只在第三象限。

2)n-m=2,那么以8)=—180。，幅相特性沿負實軸進入坐標原點。

3)此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因比在3由0增大到8過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從一90。連續(xù)變

化到一180。。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原

點。系統(tǒng)的幅相頻率特性G(j@見圖5.33)。

(a)幅相頻率特性

圖5.3題5.3

對數(shù)頻率特性

I)可知系統(tǒng)包含有放大、積分、一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率為/T=2rad-s—1

低頻段斜率為一20dB/dec,低頻段表達式為L(G)=2()lg2-201g3,并通過點L(2)=OdB。經(jīng)過轉折頻

率?r后斜率為一4()dB/dec。

2)系統(tǒng)的相頻特性為積分環(huán)節(jié)(-90°)與慣性環(huán)節(jié)(0。~-90。)相頻特性的疊加，為

夕(。)=-9(「-arctan0.569

轉折頻率處相位為d2)=-135。，對數(shù)相頻特性曲線對應于該點斜對稱。

繪制開環(huán)伯德圖L(。)、叭的,如圖5.3(5)所示。

4

(4)G(s)=-------------

(s+l)(s+2)

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為

2

G(s)=

(5+1)(0.554-1)

幅相頻率特性

1)系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，A(0)=2,僅0尸0。，開環(huán)奈氏曲線起點為(2,j0)點：n-m=2,那么斜勸二一180。。

隨3的增加，4⑷逐漸單調(diào)連續(xù)減小至0,而雙⑷滯后逐漸增加至一18()。，幅相特性沿負實軸進入坐標原

點。

2)將頻率特性表達式分母有理化為

22(1-"。)(17().5。)

G(jco)=

(，0+1)(1+J0.5<y)(14■02)(I+025病)

2(1-0.5療)3。

(1+療)(1+0.25療)(1+療)(1+0.251)

頻率特性虛部均＜0,故曲線在笫三、第四象限。

3)相位有奴。)=90°,因此與虛軸的交點為

2(1-0.5療)

Re[G(j<y)]=-----=0

(1+69)(1+0.2569)

co=\flrad/s,=&=0.94

此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在，〃由0增大到8過程中，奈氏由線是平滑的曲線，GG助見圖5.4(a)。

對數(shù)頻率特性

(h)對數(shù)頻率特性

@5.3(4)系統(tǒng)須率特性

1)可知系統(tǒng)包含有放大、兩個一階慣性環(huán)節(jié),轉折頻率分別為e=lrad?s，Q=2rads3

系統(tǒng)為0型，低頻段斜率為OdB/dcc,低頻段表達式為L?)=201g2=6dB.經(jīng)過轉折頻率劭、和后斜

率分別為一2()、-40dB/deco

2)系統(tǒng)的相頻特性是兩個慣性環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為

(p{co)=-arclanco-arctan0.5?

兩個轉折頻率處相位分別為31)二-72。，d2)=-109。。

繪制開環(huán)伯德圖〃@)、叭⑹,如圖5.4(b)所示。

(5)G(s)=s+S2

5(5+0.02)

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為

0.2(55+1)10(55+1)

G(s)=

0.02.v(50.v+1)5(505+1)

幅相頻率特性

1)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，A(0)=8,以0)=-90。，低頻特性始于平行于負虛軸的無窮遠處。低頻漸近線

如下確定:

「/.、10(/5。+1)-/10(/56y+l)(l-/50^)450.jl0(250^+1)

G(/<w)=-------------=------------------------=-----------7—J-------------

汝(7500+1)以1+/500)(1一，50⑼1+2500〃①。+2500療)

(a)幅相頻率特性

圖5.5題5.3(5)系統(tǒng)頻率特性

低頻漸近線為

450

區(qū)=limRefG(j69)]=limR(⑼=lim-----------=-450

"i(r1+25007

同時可知，頻率特性實部、虛部均<0,故曲線只在第三象限。

2)n-m=\,那么奴8)=—90。，幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。

3)此系統(tǒng)有開環(huán)零點，因此在。由0增大到8過程中，特性曲線有凹凸，最后終于原點,系統(tǒng)的幅

相頻率特性G(jo)見圖5.53)。

對數(shù)頻率特性

1)系統(tǒng)轉折頻率分別為助=0.02rads'、co?=0.2rad-s-|<>

系統(tǒng)為I型，低頻段斜率為一20dB/dec,低頻段表達式為乂3=201gl0—201ge因此L(0.02)=54dB。

經(jīng)過轉折頻率劭、g后斜率分別為一40dB/dec、-60dB/dec<.

2)系統(tǒng)的相頻特性為兩個慣性環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為

。(⑼=arclan5co-90°-arctan50a>

兩個轉折頻率處相位分別為，斜0.02)=d0.2)=—129。。

系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性〃⑼、或⑷見圖5.5(份。

10

(6)G(s)=

(S+1)(52+S+1)

幅相頻率特性

1)系統(tǒng)為。型系統(tǒng)，4(0)=10,-0)=0°,開環(huán)奈氏曲線起點為(10,j0)點；〃一〃『3,那么奴8)=一

270。，幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。

2)同上，頻率特性表達式分母有理化為

1010(1-21).69(2~692)

Gk(jco)=7(1+6；2)(1+0.25^2)

(於+1)(1-〃+j①)(1+6;2)[(1-692)2+0)2

3)相位有底初二-90。，因此與虛軸的交點為

Re[G(?]=0

co=0.7\rad/s,Im[G(j<y)||^=()71=-9.43

相位有d@=-180。，因此與實軸的交點為

ImfG(?]=0

co=瓜ad/s,Rc[G(，⑼必力=-3.3

此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在。由0增大到8過程中，奈氏由線是平滑的曲線，G(j⑷見圖5.6(〃)。

對數(shù)頻率特性

I)系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率均為/T=1rad?s「。

系統(tǒng)為0型，低頻段斜率為OdB/dec,低頻段表達式為L3)=201gl0=20dB,經(jīng)過轉折頻率s后斜率

為60dB/dcco漸近線上各點坐標可以通過坐標系直接讀出，也可根據(jù)簡單的計第求出。

例如，點L(2)與L(l)=20dB位于同一條斜線，斜率為一60dB/dcc,那么L(2)的縱坐標值滿足

Z>(l)-A(2)

=-60

lgl-lg2

求出L(2)=2dBo

2)系統(tǒng)的相頻特性為慣性環(huán)節(jié)與二階振蕩環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為

°(。)=-arctanco-arctan----?

]一"

轉折頻率處相位為奴1尸一136。，并有d2)二-209。。

系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性〃。)、以劭見圖5.6S)。

題5.3（6）系統(tǒng)頻率特性

(7)G(J)=

5+1

幅相頻率特性

1）延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結合不影響幅頻特性，但使相頻特性的最大滯后為無窮大。系統(tǒng)頻率

特性為

_川.2。

G0")=QT

=\G(jco)\=-]1

,3+1

180。

叭①)=-----Teo-arctanco=-\\A°a)-arctan(o

3?1

3⑴=-56.4。,濁0)=798。

2）隨公的增大，此系統(tǒng)幅頻特性單調(diào)減小，而相位滯后單調(diào)增加，相頻特性儀⑷從0。一直變

化到負無窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點順時針旋轉8次，最后終止于原點，與實軸、

虛軸有無數(shù)個交點，如圖5.7（°）所示。

3）與虛軸的第一個交點為

Re[G(?]=0

①=2.24%//s,Im[G(?]|^=-0.42

4）與實軸的第一個交點為

Im[G(j7y)]=0

co-8.77rad/s,Rc[G(J(y兒0--0.12

題5.3(7)系統(tǒng)頻率特性

對數(shù)頻率特性

系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性與典型慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性完全一致，但相頻特性滯后無限增加。系統(tǒng)的

對數(shù)頻率特性L(o)、奴劭見圖5.7(〃)。

5.4求圖5.8所示的電網(wǎng)絡的頻率特性表達式，以及幅頻特性與相頻特性表達式，并繪制出對數(shù)頻

率特性曲線。

(b)

圖5.8題5.4圖

解：

(a)電網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

G(s)=一^―6_凡(4C$+l)

p1RR?R[Cs+N+R

R,~2

尺+——平R、sC+1

一R」

1sC

a="vl,T=R0

&+&1

~、jcoT+i

頻率特性為

幅頻特性

(MV+1

A(⑼=

(acoT)1+1

相頻特性

叭心=arctancoT-arctanacoT

伯德圖見圖5.9（a）,此電網(wǎng)絡是系統(tǒng)校正中常用的超前校正裝置（見第六章），呈現(xiàn)以卜特點:

1）轉折頻率」-與之間漸近線斜率為20dB/dcc,起微分作用；

TaT

2）板⑷在整個頻率范圍內(nèi)都＞0,具有相位超前作用，故名超前校正裝置；

3）板0）有超前最大值價

豬）電網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

S

G（5）=---------^―R2C+1

凡+凡+」-(7?i+R))Cs+1

sC

jo)RC+\

頻率特性為G{jco)=2

j①(&+R?)C+l

幅頻特性

〃―“2J+1

⑼

A(=&/0T①丫,+=i

相頻特性

(p((v)=arctana)T-arctanpcifT

伯德圖見圖5.9（a）,此電網(wǎng)絡是系統(tǒng)校正中常用的滯后校正裝置（見第六章），呈現(xiàn)以下特點:

I）轉折頻率-!_與」_之間漸近線斜率為一20dB/dec,起積分作用；

T0T

2）秋⑷在整個頻率范圍內(nèi)都＜0,具有相位滯后作用，故名滯后校正裝置；

3）以⑷有滯后最大值仰1。

5.5由實驗測得某最小相位系統(tǒng)幅頻特性如下，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

表5.1最小相位系統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)

ft?(rad-s-1)0.30.51.2522.556.251012.5202550100

A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.01

解：

1）根據(jù)表5.1,求出與每個頻率對應的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比的分貝值201gA,見表5.2。

表5.2最小相位系統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)

61(rad-s')0.30.51.2522.556.251012.5202550100

49.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.01

201gA19.9819.8219.6819.0818.8715.9914.4910.217.23-0.92-4.43-20-40

2）該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數(shù)，根據(jù)表5.12繪出系統(tǒng)的對數(shù)幅

頻性曲線L（⑷,如圖5.10虛線所示。

3）根據(jù)求得的LQ"）,由0、±20、±40、±0dB/dcc斜率的線段近似，求出其漸近線，如圖5.10實線

所示。

4）由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)”與開環(huán)傳遞系數(shù)K

低頻漸近線的表達式為L（初=201gK=20dB,系統(tǒng)為（）型，K=IO.

5）由漸近線的每個轉折點確定各典型環(huán)節(jié)的轉折頻率；并由漸近線在轉折點斜率的變化量確定串

聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)。

在轉折頻率3=3處，斜率減小20dB/dec,那么必有慣性環(huán)節(jié)G,（5）=—；

3.54-1

在轉折頻率3=30處，斜率減去40dB/dec,那么有振蕩環(huán)節(jié)G（s）=、、1-------，阻尼比？

~7，+2蘇+1

可由諧振峰值的大小查表求取。由圖5.10,你=30處〃⑼的誤差約為一6dB,查教材表5.7（振蕩環(huán)節(jié)

對數(shù)幅頻特性最大誤差修正表）可得，公1。因此，G?(s)=

6）綜上，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

10

G(s)=

11

(3.9+1)(5+1)

90015

5.6各系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷以下反應系統(tǒng)的穩(wěn)定性

500

(1)GK(S)=

s(Z+S+100)

100(0.015+1)

(2)GK(S)=

s(s-l)

500

解:⑴G(S)=

K5(?+5-100)

令尸js得開環(huán)系統(tǒng)頻率特性

500

D

GH")=J69(J69+100-692)

I)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，40)=8,~0)=-90。，低頻特性始于平行于負虛軸的無窮遠處。低頻漸近線

如下確定：

將頻率特性表達式分母有理化為

「、500-J500(100-6>2-?

=------------丁=------------------z------

加(於+100-療)<w(l00-ty2+?(100-6y2-?

-5000-1500(100-02)_-500.500(100-療)

必00―療)2+療]-(100-ty2)2+fy2-J(V[(\00-M2)2+co2]

那么低頻漸近線為

-500

<J=limRc[G(j7y)J=limR(①)=lim=-0.05

>0*ru—>04[a00")2+〃]

同時可知，頻率特性實部wo,故曲線只在第二與第三象限。

2)〃一〃-3,那么破8尸一270。，幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。

3)此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因比在4。由0增大到8過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從一90。連續(xù)變

化到一270。。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原

點。

4)以⑷有一180。相位角，故曲線與負實軸有交點，交點坐標可以由下式確定

500(100->)_0

Im[G(j69)]=/(69)=

①[(100-療)2+①2]

解之得交點處頻率折10,代入實部/(@,即可得曲線與負實軸交點的坐標為

-500

(l(X)-02)2+①2

(o=\0

該系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線見圖5.11(1)。

5）曲線始丁虛軸的無窮遠處，與負實軸的交點為（-5,jO）o故當3由0變到十w時，7T環(huán)頻率特

性曲線順時針包圍（-1,jO）點的次數(shù)為1/2,N=l/2。由于開環(huán)右極點數(shù)為P=0,故

Z=2N,+P=2

閉環(huán)系統(tǒng)有兩個右極點，比環(huán)不穩(wěn)定。

圖5.11題5.6系統(tǒng)幅相頻率特性

100(0.0154-1)

解：⑵GKG)

s(sT)

令s=j。，得系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

100(J0.01d?+l)

GJj①)=

ja)(J①一1)

該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，片1,開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為

(p(a))=arctan0.016y-90°-(180°-arctanco)

=-270°+arctan0.0169+arctanco

1）系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，A（0）=8,d0）=-270。，低頻特性始于平行于正虛軸的無窮遠處。低頻漸近線

如卜.確定:

將頻率特性表達式分母有理化為

10。(川.010+1)7100(1+川.010)(1+jco)

GK（汝）二

j①(j①一D①(1一汝)(1+加)

J1OO(1-0.01^2+J1.016W)101.100(1—0.011)

22

69(14-692)(1+69)J<y(l+69)

那么低頻漸近線為

cr=limRe[G(/3)]=limR(3)=lim—3二=101

“吁(r3->(rf(1+4)

同時可知，頻率特性實部a，故曲線只在笫二與笫三象限。

2)d8)=—90。，幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。

3)此系統(tǒng)有開環(huán)零點0.015+1,因此在近100附近曲線有凹凸。

4)奴&)有一180。相位角，故曲線與負實軸有交點，交點坐標可以由下式確定

100(1-0.01ft?2)

ImlG(j69)1=7(69)==0

旗1+蘇)

解之得交點處頻率。=1。，代入實部/(⑷，即可得曲線與負實軸交點的坐標為

?=-1

。+療)…

5)該系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線見圖5.11(2),與負實軸的交點為(-1,jO),說明閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，有

位于虛軸上的共枕虛根。

假設直接采用勞斯判據(jù)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

A(s)=s?-s+s+100=/+100=0

閉環(huán)極點為

*2=±jl0=±y69

與奈氏判據(jù)的分析一致。

5.7設系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖5.12所示，判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否稔定。圖中尸為開環(huán)傳遞函數(shù)

在右半S平面的極點數(shù)，I，為系統(tǒng)的型別。

解：

(a)v=0,P=l,N'=->,z=2N'+尸=0,故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

2

(b)v=0,P=l,N=-,M=1,z=2(AT—N+)+P=0,故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

2

(c)P=O,P=l,N'—-，z=2N*P=2,故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.

2

(d)v=2,在k()附近，曲線以8為半徑，逆時針補畫&2.90。=180。的圓弧與正實軸相交。

P=0,N'=0,z=2N'+P=0,故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(e)v=l,在0一0附近，曲線以8為半徑，逆時針補畫伍90。的圓弧與正實軸相交。

P=2,N'=—l,z=2N'+P=0,故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(f)v=2,在3-0附近，曲線以8為半徑，逆時針補畫生2?90。=180。的圓弧與正實軸相交。

P=(),N'=l,z=2N'+P=2,故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(g)v=(),P=l,N'=—g,z=2N'+P=b,故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(h)v=0,P=2,N'=0,z=2N'+P=2,故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖5.12題5.7圖

5.8最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5.13所示。

(1)寫出其傳遞函數(shù)；

(2)繪出近似的對數(shù)相頻特性。

圖513題5.8圖

解：⑸

1）由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)-與開環(huán)傳遞系數(shù)K

由于低頻段的斜率為OdB/dec,該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。由201gK=60,求出K=1000。

2）確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)

笫一個轉折須率劭=lrad-s且斜率減小20dB/dec,有一個慣性壞節(jié)」一

s+1

第二個轉折頻率他=10rad?sr,且斜率減小20dB/dcc,有一個慣性環(huán)節(jié)-----

上+1

10

第三個轉折頻率3=300rad$r,且斜率減小20dB/dec,有一個慣性環(huán)節(jié)-------

—+1

300

3）綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，一、1000

GKG)=----------i--------------j-----------

(5+1)(—5+1)(——5+1)

10300

4）繪出近似的對數(shù)相頻特性

對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)頻率特性的低頻漸近線斜率為一20MB/dec,相頻特性斜防所o=-90巴

均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)u有關；當。―8時，假設〃>〃?，高頻漸近線斜率為-20[n~m]dB/dec的斜線,

折8=—90°o因此,本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性有,妖0）=0°,d8）=—270。。

最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即假設〃助的斜率減小(或增大)，

那么奴⑷的相位也相應地減小(或增大)：如果在某?頻率范圍內(nèi)，對數(shù)幅頻特性L(⑷的斜率保持不變,

那么在這些范圍內(nèi)，相位也幾乎保持不變。因此，系統(tǒng)的相頻特性在每個慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率處有相應

的變化，并可直接求取幾個典型頻率處(如轉折頻率)的相位，以提高曲線的準確性。如果系統(tǒng)有開環(huán)

零點，那么在相關轉折頻率處特性曲線出現(xiàn)凹凸。

圖5.14題5.8系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性

轉折頻率處相位為:^1)=-51.7°,-10)=-131°,奴300戶一223。。

本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.14(a)。

解：⑹

1)由低頻段確定系統(tǒng)積分跖節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K

低頻段的斜率為一20dB/dcc,該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，v=lo將低頻漸近線延長線上的點〃100尸0,代

入低頻漸近線的表達式L(@=20：gK—201g5可以求出K=100。

2)確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)

第一個轉折頻率劭=lrad?sr,且斜率減小20dB/dec,有一個慣性環(huán)節(jié)一匚；

5+1

第二個轉折頻率3=100rad-s「，且斜率減小20dB/dec,有一個慣性環(huán)節(jié)一!—:

3)綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

廠/、100

GKG)=--------j------

5(5+1)(---5+1)

100

4)繪出近似的對數(shù)相頻特性

與題(a)的分析相同，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足，奴0)=-90。，d8)=-270。。轉折頻率處相位為:

久1)=一135。，d10)=—180。，d100)=—225。。系統(tǒng)的相頻特性在每個慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率處有相應的變

化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.14(〃)。

解：（c）

1）由低頻段確定系統(tǒng)積分瓦節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K

低頻段的斜率為OdB/dec,該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。由201gK=20,求出K=I0.

2）確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)

第一個轉折頻率助=5rad$r,且斜率減小40dB/dcc,有一個二階振蕩環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)為

7：=—=-,由。=0.2=1,此振蕩環(huán)節(jié)為1

助55工+交+1

2525

第二個轉折頻率劭=80rad.s），且斜率增加40dB/dcc,所以有一個二階微分環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)為

2

7；=—=—,由42=（）.1=」~，此二階微分為

+1O

-a）280~106400400

3）綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

11

10(5+1)

6400400

G(S)=

K—

2525

4）繪出近似的對數(shù)相頻特性

同上，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足，40）=0。，d8）=0。，轉折頻率處相位為35）=d80）=-91。。系統(tǒng)

的相頻特性在每個二階振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率處有相應的變化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見藥5.15（c）。

(d)

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性

解：（d）

1）由低頻段確定系統(tǒng)積分瓦節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K

由于低頻段的斜率為+20dB/dec,該系統(tǒng)有一個純微分環(huán)節(jié)。低頻漸近線表達式為

〃⑷=201gK+201g①，將點〃10）=0代入，可求出K=0.1。

2）確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)

1

轉折頻率斫lOOrads7且斜率減小20dB/dec,有一個慣性環(huán)節(jié)

-+1

100

3)綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

0.15

GK⑸=[

S+1

100

4)繪出近似的對數(shù)相頻特性

同上，本開環(huán)系統(tǒng)相須特性滿足，(^(0)=90",奴8尸0、系統(tǒng)的相須特性在慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率處

為d100)=45。。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.15(d)o

5.9系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)的相角裕品，并判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

1()

(I)GKG)=

(52+54-1)(0.25?+0.454-1)

100

⑵GK(S)=

5(5+1)(105+1)

解：(1)

可知系統(tǒng)包含有放大、枳分、兩個二階振蕩環(huán)節(jié)，二階振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)為

]

:T=1,co=(o==