/7.5解直角三角形【推本溯源】1、填空30°45°60°sinαcosαtanα2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C，a、b、c這五個元素之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）三邊之間的關(guān)系（2）銳角之間的關(guān)系（3）邊、角之間的關(guān)系注：在計算邊、角過程中，在已知面積的情況下，還常用到等積分法。，h為斜邊上的高因此，直角三角形的個銳角和條邊共個元素中，需要知道哪幾個元素的值，你就確定其余的未知元素的值；而由直角三角形的邊、角中的已知元素，求出所有邊、角中的未知元素的過程，叫做。小試牛刀：如圖，在中，，，，求的面積．3.解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，銳角、對邊(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，【解惑】例1：在中，，當已知和a時，求c，應(yīng)選擇的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．例2：已知在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．例3：如圖，以原點為圓心，半徑為的弧交坐標軸于，兩點，是上一點（不與，重合），連接，設(shè)，則點的坐標是．

例4：如圖，的三個頂點都在邊長是的小正方形的頂點上，則．例5：解直角三角形(1)；(2)．【摩拳擦掌】1．（2023年福建省泉州市德化縣中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，某型號電動車開門時，車門與車身的最大展開度數(shù)，若車門寬度，則司機恰好進入車體時他身體的寬度的最大值約為（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）（

）

A． B． C． D．2．（第4章銳角三角函數(shù)單元測試湘教版數(shù)學(xué)九年級上冊）在中，，，，則的長為（）A． B．3 C． D．123．（第34章銳角三角函數(shù)單元測試卷人教版（五四制）九年級數(shù)學(xué)下冊）若把一個直角三角形的兩條直角邊都擴大倍，（是大于的自然數(shù)），則兩個銳角的三角函數(shù)值（

）A．都變大為原來的倍 B．都縮小為原來的C．不變化 D．各個函數(shù)值變化不一致4．（京改版九年級數(shù)學(xué)上冊第二十章解直角三角形單元測試）在中，，已知和b，那么．5．（山東省臨沂市平邑縣平邑賽博中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）在中，，，，則6．（貴州省黔東南苗族侗族自治州三穗縣三穗中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）Rt△ABC中，，，AB=，則AC=．7．（遼寧省鐵嶺市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，則點A到的距離是．

8．（山西省晉城市愛物學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）如圖，中，，點D在上，．若，，求的長．

9.（廣東省佛山市三水區(qū)七校聯(lián)考2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，解這個直角三角形．10．（廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市第十中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題）如圖，將矩形繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點落在邊上的點處，連接交于點，連接．(1)求證：平分；(2)設(shè)的面積為，設(shè)的面積為，比較和的大小，并說明理由；(3)若，，求的長．11．（第10講銳角三角比的意義-【暑假自學(xué)課】2023年新九年級數(shù)學(xué)暑假精品課（滬教版，上海專用））已知，在中，，，求的值．【知不足】1．（1.3解直角三角形（知識解讀）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊《同步考點解讀·專題訓(xùn)練》（北師大版））在中，，則的長為（）A．8 B．12 C．13 D．182．（浙江省湖州市長興縣2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會()的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖所示的四邊形．如果已知，，則的值是(

)A． B． C． D．3．（河北省辛集市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，，如果，，那么AC的長是（

）A． B． C． D．4．（2020年貴州省遵義市仁懷市中考數(shù)學(xué)模擬試卷一）如圖，在矩形中，，，對角線的垂直平分線分別交于點，則的長為（

）A． B． C． D．5．（2022年廣東省深圳市鹽田區(qū)九年級二模數(shù)學(xué)試題）如圖，點C在以AB為直徑的圓上，則BC＝（

）A． B． C． D．6．（2022年山東省濱州市陽信縣九年級下學(xué)期期中考試（一模）數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．7．（上海市靜安區(qū)市北初級中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知將沿角平分線所在直線翻折，點恰好落在邊的中點處，且，那么的余弦值為.8．（甘肅省定西市隴西縣崇文中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，圓O的半徑為1，內(nèi)接于圓O，若，則9．（2023年山東省濱州市陽信縣中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在矩形中，，，以點A為圓心，長為半徑畫弧交于點E，連接，則陰影部分的面積為．

10．（上海市青浦區(qū)青浦平和雙語學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）在中，，是邊上的高，且，則．11．（2023年陜西省西安尊德中學(xué)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，是邊上一點，于點，，，求的長．12．（2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)麓山國際實驗學(xué)校中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，點是邊長為的菱形的對角線上一點，連接并延長，交于．

(1)求證：；(2)若垂直平分，求的長．13．（廣東省佛山市南海區(qū)桂江第一初級中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）新版北師八年級（上）數(shù)學(xué)教材頁第題指出：設(shè)一個三角形的三邊長分別為，則有下列面積公式：（海倫公式）若有一個三角形邊長依次為，求這個三角形的面積；八年級的學(xué)生小明發(fā)現(xiàn)利用海倫公式很快就可以求出這個三角形的面積．(1)以下是他的部分求解過程，請你把它補充完整．解：∵一個三角形邊長依次為，即，∴____________．根據(jù)海倫公式可得：(2)小明是個愛動腦筋的學(xué)生，他想，能不能不用公式也可以求解此題呢，首先，他想到，要求面積，若令底為，必須要求高，因此他作了下圖，并且作了高，但接下去該怎么做，他就沒有思路了，聰明的你能幫助小明解決這個問題嗎？

14．（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，點是上的一點（點不與點，重合），連接、，點是上的一點，，交的延長線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長為______．【一覽眾山小】1．（2021年浙江省杭州市上城區(qū)建蘭中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB=10，那么BC的長為（）A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°2．（2023年江蘇省宿遷市宿豫區(qū)宿城區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，中，，，分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點D，E，以C為圓心，長為半徑作弧，與直線交于點F，與交于點G，若，則的長為（

）

A．1 B．2 C． D．3．（河北省張家口市橋東區(qū)張家口東方中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，若以點為圓心，長為半徑作圓，則與的位置關(guān)系是(

)

A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相交4．（貴州省銅仁市沿河土家族自治縣第一集團2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期第二次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行四邊形中，，，．按以下步驟作圖：①以點B為圓心、的長為半徑作弧，交于點E；②分別以點A，E為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線；③連接交于點O．則的長為（

）A．4 B．2 C． D．5．（2023年海南省省直轄縣級行政單位東方市港務(wù)中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，正方形的面積為，點在邊上，且，的平分線交于點，點，分別是，的中點，則的長為．6．（2023年重慶市巴蜀中學(xué)校中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖1，在等腰中，，，D為底邊的中點，點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，動點Q從C點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度；沿著的路線運動，設(shè)運動時間為t，連接，，，記的面積為，記的面積為，請解答下列問題：

(1)請直接寫出，與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及對應(yīng)的t的取值范圍；并在如圖2所示的平面直角坐標系中分別畫出，的函數(shù)圖象；(2)觀察的函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)根據(jù)圖象，直接寫出當時，t的取值范圍.7．（上海市靜安區(qū)市北初級中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯(lián)結(jié)，過點作，垂足為點.

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當?shù)拈L為多少時，是等腰三角形？8．（山東省東營市東營區(qū)勝利第一初級中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知是的直徑，是上的點，且于點，過點作的切線，交的延長線于點，交的延長線于點，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，半徑為1，求線段的長．

7.5解直角三角形【推本溯源】1、填空30°45°60°sinαcosαtanα12.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C，a、b、c這五個元素之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）三邊之間的關(guān)系a2+b2=c2(勾股定理)（2）銳角之間的關(guān)系∠A+∠B=90°（3）邊、角之間的關(guān)系，，，，，.注：在計算邊、角過程中，在已知面積的情況下，還常用到等積分法。，h為斜邊上的高因此，直角三角形的2個銳角和3條邊共5個元素中，需要知道哪幾個元素的值，你就確定其余的未知元素的值；而由直角三角形的邊、角中的已知元素，求出所有邊、角中的未知元素的過程，叫做解直角三角形。小試牛刀：如圖，在中，，，，求的面積．【答案】【詳解】解：如圖，過點C作于點D．在中，，，∴，∴．在中，∵，∴，．∴．∴．3.解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，銳角、對邊(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，【解惑】例1：在中，，當已知和a時，求c，應(yīng)選擇的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】在中，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查解三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角函數(shù)的定義求解．例2：已知在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義，設(shè)，則，，再根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】∵在中，，，∴，設(shè)，則，，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)的定義，用未知數(shù)表示出直角三角形的各邊長，是解題的關(guān)鍵．例3：如圖，以原點為圓心，半徑為的弧交坐標軸于，兩點，是上一點（不與，重合），連接，設(shè)，則點的坐標是．

【答案】【分析】過作，交于點，在中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出與，即可確定出的坐標．【詳解】解：過作，交于點，在中，，，∴，，∴，，∴的坐標為，故答案為：．

【點睛】本題考查解直角三角形，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．例4：如圖，的三個頂點都在邊長是的小正方形的頂點上，則．【答案】【分析】過作于，則，求出和的長，再解直角三角形求出即可．【詳解】解：如圖，過作于，∴，∵小正方形的邊長為，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形．理解和掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．例5：解直角三角形(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理求出AC，利用正弦值求出∠A，利用互余關(guān)系求出∠B；（2）利用勾股定理求出AC，利用正切值求出∠A，利用互余關(guān)系求出∠B．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴；（2）解：，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查解直角三角形．熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，熟背特殊角得三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023年福建省泉州市德化縣中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，某型號電動車開門時，車門與車身的最大展開度數(shù)，若車門寬度，則司機恰好進入車體時他身體的寬度的最大值約為（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作交于點，根據(jù)，得到，在直角中，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得到，進而得到．【詳解】解：過點作交于點，

，為等腰三角形，，，在直角中，（cm），（cm）．故選：D．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（第4章銳角三角函數(shù)單元測試湘教版數(shù)學(xué)九年級上冊）在中，，，，則的長為（）A． B．3 C． D．12【答案】A【分析】根據(jù)的正切計算的長．【詳解】解：中，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．3．（第34章銳角三角函數(shù)單元測試卷人教版（五四制）九年級數(shù)學(xué)下冊）若把一個直角三角形的兩條直角邊都擴大倍，（是大于的自然數(shù)），則兩個銳角的三角函數(shù)值（

）A．都變大為原來的倍 B．都縮小為原來的C．不變化 D．各個函數(shù)值變化不一致【答案】C【分析】若把一個直角三角形的兩條直角邊都擴大n倍，根據(jù)相似三角形的判定，可知這兩個直角三角形相似，再由相似三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)角相等，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可知兩個銳角的三角函數(shù)值不變．【詳解】解：若把一個直角三角形的兩條直角邊都擴大n倍，則這兩個直角三角形相似，得到對應(yīng)角相等，故兩個銳角的三角函數(shù)值不變．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定、性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．4．（京改版九年級數(shù)學(xué)上冊第二十章解直角三角形單元測試）在中，，已知和b，那么．【答案】【分析】根據(jù)正弦的定義得到，即可得到用和表示．【詳解】解：，，．故答案為：．

【點睛】本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一銳角的正弦等于它的對邊與斜邊的比值．5．（山東省臨沂市平邑縣平邑賽博中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）在中，，，，則【答案】/0.5【分析】根據(jù)的正弦求出，再根據(jù)30°的正弦值求解即可．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．（貴州省黔東南苗族侗族自治州三穗縣三穗中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）Rt△ABC中，，，AB=，則AC=．【答案】1【分析】根據(jù)的余弦進行計算即可．【詳解】解：Rt△ABC中，，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查解直角三角形．熟練掌握特殊角得三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7．（遼寧省鐵嶺市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，則點A到的距離是．

【答案】【分析】在和中，可將和用含的函數(shù)式表示出來，再根據(jù)的長可將點A到的距離即的長求出．【詳解】過點A作于點D，如圖．

在中，，，在中，，，，解得．【點睛】本題主要是應(yīng)用三角函數(shù)定義來解直角三角形．8．（山西省晉城市愛物學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）如圖，中，，點D在上，．若，，求的長．

【答案】【分析】在中，由三角函數(shù)求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函數(shù)求得的長即可．【詳解】解：∵在中，，，，，，，∴的長度為．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形，解題關(guān)鍵是解直角三角形求出，進而求出．9.（廣東省佛山市三水區(qū)七校聯(lián)考2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，解這個直角三角形．【答案】，，【分析】利用直角三角形的邊角關(guān)系，進行計算即可解答．【詳解】解：在中，，，，∴，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（廣東省珠海市香洲區(qū)珠海市第十中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題）如圖，將矩形繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點落在邊上的點處，連接交于點，連接．(1)求證：平分；(2)設(shè)的面積為，設(shè)的面積為，比較和的大小，并說明理由；(3)若，，求的長．【答案】(1)證明過程見詳解(2)，理由見詳解(3)的長為【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，是等腰三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，由此即可求解；（2）如圖所示，過點作于點，過點作延長線于點，可得，，在中，，由此即可求解；（3）由（2）可得，在中，求出的值，根據(jù)矩形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由此可求出的值，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵將矩形繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點落在邊上的點處，∴，∴是等腰三角形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴平分．（2）解：如圖所示，過點作于點，過點作延長線于點，∵四邊形是矩形，四邊形是矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∵，∴在中，，即，∴，∴．（3）解：由（2）的圖可知，，，∵，∴，在中，，∵，∴，∵四邊形是矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，且，∴，∴，，∴，，∴，，∴在中，，∴，∴的長為．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．11．（第10講銳角三角比的意義-【暑假自學(xué)課】2023年新九年級數(shù)學(xué)暑假精品課（滬教版，上海專用））已知，在中，，，求的值．【答案】【分析】由題意可設(shè)，則有，然后問題可求解．【詳解】解：在中，，設(shè)，則，∴．【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【知不足】1．（1.3解直角三角形（知識解讀）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊《同步考點解讀·專題訓(xùn)練》（北師大版））在中，，則的長為（）A．8 B．12 C．13 D．18【答案】C【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：在中，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理，熟練掌握銳角三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（浙江省湖州市長興縣2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會()的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖所示的四邊形．如果已知，，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】在中，得出，在中，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，在中，，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（河北省辛集市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，，如果，，那么AC的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【詳解】解：如圖：在中，，故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，屬于中考?？碱}型．4．（2020年貴州省遵義市仁懷市中考數(shù)學(xué)模擬試卷一）如圖，在矩形中，，，對角線的垂直平分線分別交于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意以及矩形的性質(zhì)，勾股定理求得，進而根據(jù)得出即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，∵對角線的垂直平分線分別交于點，∴，，∵，則，∴，∴，解得：，故選：D【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．5．（2022年廣東省深圳市鹽田區(qū)九年級二模數(shù)學(xué)試題）如圖，點C在以AB為直徑的圓上，則BC＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出BC即可．【詳解】解：連接AC，∵AB是⊙的直徑，∴∠ACB=90°，∵sinB=，cosB=，tanB=，∴AC=AB?sinB，BC=AB?cosB，AC=BC?tanB，觀察四個選項，選項B正確，故選；B．【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022年山東省濱州市陽信縣九年級下學(xué)期期中考試（一模）數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，從而求出．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB==5，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，∴＝AB-=2，∵==2，∴．故答案為：C．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（上海市靜安區(qū)市北初級中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知將沿角平分線所在直線翻折，點恰好落在邊的中點處，且，那么的余弦值為.

【答案】【分析】設(shè)與交點為，過作交于，證出為的中位線，由三角形中位線定理得出，由翻折變換的性質(zhì)得出：，，同理由三角形中位線定理得出，設(shè)，則，，得出，，利用勾股定理求出，根據(jù)余弦的定義即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)與交點為，過作交于，如圖所示：

為的中點，為的中點，為的中位線，，由翻折變換的性質(zhì)得：，，同理：是的中位線，，設(shè)，則，，，，，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，通過作輔助線由三角形中位線定理得出，是解決問題的關(guān)鍵．8．（甘肅省定西市隴西縣崇文中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，圓O的半徑為1，內(nèi)接于圓O，若，則

【答案】【分析】作圓的直徑，交于，連接，由圓周角定理得到，，由銳角的正弦即可求出的長．【詳解】解：作圓的直徑，交于，連接，，∵，∴，，，圓的半徑為1，，．故答案為：．

【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形，關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形．9．（2023年山東省濱州市陽信縣中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在矩形中，，，以點A為圓心，長為半徑畫弧交于點E，連接，則陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，求出，再分別求出扇形和矩形的面積，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、扇形的面積公式和直角三角形的性質(zhì)等知識點，能求出長和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．10．（上海市青浦區(qū)青浦平和雙語學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）在中，，是邊上的高，且，則．【答案】或【分析】分當點H在線段上時，，當點H在線段的延長線上時，兩種情況先解直角三角形和利用三角形內(nèi)角和定理求出，，再根據(jù)已知條件得到，進而解直角三角形得到，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，當點H在線段上時，∵在中，，是邊上的高，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；如圖所示，當點H在線段的延長線上時，同理可得，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；綜上所述，或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，三角形內(nèi)角和定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．11．（2023年陜西省西安尊德中學(xué)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，是邊上一點，于點，，，求的長．

【答案】【分析】根據(jù)題意得，根據(jù)，求得，在在中，，得出，進而即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)麓山國際實驗學(xué)校中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，點是邊長為的菱形的對角線上一點，連接并延長，交于．

(1)求證：；(2)若垂直平分，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，證明即可；（2）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)解答即可．【詳解】（1）證明：四邊形為菱形，，，又；（2）解：連接，四邊形是菱形，，垂直平分，，是等邊三角形，則,，，，,，，．【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得，解答．13．（廣東省佛山市南海區(qū)桂江第一初級中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）新版北師八年級（上）數(shù)學(xué)教材頁第題指出：設(shè)一個三角形的三邊長分別為，則有下列面積公式：（海倫公式）若有一個三角形邊長依次為，求這個三角形的面積；八年級的學(xué)生小明發(fā)現(xiàn)利用海倫公式很快就可以求出這個三角形的面積．(1)以下是他的部分求解過程，請你把它補充完整．解：∵一個三角形邊長依次為，即，∴____________．根據(jù)海倫公式可得：(2)小明是個愛動腦筋的學(xué)生，他想，能不能不用公式也可以求解此題呢，首先，他想到，要求面積，若令底為，必須要求高，因此他作了下圖，并且作了高，但接下去該怎么做，他就沒有思路了，聰明的你能幫助小明解決這個問題嗎？

【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)可得的值，最后利用海倫公式即可解答；（2）根據(jù)三角形的高線可知。設(shè)，利用勾股定理列方程即可解答．【詳解】（1）解：∵一個三角形邊長依次為，即，∴，根據(jù)海倫公式可得：，故答案為，；（2）解：∵是的高線，∴，∵，∴設(shè)，則,∵，，∴∴，∴，即，∴在中，，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的高線，海倫公式，讀懂題意理解海倫公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，點是上的一點（點不與點，重合），連接、，點是上的一點，，交的延長線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長為______．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】(1)利用圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)定理，對頂角相等，三角形的內(nèi)角和定理和圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；(2)利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得到設(shè),則,利用x的代數(shù)式表示出線段，再利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，，，，，，，即．為的直徑，是的切線；（2）解：，，，設(shè)，則，，，，，是的直徑，，，，解得：不合題意，舍去或．．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓的切線的判定定理，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.【一覽眾山小】1．（2021年浙江省杭州市上城區(qū)建蘭中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB=10，那么BC的長為（）A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴cosB＝．∵∠B＝50°，AB=10，∴BC＝AB?cosB＝10?cos50°．故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握該知識點是解題關(guān)鍵．2．（2023年江蘇省宿遷市宿豫區(qū)宿城區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，中，，，分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點D，E，以C為圓心，長為半徑作弧，與直線交于點F，與交于點G，若，則的長為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，連接AF，由作圖知，DE垂直平分AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)等面積法即可解答．【詳解】解：在中，，，，∴，，連接AF，由作圖知，DE垂直平分AC，

∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了基本作圖思想，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（河北省張家口市橋東區(qū)張家口東方中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，若以點為圓心，長為半徑作圓，則與的位置關(guān)系是(

)

A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相交【答案】C【分析】計算點到上的高即可判斷；【詳解】解：如圖，過作于，

由題意得：，，由勾股定理得：，中，，∴圓與相切，故選：C．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．4．（貴州省銅仁市沿河土家族自治縣第一集團2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期第二次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行四邊形中，，，．按以下步驟作圖：①以點B為圓心、的長為半徑作弧，交于點E；②分別以點A，E為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線；③連接交于點O．則的長為（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)交于，過點作于．解直角三角形求出，再利用平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)交于，過點作于．

，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查作圖基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．5．（2023年海南省省直轄縣級行政單位東方市港務(wù)中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，正方形的面積為，點在邊上，且，的平分線交于點，點，分別是，的中點，則的長為．

【答案】【分析】連接，由正方形的面積為，，可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)得，又平分，可得，故，，然后根據(jù)，分別是，的中點，即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖：

正方形的面積為，，，，，，，平分，，在中，，，，是等腰直角三角形，，，分別是，的中點，是的中位線，．故答案為：．【點睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及含角的直角三角形三邊關(guān)系，等腰直角三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求得．6．（2023年重慶市巴