第12章整式的乘除章末培優(yōu)精練素養(yǎng)提升整式的乘除與因式分解是初中基本且重要的代數(shù)知識,學(xué)好本章知識,可以為以后學(xué)習(xí)分式、根式運算等知識打下基礎(chǔ).乘法公式及因式分解的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生形成合理的知識結(jié)構(gòu),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.第1,2,3題分別以閱讀材料的形式給出了分組分解法、十字相乘法、添(拆)項法三種分解因式的方法,考查學(xué)生的閱讀理解能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.素養(yǎng)解讀1.[分組分解法分解因式]閱讀:將一個多項式分組后,可提取公因式或運用公式分解的方法是分組分解法.例如:①am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n).②x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1).試用上述方法分解因式:(1)mx-2ny-nx+2my;

(2)4x2-4x-y2+1.【解析】(1)mx-2ny-nx+2my=(mx-nx)+(2my-2ny)=x(m-n)+2y(m-n)=(m-n)(x+2y).(2)4x2-4x-y2+1=(4x2-4x+1)-y2=(2x-1)2-y2=(2x-1+y)(2x-1-y).2.[十字相乘法分解因式]閱讀與思考:將式子x2-x-6分解因式.這個式子的常數(shù)項-6=2×(-3),一次項系數(shù)-1=2+(-3),這個過程可用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次項系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角;然后分解常數(shù)項,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角;再交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項系數(shù),如圖所示.這種分解二次三項式的方法叫“十字相乘法”.請同學(xué)們認真觀察、分析、理解后,解答下列問題.

(1)分解因式:x2+7x-18.(2)填空:若x2+px-8可分解為兩個一次因式的積,則整數(shù)p的所有可能值是

.

【解析】

(1)x2+7x-18=(x+9)(x-2).(2)7,-7,2,-2若x2+px-8可分解為兩個一次因式的積,則整數(shù)p的所有可能值分別是-8+1=-7;-1+8=7;-2+4=2;-4+2=-2.3.[添(拆)項法分解因式][2021吉林長春期末]【閱讀材料】二次三項式a2+2ab+b2可以直接分解為(a+b)2的形式,但二次三項式a2+2ab-8b2就不能直接用公式了,我們可以在二次三項式a2+2ab-8b2中先加上一項b2,使式子中出現(xiàn)完全平方式,再減去b2這項(這里也可把-8b2拆成+b2與-9b2的和),使整個式子的值保持不變.于是有a2+2ab-8b2=a2+2ab-8b2+b2-b2=(a2+2ab+b2)-8b2-b2=(a+b)2-9b2=[(a+b)+3b][(a+b)-3b]=(a+4b)(a-2b).我們把像這樣將二次三項式分解因式的方法叫做添(拆)項法.【應(yīng)用材料】(1)閱讀材料中添(拆)項后先把完全平方式組合在一起,然后用

法實現(xiàn)因式分解.

(2)請你根據(jù)閱讀材料中提供的因式分解的方法,將下面的多項式分解因式:①m2+6m+8;

②a4+a2b2+b4.【解析】(1)公式(2)①m2+6m+8=m2+6m+9-1=(m+3)2-12=(m+3+1)(m+3-1)=(m+4)(m+2).②a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab).中考真題1.[2020河北中考]對于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,從左到右的變形,表述正確的是(

)A.都是因式分解B.都是乘法運算C.①是因式分解,②是乘法運算D.①是乘法運算,②是因式分解【解析】對于x-3xy=x(1-3y),左邊是一個多項式,右邊是兩個整式的乘積,故①是因式分解;對于(x+3)(x-1)=x2+2x-3,左邊是兩個整式的乘積,右邊是一個多項式,故②是乘法運算.故選C.2.[2020甘肅蘭州中考A卷]化簡:a(a-2)+4a=(

)A.a2+2a

B.a2+6aC.a2-6a

D.a2+4a-2【解析】a(a-2)+4a=a2-2a+4a=a2+2a.故選A.3.[2020江蘇蘇州中考]下列運算正確的是(

)A.a2·a3=a6

B.a3÷a=a3C.(a2)3=a5

D.(a2b)2=a4b2【解析】逐項分析如下.選項分析正誤Aa2·a3=a2+3=a5?Ba3÷a=a3-1=a2?C(a2)3=a2×3=a6?D(a2b)2=a2×2b1×2=a4b2√4.[2020四川宜賓中考]下列計算正確的是(

)A.3a+2b=5ab

B.(-2a)2=-4a2C.(a+1)2=a2+2a+1 D.a3·a4=a12【解析】3a和2b不是同類項,不能合并,因此A選項中的計算錯誤;(-2a)2=4a2,因此B選項中的計算錯誤;(a+1)2=a2+2a+1,因此C選項中的計算正確;a3·a4=a3+4=a7,因此D選項中的計算錯誤.故選C.

6.[2020湖南益陽中考]下列因式分解正確的是(

)A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)B.a2-9b2=(a-3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2-ab+a=a(a-b)【解析】a(a-b)-b(a-b)=(a-b)2,故A選項錯誤;a2-9b2=(a-3b)(a+3b),故B選項錯誤;a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故C選項正確;a2-ab+a=a(a-b+1),故D選項錯誤.故選C.

9.[2020上海中考]計算:2a·3ab=

.

6a2b10.[2020貴州貴陽中考]化簡x(x-1)+x的結(jié)果是

.

【解析】x(x-1)+x=x2-x+x=x2.11.[2020湖南株洲中考]因式分解:2a2-12a=

.

2a(a-6)12.[2020浙江寧波中考]分解因式:2a2-18=

.

【解析】2a2-18=2(a2-9)=2(a+3)(a-3).13.[2020江蘇揚州中考]分解因式:a3-2a2+a=

.

【解析】a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2.14.[2020浙江溫州中考]化簡:(x-1)2-x(x+7).【解析】(x-1)2-x(x+7)=x2-2x+1-x2-7x=-9x+1.15.[2020湖北武漢中考]計算:[a3·a5+(3a4)2]÷a2.【解析】[a3·a5+(3a4)2]÷a2=(a8+9a8)÷a2=10a8÷a2=10a6.

【解析】(1)根據(jù)題意得m-1=0且n+2=0,解得m=1,n=-2.(2)m(m-3n)+(m+2n)2-4n2=m2-3mn+m2+4mn+4n2-4n2=2m2+mn=m(2m+n),當(dāng)m=1,n=-2時,原式